人口增長模型的確定

1、數(shù)學建模論文第 1 套 論文題目：人口增長模型的確定 組 別： 姓 名：提交日期： 題目：人口增長模型的確定摘 要 針對問題一，本文建立了Malthus人口指數(shù)增長模型。由于人口數(shù)量較少時，人口的增長率可以看成常數(shù)，所以在預測人口數(shù)量較少時，Malthus人口指數(shù)增長模型能夠比較準確的預測人口數(shù)量。由預測結(jié)果可以看出，Malthus模型在人口數(shù)量不是很大的1800年到1960年預測與實際相近，但在1960年以后預測結(jié)果與實際人口相差很大，這說明Malthus模型并不能準確的預測美國人口，因此在問題二種對該模型進行了改進。 針對問題二，本文建立了logistic人口增長模型。由于受到自然資源和生

2、態(tài)環(huán)境的限制，人口的增長不能超過環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量，所以當人口數(shù)量到達環(huán)境容納量時，增長率應為0。從預測結(jié)果來看，從1790年到1980年Logistic模型的預測數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)基本吻合。從1990年的預測結(jié)果來看，其與實際結(jié)果非常相近，更加趨近于實際數(shù)據(jù)。在一定程度上，Logistic模型從一定程度上克服了指數(shù)增長的不足，更能準確地預測美國人口的增長。但隨著時間的推移，Logistic模型的預測結(jié)果與實際結(jié)果的差距越來越大，因此這種模型也只適用于對最近幾個十年的人口進行預測。 針對問題三，本文應用問題一和問題二的模型。用這兩種模型分析中國同時期的人口數(shù)量。由預測結(jié)果來看，Malthu

3、s模型預測1790年到1980年之間的中國人口數(shù)量，與實際數(shù)據(jù)相差甚大，在1840-1940年之間，實際人口增長明顯下降，而Logistic模型更加擬合實際人口數(shù)量。在2010年，Logistic模型預測的人口數(shù)量為16億，這與實際的人口數(shù)量13.4億相差較大，這種差距是由中國在90年代實行的計劃生育政策造成的。 綜上所述，Logistic模型能夠比較準確的對人口進行預測，但是任何一種模型都有其適用范圍，也只能最近幾年的人口，如果要預測更遠的未來的人口，還需要考慮更多的不確定因素。關(guān)鍵詞：人口增長模型，Malthus模型，logistic模型，人口預測一、問題重述1790-1980年間美國每隔

4、10年的人口記錄如下表所示。表1 人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.51.試用以上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長模型，并對接下來的每隔十年預測五次人口數(shù)量，并查閱實際數(shù)據(jù)進行比對分析。2.如果數(shù)據(jù)不相符，再對以上模型進行改進

5、，尋找更為合適的模型進行預測，并對兩次預測結(jié)果進行對比分析。3.查閱資料找出中國人口與表1同時期的人口數(shù)量，用以上建立的兩個模型進行人口預測與分析。2、 問題分析針對問題一，題目中已經(jīng)給出了1790-1980年間美國每隔10年的人口記錄，現(xiàn)需建立Malthus人口指數(shù)增長模型，擬合實際人口數(shù)量。再根據(jù)已建立的模型對接下來的每隔十年預測五次人口數(shù)量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的實際人口與預測的結(jié)果進行比較，對模型進行檢驗。針對問題二，由于人口的變化受到多方面因素的影響，所以實際人口往往不是以指數(shù)形式增長的，而更可能是增長到一定程度后逐漸趨于平穩(wěn)的，為此我們可以采用Logist

