必修四第一章三角函數(shù)1.6 三角函數(shù)的周期性 （習(xí)題+解析）

1、.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的周期性一、考點(diǎn)打破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明三角函數(shù)的周期性1. 理解周期函數(shù)的定義；2. 知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期；3. 會(huì)求函數(shù)ysinx和ycosx的周期。填空解答高考必考周期性是三角型函數(shù)的重要性質(zhì)，也是我們?cè)谒鶎W(xué)的根本初等函數(shù)中唯一具備這一特性的函數(shù)。在解答題中往往出如今第1步，較為簡(jiǎn)單?？陀^題往往與圖象等結(jié)合考查。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：求函數(shù)的周期、利用周期求函數(shù)值。難點(diǎn)：對(duì)定義的理解及定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用。一、周期函數(shù)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)fx，假如存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函

2、數(shù)的周期?！疽c(diǎn)詮釋】函數(shù)周期性的理解：定義應(yīng)對(duì)定義域中的每一個(gè)值來(lái)說(shuō)，只有個(gè)別的值滿足fxTfx或不滿足，都不能說(shuō)T是fx的周期。從fxTfx來(lái)看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)是自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f2xTf2x中，T不是周期，而應(yīng)寫成，那么是fx的周期。對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，假如在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期。今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般都是它的最小正周期。并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。例如常數(shù)函數(shù)為常數(shù)，其周期是任意實(shí)數(shù)，沒(méi)有最小正數(shù)。周期函數(shù)的周期不是唯一的，假如T是函數(shù)fx的周期，那么kTkZ，k0也一定是函數(shù)的周期?！竞诵臍w納】如

3、何利用定義判斷函數(shù)是不是周期函數(shù)？1首先看定義域假設(shè)是定義域D內(nèi)的一個(gè)值，那么也一定屬于定義域D，因此周期函數(shù)的定義域D一定是無(wú)限集，而且定義域D一定無(wú)上界且無(wú)下界。2其次看恒等式是否成立對(duì)于定義域D內(nèi)任意一個(gè)，是否有恒成立。假如成立，那么是周期函數(shù)。否那么，不是周期函數(shù)。二、的周期一般地，函數(shù)yAsinx和yAcosx其中A，為常數(shù)，且A0，0的周期T?！疽?guī)律總結(jié)】求三角函數(shù)的周期，通常有三種方法。1定義法；2公式法，對(duì)yAsinx或yAcosxA，是常數(shù)，且A0，0，T；3圖象法。三種方法各有所長(zhǎng)，要根據(jù)函數(shù)式的構(gòu)造特征，選擇適當(dāng)方法求解，為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤，求周期之前要盡可能將函數(shù)化為同名

4、同角的三角函數(shù)，且函數(shù)的次數(shù)為1。例如：函數(shù)的周期為3，那么 。思路分析：利用yAsinxA，是常數(shù)，且A0，0的最小正周期為T這一結(jié)論解決。答案：由題得，那么技巧點(diǎn)撥：在運(yùn)用公式法求周期時(shí)不要忽略絕對(duì)值。例題1 求三角函數(shù)的周期求以下函數(shù)的周期：1y3sinx；2y2cos；3y|sin x|。思路分析：利用公式法或定義法求解即可。假設(shè)0，那么先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為正值，再用公式求周期。答案：1T4。2y2cos2cos，T4。3由ysin x的周期為2，可猜測(cè)y|sin x|的周期應(yīng)為。驗(yàn)證：|sinx|sin x|sin x|，由周期函數(shù)的定義知y|sin x|的周期是。例題2 函數(shù)周期性的

5、判斷設(shè)函數(shù)yfx，xR，假設(shè)函數(shù)yfx為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線xaa0對(duì)稱，求證：函數(shù)yfx為周期函數(shù)。思路分析：要證函數(shù)yfx是周期函數(shù)，就是要找到一個(gè)常數(shù)TT0，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有fxTfx，可根據(jù)yfx的奇偶性與對(duì)稱性推導(dǎo)證明。答案：由yfx的圖象關(guān)于xa對(duì)稱得f2axfx，f2axfx，fx為偶函數(shù)，fxfx，f2axfx，fx是以2a為周期的函數(shù)?！局匾崾尽?. 斷定或證明一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，就是找出一個(gè)詳細(xì)的非零常數(shù)T滿足fxTfx對(duì)定義域中一切x都成立。2. 假設(shè)函數(shù)fx對(duì)定義域內(nèi)的一實(shí)在數(shù)x滿足fxafx或fxa或fxa，那么fx都是周期函數(shù)，且2a為它的一個(gè)周期，這里

6、a為非零常數(shù)。函數(shù)周期性概念理解不透徹致誤【總分值訓(xùn)練】判斷函數(shù)ycos 4x，x，是否為最小正周期為的周期函數(shù)，假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由?！惧e(cuò)解】記fxcos 4x，設(shè)T為fx的周期，那么fxTfx，即cos 4xcos 4xT對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，也就是cos4Tcos 對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期為2，令4T2，得T，故函數(shù)ycos 4x，x，是最小正周期為的周期函數(shù)?！惧e(cuò)因分析】導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意條件x，的限制，x時(shí)，xT，不符合周期函數(shù)的定義，即忽略了fxfxT對(duì)任意x都成立?！痉婪洞胧恳袛嘁粋€(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，要看定義域I，對(duì)任意xI，有xTI；對(duì)任意xI，有fxfxT。要說(shuō)明一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)或者不是以T為周期的周期函數(shù)，只需要舉一反例即可?！菊狻坑芍芷诤瘮?shù)的定義可知，對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，有fxTfx，故xT也應(yīng)在定義域內(nèi)，但是當(dāng)x時(shí)，x，故函數(shù)ycos 4x，x，不是周期函數(shù)。利用周期解決多個(gè)值的和假設(shè)函數(shù)fnsinnZ，求f97f98f99f102的值。思路分析：直接求和較難，可以判斷fn的周期性，利用周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值的變化情況求解。答案：由題意得sinsin2sinnZ，fnfn12，9712×81，9812×82，10212