習(xí)題詳解第10章微分方程與差分方程初步

1、習(xí)題10-11. 指出下列方程的階數(shù)：(1)(2)(3) (4)解：(1)三階(2)二階(3)一階(4)一階2. 驗(yàn)證下列給出的函數(shù)是否為相應(yīng)方程的解：(1), (2), (3)，(4)，解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因?yàn)椋瑵M(mǎn)足； (4)是，代入，顯然滿(mǎn)足.3. 驗(yàn)證:函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解.解：滿(mǎn)足，所以是解，又因?yàn)楹袃蓚€(gè)任意常數(shù)，且方程是二階的，故是通解.4. 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解,求滿(mǎn)足初始條件x| t=0 =2,x¢| t=0 =0的特解.解：上題可知是微分方程

2、通解，且代入初值條件，得，所以特解為習(xí)題10-21. 求下列微分方程的通解：(1)；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) ；(7) ；(8) 解：(1)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：這就是方程通解 .(2)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(3)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(4)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(5)這是齊次方程，令則代入原方程并整理兩端分別積分：即這就是方程通解 .(6)這是齊次方程，化簡(jiǎn)得令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 .(7)這是齊

3、次方程，化簡(jiǎn)得令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 .(8)這是特殊方程，用換元法，令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 .2. 求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，解(1)分離變量：兩端分別積分：解得：將代入通解中，求得故所求特解為(2)分離變量：兩端分別積分：將代入通解中，求得故所求特解為(3)這是齊次方程,令則代入原方程并整理兩邊積分得即變量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值問(wèn)題的解為3. 一曲線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸間的任一切線(xiàn)線(xiàn)段均被切點(diǎn)所平分，且通過(guò)點(diǎn)(1,2)，求該曲線(xiàn)方程.解：設(shè)曲線(xiàn)方程為：由題意可得方程

4、:,且，解分離變量方程得：,由得，故所求曲線(xiàn)為：.4. 物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.例如，警方破案時(shí)，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時(shí)的溫度推斷這個(gè)人的死亡時(shí)間，就可以利用這個(gè)模型來(lái)計(jì)算解決.現(xiàn)設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解 設(shè)物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型:其中為比例常數(shù).下面來(lái)求上述初值問(wèn)題的解.分離變量,得兩邊積分得(其中為任意常數(shù))，即 (其中).從而再將條件(2)代入,得于是，所求規(guī)律為習(xí)題10-31. 求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3) ；(4)；(5) ；(6) 解(1)這是一階線(xiàn)性非齊

5、次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為 (2) 這是一階線(xiàn)性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為(3)這是一階線(xiàn)性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為(4)將x看作y的函數(shù)，即對(duì)進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線(xiàn)性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為.(5)將x看作y的函數(shù)，即對(duì)進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線(xiàn)性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為.(6)令則代入原方程并整理兩邊積分得變量回代得

6、所求通解2. 求解下列初值問(wèn)題：(1) ，；(2)，；(3)，；(4) ，.解(1)這是一個(gè)齊次線(xiàn)性方程,整理得，其通解為，將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(2)這是一階線(xiàn)性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(3)將x看作y的函數(shù)，即對(duì)進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線(xiàn)性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為.將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(4)這是伯努利方程，以除方程的兩端,得即令則上述方程變?yōu)榻獯司€(xiàn)性微分方程(過(guò)程略)，可得，得所求通解為，將初始條件代入上式，可得

7、，故所求特解為3. 通過(guò)適當(dāng)變換求下列微分方程的通解：(1) ；(2) .解(1)令則原方程化為.分離變量,得，兩端積分得以代入上式,得通解.(2)這是伯努利方程，其中，則有公式得通解4. 求過(guò)原點(diǎn)的曲線(xiàn)，使其每一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率等于橫坐標(biāo)的2倍與縱坐標(biāo)之和.解：由題意可得方程，這是一階非齊次線(xiàn)性方程，其中，然后用公式(10-6)可得所求通解為.習(xí)題10-41. 求下列微分方程的通解：(1)；(2) ；(3)；(4) ；(5) ；(6) 解：(1)(2), (3) 該方程是不顯含y的方程，令，則.原方程化為一階方程分離變量，得.兩邊積分得:再積分一次即得原方程的通解為(4) 該方程是不顯含y的方程

