數(shù)學四大思想

1、數(shù)學思想方法數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內容的本質的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學思想方法”。數(shù)學四大思想：函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論、數(shù)形結合；函數(shù)與方程函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題-數(shù)學問題-代數(shù)問題-方程問題。宇宙世界，

2、充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關系型的數(shù)學模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質解題，經(jīng)常利用的性質是：f（x）、f（x）的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題

3、中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質，是應用函數(shù)思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉化為與其相關的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數(shù)關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關系；實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，

4、建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，應用函數(shù)性質或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。等價轉化等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結

5、論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決

6、實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內部實施轉換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或

7、者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結合法；或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數(shù)學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。分類討論在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

8、引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和qwi兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定

9、性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。數(shù)形結合中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結合的知識，主要體現(xiàn)是解析

10、幾何。數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌?shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為

11、易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學中的知識，有的本

12、身就可以看作是數(shù)形的結合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。數(shù)形結合-基本資料數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數(shù)學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結合，或形數(shù)結合。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解

13、形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結合-評價作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，即數(shù)形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等。數(shù)形結合的思想方法是數(shù)學教學內容的主線之一，應用數(shù)形結合的思想，可以解決以下問題：一、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補

14、等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。2、 解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法。3、 解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。4、 解決三角函數(shù)問題：有關三角函數(shù)單調區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。5、 解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上

15、找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用。六、解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關問題轉化為函數(shù)的有關問題來解決。七、解決解析幾何問題：解析幾何的基本思想就是數(shù)形結合，在解題中善于將數(shù)形結合的數(shù)學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。八、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數(shù)運算。數(shù)形結合思想在解題中的應用1 .數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽

16、象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2 .所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；（2）函數(shù)與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。如等式。3 .縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是

17、研究以形助數(shù)”。4 .數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野數(shù)學思想函數(shù)與方程思想數(shù)形結合思想分類討論思想方程思想整體思想轉化思想隱含條件思想類比思想 建模思想 化歸根 歸納推理思想化歸法化歸法是一種分析問題解決問題的基本思想方法.在數(shù)學中通常的作法是：將一個非基本的問題通過分解、變形、代換，或平移、旅轉、伸縮等多種方式，將它化歸

18、為一個熟悉的基本的問題，從而求出解答.如學完一元一次方程、因式分解等知識后，學習一元二次方程我們就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的.后來我們學到特殊的一元高次方程時，又是化歸為一元一次和一元二次方程來解的對一元不等式也有類似的作法又如在平面幾何中我們在學習了三角形的內角和、面積計算等有關定理后，對n邊形的內角和、面積的計算，也是通過分解、拼合為若干個三角形來加以解決的再如在解析幾何中，當我們學完了最基本、最簡單的圓錐曲線知識以后，對一般圓錐曲線的研究，我們也是通過坐標軸平移或旋轉，化歸為基本的圓錐曲線(在新坐標系中)來實現(xiàn)的其它如幾何問題化歸為代數(shù)問題，立體幾何問題化歸為平面

19、幾何問題，任意角的三角函數(shù)問題化歸為銳角三角函數(shù)問題來表示的例子就更多了所以，掌握化歸的思想方法對于數(shù)學學習有著重要的意義總之，化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答換元法概述解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來