數(shù)學(xué)建模案例分析灰色系統(tǒng)方法建模1灰色關(guān)聯(lián)度與優(yōu)勢分析

1、第九章灰色系統(tǒng)方法建?？陀^世界的很多實際問題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未被人們?nèi)苛私?，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內(nèi)部機理研究清楚，只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來構(gòu)造模型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)。本章介紹的方法是從灰色系統(tǒng)的本征灰色出發(fā)，研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對實際問題進行分析和解決。§1灰色關(guān)聯(lián)度與優(yōu)勢分析大千世界里的客觀事物往往現(xiàn)象復(fù)雜，因素繁多。我們經(jīng)常要對系統(tǒng)進行因素分析，這些因素中哪些對系統(tǒng)來講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發(fā)展，哪些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來講，這些都是我們極為關(guān)心的問題。事實

2、上，因素間關(guān)聯(lián)性如何、關(guān)聯(lián)程度如何量化等問題是系統(tǒng)分析的關(guān)鍵。例如人們關(guān)心的人口問題構(gòu)成一個系統(tǒng)，影響人口發(fā)展變化的因素有社會方面的諸如計劃生育、社會治安、社會生活方式等；有經(jīng)濟方面的諸如國民收入、社會福利、社會保險等；還有醫(yī)療方面的諸如醫(yī)療條件、醫(yī)療水平等也就是說，人口是多種因素互相關(guān)聯(lián)、互相制約的系統(tǒng)，對這些因素進行分析將有助于人們對人口的未來預(yù)測及人口控制工作。因素分析的基本方法過去主要是采用回歸分析等辦法，但回歸分析的辦法有很多欠缺，如要求大量數(shù)據(jù)、計算量大以及可能出現(xiàn)反常情況等。為克服以上弊病，本節(jié)采用灰色關(guān)聯(lián)度分析的辦法來做系統(tǒng)分析。一、灰色關(guān)聯(lián)度選取參考數(shù)列X。=X0(k)k=1

3、,2,n=(Xo(1),Xo(2),Xo(n)其中表示時刻。假設(shè)有個比較數(shù)列Xi=Xi(k)k=1,2,n=(Xi(1),Xi(2),Xi(n)i=1,2,m則稱minminX0(k)-Xi(k)|+PmaxmaxX0(k)-Xi(k)r/iikik/-i(k)=iiii(1X0(k)-Xi(k)|:iimaxmaxX0(k)-Xi(k)為比較數(shù)列對參考數(shù)列在時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中Pw0,)為分辨系數(shù)。一般來講，分辨系數(shù)Pw0,1,由(1)容易看出，越大，分辯率越大；越小，分辯率越小。式(1)定義的關(guān)聯(lián)系數(shù)是描述比較數(shù)列與參考數(shù)列在某時刻關(guān)聯(lián)程度的一種指標(biāo)，由于各個時刻都有一個關(guān)聯(lián)系數(shù)，因此信息

4、顯得過于分散，不便于比較，為此我們給出1.n.二一i(k)nkd為比較數(shù)列對參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)度。由式(2)容易看出，關(guān)聯(lián)度是把各個時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個平均值，即把過于分散的信息集中處理。利用關(guān)聯(lián)度這個概念，我們可以對各種問題進行因素分析。在利用(1)和(2)計算關(guān)聯(lián)度之前，我們還需要對各個數(shù)列做初始化處理。一般來講，實際問題中的不同數(shù)列往往具有不同的量綱，而我們在計算關(guān)聯(lián)系數(shù)時，要求量綱要相同。因此要首先對各種數(shù)據(jù)進行無量綱化。另外，為了易于比較，要求所有數(shù)列有公共的交點。為了解決上述兩個問題，我們對給定數(shù)列進行變換。給定數(shù)列X=(X(1),X(2),1X(n),稱X 1X(2)X I,&l

5、t; X(1)X(3)X(n)X(1), ,X(1)(3)為原始數(shù)列X=(X,X(2),，X(n)的初始化數(shù)歹U。、鉛球運動員專項成績的因素分析通過對某健將級女子鉛球運動員的跟蹤調(diào)查，獲得其19821986年每年最好成績及16項專項素質(zhì)和身體素質(zhì)的時間序列資料，見下表。指標(biāo)19821983198419851986鉛球?qū)ｍ棾煽?13.6014.0114.5415.6415.694公斤前拋111.5013.0015.1515.3015.024公斤后拋213.7616.3616.9016.5617.304公斤原地312.2112.7013.9614.0413.46立定跳遠42.482.492.562

6、.642.59高翻5858590100105抓舉65565758080臥推765707585903公斤前拋812.8015.3016.2416.4017.053公斤后拋915.3018.4018.7517.9519.303公斤原地1012.7114.5014.6615.8815.703公斤滑步1114.7815.5416.0316.8717.82立定三級跳遠127.647.567.767.547.70全蹲13120125130140140挺舉14808590909530米起跑154"204"254"104"063"99100米1613"