6、ic阻滯增長模型對人口進行預測和分析。針對問題三，可以查閱到與表1同時期的中國人口數(shù)據(jù)，然后用再用Malthus模型和Logistic模型對中國人口進行預測，并與實際人口數(shù)據(jù)進行對比，尋找一種更適合中國人口預測的模型。三、問題假設(shè)1、假設(shè)不會發(fā)生大的災難或疾病使人口數(shù)量急劇減少；2、假設(shè)政策對生育率不進行干預；3、假設(shè)人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個體的生育與死亡，且每個個體具有同樣的生育能力與死亡率；4、假設(shè)人口數(shù)量僅受自然資源與環(huán)境條件所限制。四、變量說明 x(t)t時刻的人口數(shù)量x0初始時刻的人口數(shù)量r人口增長率xm自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量

7、五、模型建立與求解5.1 模型一的建立與求解假設(shè)x(t)表示t時刻的人口的人口數(shù)，且x(t)連續(xù)可微。在Malthus模型中人口的增長率為常數(shù)。人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口的增長與減少只取決于人口中個體的生育與死亡，且每個個體具有同樣的生育率與死亡率。由假設(shè)，由t到時刻的人口增量為：于是得其解為5.2 模型二的建立與求解 由于地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量生命生存所需的條件。隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境等條件對人口再增長的限制作用越來越明顯。如果在人口較小時，可以把增長率r看成常數(shù)，當人口增加到一定數(shù)量之后，就應該把r看成隨著人口增加而減小的量。即將增長率r表示為人口x(t)的函

8、數(shù)r(x)，且r(x)為x的減函數(shù)，由此建立logistic模型。假設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即自然資源與環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量為xm，即當時，人口的增長率為0。由假設(shè)可得則有，式（）是一個可分離變量的方程，其解為六、結(jié)果分析6.1 問題一采用Malthus模型對問題一求解，所得預測結(jié)果如圖1和表2所示：圖1 Malthus模型預測結(jié)果 表2 Malthus模型預測結(jié)果年份19902000201020202030Malthus預測人口（106）405.53502.40622.41771.08955.26實際人口（106）248.71281.42308.74 由圖1可知，在1930年之前，美

9、國的人口可以認為是以指數(shù)模型增長的；而在1930年到1940年之間，人口增長緩慢，這可能是第二次世界大戰(zhàn)對美國人口產(chǎn)生了影響；1940年之后，人口增長逐漸趨于緩慢，不再以指數(shù)模型進行增長，這與美國人口的生活觀念和生活方式的轉(zhuǎn)變有一定的關(guān)系。由表2可知，Malthus模型的預測結(jié)果與實際人口相差很大，這說明Malthus模型并不能用于預測美國人口，因此該模型還需要進一步改進。6.2 問題二采用Logistic模型對問題二求解，所得預測結(jié)果如圖2和表3所示：圖1 Logistic模型預測結(jié)果 表3 Logistic模型預測結(jié)果年份19902000201020202030Logistic預測人口（1

10、06）230.91242.51252.01259.66265.72實際人口（106）248.71281.42308.74 由圖2可知，從1790年到1980年Logistic模型的預測數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)基本吻合。從1990年的預測結(jié)果來看，其與實際結(jié)果非常相近，只有7.7%的誤差。這說明Logistic模型從一定程度上克服了指數(shù)增長的不足，更加符合實際人口增長的速度。但隨著時間的推移，Logistic模型的預測結(jié)果與實際結(jié)果的差距越來越大，因此這種模型也只適用于對最近幾個十年的人口進行預測，如果用來預測更遠的未來的人口，還需要考慮更多的不確定因素。6.3 問題三查閱同時期中國人口數(shù)量如下表4所示：

11、 表4 中國人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口（）323.45341.6360.7381409412412377358368年份1890190019101920193019401950196019701980人口（）380400423472489518.77551.67662.07825.4987.0分別用模型一和模型二的求解，所得預測結(jié)果如圖3和表5所示：年份19902000201020202030Malthus預測人口（106）702.16732.44764.20796.96831.33Logistic預測人口（106）113

