九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——實(shí)數(shù)

1、初中數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)第一講：實(shí)數(shù)一、實(shí)數(shù)的分類：1、 有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、；特定意義的數(shù)，如、°等。3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是 -a； （2）a和b互為相反數(shù)a+b=0，a=-ba0a=0a02、倒數(shù)：（1）實(shí)數(shù)a（a0）的倒數(shù)是；（2）a和b 互為倒數(shù)；（3）注意0沒有倒數(shù)3、絕對值：（1）一個(gè)數(shù)a 的絕對值有以下三種情況：（2）實(shí)

2、數(shù)的絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（3）去掉絕對值符號(hào)（化簡）必須要對絕對值符號(hào)里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性（正、負(fù)）確認(rèn)，再去掉絕對值符號(hào)。4、n次方根（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a0，稱叫a的平方根，叫a的算術(shù)平方根。（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。（3）立方根：叫實(shí)數(shù)a的立方根。（4）一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素。2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)

3、點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系。四、實(shí)數(shù)大小的比較 1、在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的反而小。五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1、加法：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)，并把它們的絕對值相加；（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結(jié)合律。2、減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。3、乘法：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對值相乘。（2）n個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0；若n個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符

4、號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。4、除法：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相除。（2）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（3）0除以任何數(shù)都等于0，0不能做被除數(shù)。5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)算，加、減是一級(jí)運(yùn)算，如果沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算。無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算。四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)|N|1，則|

5、N|= a×（其中1a10，n為整數(shù)）。例：123000=1.23×105 -123000=-1.23×1050|N|<1，則|N|= a×10-n（其中1a10，n為整數(shù)）。例：0.000123=1.23×10-4 -0.000123=-1.23×10-42、近似數(shù)字：注意兩點(diǎn)：（1）精確到哪一位；（2）過程比要求精確度多保留一位實(shí)數(shù)練習(xí)題：1.計(jì)算(2)2(2) 3的結(jié)果是( )A. 4 B. 2 C. 4 D. 122.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ） A（2）=2 B C2+3=5 D3.2008年5月27日，北京奧運(yùn)會(huì)火炬接力傳

6、遞活動(dòng)在古城南京境內(nèi)舉行，火炬?zhèn)鬟f路線全程約12900m，將12900用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）A0.129×105 B C D4.下列各式正確的是（ ） A B C D5.若，則的值為（ ） AB C0 D46.計(jì)算的結(jié)果是（ ） AB C D7.方程的解的相反數(shù)是（ ）A2 B2 C3 D38.下列實(shí)數(shù)中,無理數(shù)是（ ）A. B. C.D. 9.估計(jì)68的立方根的大小在( )A.2與3之間 B.3與4之間 C.4與5之間 D.5與6之間10.一種微生物大小為0.000011370000毫米，0.000011370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）第13題圖A1.137×10

7、7 B1.137×108 C0.1137×10-8 D1.137×10-5 11.在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（ ） A B C D12.小明和小莉出生于1998年12月份，他們的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，兩人出生日期之和是23，那么小莉的出生日期是（ ）A15號(hào)B16號(hào)C17號(hào)D18號(hào)13.如圖，在數(shù)軸上表示到原點(diǎn)的距離為3個(gè)單位的點(diǎn)有 14.若則 15.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是_ 16. 數(shù)軸上點(diǎn)A、B的位置如圖所示，若點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為_17.先找規(guī)律，再填數(shù)：1，則_.18.已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位

8、置如圖所示，且。化簡：19. 若，比較a、b、c的大小。20.計(jì)算 (1) (2) （3） 第二講：代數(shù)式一、代數(shù)式1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。者一個(gè)字母也是代數(shù)式。2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。3、代數(shù)式的分類：二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算1、概念（1）單項(xiàng)式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式

9、的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。升（降）冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋?，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）冪排列。（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、運(yùn)算（1）整式的加減：合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。 去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

10、 添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。 整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。 （2）整式的乘除： 冪的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。分式乘方：= 負(fù)指數(shù)冪： 零指數(shù)冪：a0=1 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多

