基于稀疏表示的超分辨率重建

1、稀疏表示理論基礎(chǔ)稀疏編碼模型解析稀疏編碼問題的目的是給定字典 D，計算對信號 x 的最稀疏表示系數(shù) 。本節(jié)討論稀疏編碼問題的幾種解析方式。最大后驗概率估計稀疏性約束的表達方式： （1）其中 s 表示稀疏性指標，上述模型也可以轉(zhuǎn)換為正則化表達方式： （2）其中表示正則化參數(shù) ，用于均衡稀疏性和稀疏表示誤差。 公式(2)的稀疏表示模型可以理解為對稀疏表示系數(shù) 的最大后驗概率估計： （3）假設(shè)觀測信號 x 具有加性零均值高斯噪聲，則： （4） 的先驗概率模型為：壓縮編碼長度最小化 從信號編碼角度分析，稀疏編碼相當于信號在稀疏約束下的壓縮編碼。設(shè)已知字典 D，對圖像 X 進行壓縮，一種方法是對重建系數(shù)

2、 A 和殘差 X-DA 進行無損編碼；或者采用有損編碼的方式，對 A進行編碼，得較好的近似重建 X DA。以有損編碼為例，多數(shù)壓縮編碼包含兩部分：計算概率階，指定 A 的概率P(A)；編碼階段，計算具有 L(A)長度的編碼 C(A)，并確保 L(A)盡可以小?；舴蚵幋a給出了最好的解決方案：L(A) =-log P(A) ?？梢?，現(xiàn)代壓縮理論是通過 P(A)的最大化來計算系數(shù) A。由此可得，有損壓縮相當于確保在一定壓縮誤差 條件下的最大化概率 P(A)問題。對 X 的每個樣本進行壓縮處理，估計每個樣本 xi的最優(yōu)壓縮系數(shù) i可表示為下列優(yōu)化問題： （5）選擇 ，進行無損壓縮，需要考慮重建殘差x

3、i-Di。因為 ，編碼長度轉(zhuǎn)換為： （6）計算最優(yōu)化系數(shù) i，相當于解決 minL ( xi,i)的估計問題，此問題與上公式的 MAP 問題一致，根據(jù)上節(jié)分析，無損壓縮問題又與公式的稀疏表示模型一致。 稀疏表示問題的優(yōu)化算法 稀疏編碼問題是基于 2.1 節(jié)的稀疏表示模型，并假設(shè)字典 D 已知的情況下，輸入信號 x 的稀疏表示系數(shù) 的估計問題。目前常用的稀疏編碼問題的優(yōu)化算法多是基于最優(yōu)化方法、匹配追蹤和貝葉斯方法構(gòu)造的，大概可歸納為以下三類：針對 l0范數(shù)最小化問題提出的貪婪算法；針對 l1范數(shù)最小化問題提出的線性規(guī)劃最優(yōu)化算法；統(tǒng)計優(yōu)化算法。 為簡化表達，本文假設(shè)字典 D 的每個原子是標準化的（l2范數(shù)大小為 1）。貪婪算法 多數(shù)算法都是針對下述問題提出的：常用的計算方法主要為貪婪算法。代表性的有 MP算法、OMP算法及改進算法。 匹配追蹤MP 貪婪算法的核心思想是在每次迭代過程中，選擇與當前殘留誤差最相關(guān)的原子。正交匹配追蹤 OMP 貪婪算法的核心思想也是在每次迭代過程中，選擇與當前殘留誤差最相關(guān)的原子，相對 MP 算法改進之處在于：將選中的原子正交投影到已被選擇的原子張成的空間中；之后重新計算殘留誤差，循環(huán)上述過程即可。如下：其它貪婪算法一般都是對 MP 和 O