12、7.031352.091606.621900.12228.6實際人口（106）1135.181264.101341 由圖3發(fā)現(xiàn)，由Malthus模型預測1790年-1980年之間的中國人口數(shù)量，與實際數(shù)據(jù)相差很大，在1840-1940年之間，人口增長明顯下降，而Logistic模型更加擬合實際人口數(shù)量。在2010年，Logistic模型預測的人口數(shù)量為16億，這與實際的人口數(shù)量13.4億相差較大，這種差距是由中國在90年代實行的計劃生育政策造成的。八、參考文獻1 張志涌，楊祖櫻. MATLAB教程M. 北京：北京航空航天大學出版社, 2011.2 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學建模(第三版)習題參

13、考解答M,北京，高等教育出版社，2002.3 齊歡.數(shù)學模型方法M.武漢：華中理工大學出版社，2005.4 謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件M.北京，清華大學出版社，20055 李工農(nóng)，阮曉，青徐晨.經(jīng)濟預測與決策及其MATLAB實現(xiàn)M.北京：清華大學出版社，2007.九、附錄程序1clearclct=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=poly

14、fit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)t1=1790:10:2030;x1=x0.*exp(r.*t1);plot(t,x(t),'r',t1,x1,'b');axis(1790 2010 0 700);程序2clearclc% 定義向量（數(shù)組）x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,'*',x,y); % 畫點，并且畫一

15、直線把各點連起來hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函數(shù)，第1個參數(shù)是函數(shù)名（一個同名的m文件定義），第2個參數(shù)是初值，第3、4個參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp('a=' num2str(a); % 顯示結(jié)果% 畫圖檢驗結(jié)果xi=1790:10:2010;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');% 預測1990年的數(shù)據(jù)x1=1990;y1=curvefit_fun2(a,x1)% 預測2000年的數(shù)據(jù)x2=200

16、0;y2=curvefit_fun2(a,x2)% 預測2010年的數(shù)據(jù)x3=2010;y3=curvefit_fun2(a,x3)% 預測2020年的數(shù)據(jù)x4=2020;y4=curvefit_fun2(a,x4)% 預測2030年的數(shù)據(jù)x5=2030;y5=curvefit_fun2(a,x5)hold off美國人口預測年份實際LogisticMalthus相對誤差(Malthus)相對誤差（Logistic)17903.93.95.59167-43.37615385018005.35.166916.92733-30.704339622.51113207518107.26.83548.5

17、8203-19.194861115.06388888918209.69.0253410.63198-10.749791675.986041667183012.911.8870313.17159-2.1053488377.85248062184017.115.6049416.317834.5740935678.743040936185023.220.3991220.215612.863793112.07275862186031.426.5216625.0444220.2407006415.53611465187038.634.2447731.0266719.6200259111.28297927

18、188050.243.8367638.4378723.4305378512.67577689189062.955.5226947.6193624.2935453111.7286327519007669.4302758.9939922.376328958.64438157919109285.5281473.0856220.55910877.0346304351920106.5103.5725590.5432614.982854462.7487793431930123.2123.08527112.170948.9521590910.0931251940131.7143.38309138.96472

19、-5.516112377-8.8709870921950150.7163.66332172.15862-14.23929662-8.6020703381960179.3183.12602213.28139-18.95225321-2.1338650311970204201.09536264.22698-29.523029411.4238431371980226.5217.10295327.34173-44.52173514.1488079471990-230.91488405.532422000-242.50778502.400172010-252.01481622.40632020259.6

20、639771.077782030265.7242955.26175中國人口預測年份中國MalthusLogistic相對誤差(Malthus)相對誤差（Logistic）1790323.45301.81471303.96.6889132796.0442108521800341.6314.8293305.142587.83685597210.672546841810360.75328.40509306.780568.96601801814.960343731820381342.56629308.939410.0875879318.913543311830409357.33813311.7840812.6312640623.769173591840412372.74695315.53149.5274393223.414708741850412388.82021320.465845.62616262122.217029131860377405.58657326.96015-7.58264456213.27