11、項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式：，三、因式分解 1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： （2）運(yùn)用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法（pq型）：（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。（5）運(yùn)用求根公式法：若的兩個(gè)根是、，則有：

12、3、因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。四、分式 1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 （1）分式無意義：B=0時(shí)，分式無意義； B0時(shí)，分式有意義。 （2）分式的值為0：A=0，B0時(shí)，分式的值等于0。（3）分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。（4）最簡分式：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。

13、分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。 （5）通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。 （6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。 （7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。 2、分式的基本性質(zhì)： （1）；（2） （3）分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。 3、分式的運(yùn)算：（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。 （2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一個(gè)分式等于乘

14、上它的倒數(shù)式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。（即是冪運(yùn)算）五、二次根式 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。 （1）最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。 （2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與） 2、二次根式的性質(zhì)： （1） ；（2）；（3）（a0，b0）；（4） 3

15、、運(yùn)算： （1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。 （2）二次根式的乘法：（a0，b0）。 （3）二次根式的除法： 二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。代數(shù)式練習(xí)題：1計(jì)算：（ ）A B C D2下列計(jì)算正確的是（ ）A B C D3下列因式分解錯(cuò)誤的是()A BCD 4.若( )A. B. -2 C. D. 5化簡分式的結(jié)果為（）A B C D6要使的值為0，則m的值為（ ）Am=3 Bm=-3 Cm=±3 D不存在7. 估算的值()A在1到2之間 B在2到3之間 C在3到4之間 D在4到5之間8. 的倒數(shù)是（ ）A B C D9.

16、 若，則xy的值為 ( )10234NMQPA B C D10.如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是（ ）A點(diǎn)B點(diǎn) C點(diǎn) D點(diǎn)11下列根式中屬最簡二次根式的是（）A. B. C. D.12. 若=(xy)2，則xy的值為( )A.1 B.1 C.2 D.313分解因式： = _ _15.計(jì)算： =_；_16當(dāng)= 時(shí)，分式的值為017.先化簡，再求值：，其中18.已知，求的值19當(dāng)a=時(shí)，求的值20先化簡，再求值：，其中是方程的根第三講：方程和方程組 一、方程有關(guān)概念 1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程

17、的根。 3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a0） （2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a0） （3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1。 （4）一元一次方程有唯一的一個(gè)解。2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，a0） （2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、

18、因式分解法 （3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判別式： 當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)< 0時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根，無解；當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系： 若是一元二次方程的兩個(gè)根，那么：，（6）以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是： 三、分式方程（1）分式方程的解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。特殊方法：換元法。（2）檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必

19、須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。 四、方程組 （1）二元一次方程組： 一般形式：（不全為0） 解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法 解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無數(shù)的解。 （2）三元一次方程組： 解法：代入消元法和加減消元法 加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡單就先消那個(gè)未知數(shù)。提前學(xué)習(xí)一元二次方程的解法1.直接開平方法（降次）：滿足或的形式則用直接開平方法。2.配方法： 移：常數(shù)項(xiàng)在等號(hào)右邊，其余各項(xiàng)在等號(hào)左邊化：二次項(xiàng)系數(shù)化為1配：等號(hào)左右兩邊同時(shí)配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程化為的形式降: 方程化為 解：方程化為， 兩個(gè)一元一次方程，并求

20、出解。適用范圍：二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)。方程根的情況 適用的求根公式方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程無實(shí)數(shù)根3.公式法：適用所有一元二次方程，應(yīng)先將方程化為一般形式練習(xí)：用公式法解下列方程2x+3x+1=0 x2x+1 =0 5x3x+2 =0 4. 因式分解法：利用因式分解將一元二次方程化為（x+m）（x+n）=0的形式第四講：不等式與不等式組一、不等式與不等式的性質(zhì) 1、不等式的性質(zhì)： （l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不改變，如a b， c為實(shí)數(shù)acbc（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如ab， c0acbc。（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，如ab，c0acbc.注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯(cuò)。 2、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系（三種）：（1）a b 0 ab（2）a b=0a=b（3）ab0a