7、;1013"4212"8512"7212"56我們對表中的16個數(shù)列進行初始化處理。注意，對于前14個數(shù)列，隨著時間的增加，數(shù)值的增加意味著運動水平的進步，而對后兩個數(shù)列來講，隨著時間的增加，數(shù)值(秒數(shù))的減少意味著運動水平的進步。因此，在對數(shù)列15=(4"20,4"25,4"10,4"06,3"99)及數(shù)列16=(13"10,13"42,12"85,12"72,12"56)進行初始化處理時，采用以下公式Xii =15,16'Xi(1)Xi(1)X

8、i(1)Xi(1)一1,<Xi(2)Xi(3)Xi(4)Xi(5)；依照問題的要求，我們自然選取鉛球運動員專項成績作為參考數(shù)列，將上表中的各個數(shù)列的初始化數(shù)列代入(1)、(2),易計算出各數(shù)列的關(guān)聯(lián)度，如下表所示。123456780.5880.6330.8540.7760.8550.5020.6590.5829101112131415160.6830.6950.8950.7050.9330.8470.7450.726由上表易看出，影響鉛球運動員專項成績的前八項主要因素依次為全蹲、3公斤滑步、高翻、4公斤原地、挺舉、立定跳遠、30米起跑、100米成績。因此，在訓(xùn)練中應(yīng)著重考慮安排這八項指標(biāo)

9、的練習(xí)。這樣可減少訓(xùn)練的盲目性，提高訓(xùn)練效果。應(yīng)該指出的是，公式(1)中的X0(k)-Xi(k)不能區(qū)別因素關(guān)聯(lián)是正關(guān)聯(lián)還是負關(guān)聯(lián),可采取下面辦法解決這個問題。記nnnk二i八kXi(k)-xXi(k)xk1k1k4n貝U當(dāng)signnnOn 八 k2 -0 k)2/nk 4k 46個母因素、5個子因素為1：國民收入2：工業(yè)收入3：農(nóng)業(yè)收入4：商業(yè)收入5：交通收入6：建筑業(yè)收入,則和為負關(guān)聯(lián)。三、優(yōu)勢分析當(dāng)參考數(shù)列不止一個，被比較的因素也不止一個時，則需要進行優(yōu)勢分析。假設(shè)有個參考因素，記為Yi,X,，Ym,再設(shè)有個比較數(shù)列，記為Xi,X2，Xn。顯然，每個參考數(shù)列對個比較數(shù)列有個關(guān)聯(lián)度，設(shè)表示

10、比較數(shù)列對參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)度，可構(gòu)造關(guān)聯(lián)矩陣R=(rij)m>n。根據(jù)矩陣的各個元素的大小，可分析判斷出哪些因素起主要影響，哪些因素起次要影響。起主要影響的因素稱之為優(yōu)勢因素。再進一步，當(dāng)某一列元素大于其他列元素時，稱此列所對應(yīng)的子因素為優(yōu)勢子因素；當(dāng)某一行元素均大于其他行元素時，稱此行所對應(yīng)的母元素為優(yōu)勢母元素。如果矩陣的某個元素達到最大，則此行所對應(yīng)的母元素被認為是所有母子因素中影響最大的。卜面我們考慮一個實際問題。某地區(qū)有1：固定資產(chǎn)投資2：工業(yè)投資3：農(nóng)業(yè)投資4：科技投資5：交通投資其數(shù)據(jù)列于下表。197919801981198219831234308.58310295346367

11、195.4189.4187.2205222.724.62112.215.114.572025.623.329.230518.891922.323.527.661170174197216.4235.8257.5570.7476.880.789.85388.567085.3899.83103.4411.1913.2816.8218.922.854.034.264.345.065.78613.715.613.7711.9813.95根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，易計算出各個子因素對母因素的關(guān)聯(lián)度，從而得到關(guān)聯(lián)矩陣為0.8110.7700.6480.7430.920'0.6410.6240.5780.8090.680R=0.8390.8280.7200.5880.7350.5630.5520.5420.6160.5350.8190.7800.6490.7070.875從關(guān)聯(lián)矩陣可以看出©7950.8120.7140.5840.613,1、第4行元素幾乎最小，表明各種投資對商業(yè)收入影響不大，即商業(yè)是一個不太需要依賴外資而能自行發(fā)展的行業(yè)。從消耗投資上看，這是劣勢，但從少投資多收入的觀點看，這是優(yōu)勢；2、15=0.920最大，表明交通投資的多少對國民收入的影響最大；3、55=0.875僅次于15,表明交通收入主要取決于交通投資，這是很自然的；4、在第4列中24=0.809最大，表