8、，令，則.原方程化為一階方程整理，得，這是一階非齊次線(xiàn)性方程，解得再積分一次即得原方程的通解為(5)該方程是不顯含x的方程，令，則,原方程化為分離變量得兩邊積分得：再由，解得(6)該方程是不顯含x的方程，令，則,原方程化為得解得：可解得通解為：2. 求解下列初值問(wèn)題：(1) ,；(2) ；(3) ，.解(1)相繼積分三次得出:，以代入后可得出，于是所求特解為(2)令代入方程并整理,有這是一階線(xiàn)性非齊次方程，代入公式，得由條件得所以?xún)啥嗽俜e分,得又由條件得于是所求初值問(wèn)題的解為(3)令由代入方程并化簡(jiǎn)得上式為可分離變量的一階微分方程，解得再分離變量,得由初始條件得出從而得再兩邊積分,得,，得從而

9、所求特解為.3. 已知平面曲線(xiàn)的曲率為,求具有常曲率的曲線(xiàn)方程.解：由題意得方程，令代入方程,有即解之，得習(xí)題10-51.下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)哪些是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的？(1) (2) ；(3) ，；(4) .解：(1)無(wú)關(guān)；(2)無(wú)關(guān)；(3)無(wú)關(guān)；(4)無(wú)關(guān).2. 驗(yàn)證與是方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，并寫(xiě)出其通解.解：當(dāng)，代入滿(mǎn)足方程；當(dāng)，代入也滿(mǎn)足方程；另外，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的（由定義可知），方程的通解為：.3. 求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ;(7)；(8).解：(1)特征方程的根為：,通解為；(2)特征方程的根為：,通解為；(3)特征方程的根為：,通解為；(

10、4) 特征方程的根為：,通解為；(5)特征方程的根為：,通解為；(6)特征方程的根為：,通解為；(7)特征方程的根為：,齊次通解為；可以看成是與之和所以分別求方程與方程的特解容易求得方程的一個(gè)特解為：按例9的方法可求得方程的一個(gè)特解為：于是原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為=.(8)為型的函數(shù)，且，是特征方程的根，所以取設(shè)特解為代入原方程，得比較兩端與的系數(shù)，得，故原方程的特解為而對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.于是原方程的通解為4. 求解下列初值問(wèn)題：(1) y|x=0=4、y¢|x=0=-2；(2) ,解：(1)特征方程的根為：,通解為；代入初值條件，得，方程特解為.(2)特征方程的根為：

11、,通解為；代入初值條件，得，方程特解為.5. 求下列微分方程的一個(gè)特解：(1) ；(2) ；(3)；(4) .解：(1)因?yàn)椋襶的系數(shù)，設(shè)特解為則，代入原方程，得，使兩端x同次冪的系數(shù)相等：,所求的特解為(2)因?yàn)?，且y的系數(shù)，設(shè)特解為則，代入原方程，使兩端x同次冪的系數(shù)相等得，,所求的特解為(3)是特征方程的重根，取，所以可設(shè)原方程的特解為，則，代入原方程得解得，故方程有一特解為.(4)可以看成是與之和所以分別求方程與方程的特解容易求得方程的一個(gè)特解為：另求得方程的一個(gè)特解為：于是原方程的一個(gè)特解為習(xí)題10-61. 求下列函數(shù)的一階與二階差分：(1) yt=3t2-t3；(2) yt=e2

12、t；(3) yt=lnt；(4) yt=t2·3t.解：(1),；(2),，(3),(4),2. 將差分方程2yt+2yt=0表示成不含差分的形式.解：因?yàn)?，故可化?. 指出下列等式哪一個(gè)是差分方程，若是，確定差分方程的階：(1) yt+5-yt+2+yt1=0;(2) 2yt-2yt=t；(3) 3yt+yt=1；(4) 2yt=3t-2yt；(5) 2yt=yt+2-2yt+1+yt.解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差為6，因此方程的階為7；(2) 是差分方程.由于，方程變?yōu)椋匠讨形粗瘮?shù)下標(biāo)的最大差為2，因此方程的階為2；(3)是差分方程.由于3yt，方

13、程變?yōu)?，未知函?shù)下標(biāo)的最大差為2，因此方程的階為2；(4) 將原方程變形為2(yt+1-yt)=3t-2yt，即2yt+1=3t,不符合定義3，因此，該等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于，方程變?yōu)?，所以不是差分方?4. 驗(yàn)證yt=C(-2)t是差分方程yt+1+2yt=0的通解.解：，所以是解，又方程的階數(shù)是1，所以是通解.習(xí)題10-71. 求下列一階常系數(shù)線(xiàn)性齊次差分方程的通解：(1) yt+1-2yt=0；(2) yt+1+3yt=0；(3) 3yt+1-2yt=0.解：(1)特征方程為：-2=0,特征根為=2，于是原方程的通解為yt=C2t.(2)特征方程為：+3=0,特征根

14、為=-3，于是原方程的通解為yt=C(-3)t.(2)特征方程為：3-2=0,特征根為，于是原方程的通解為2. 求下列差分方程在給定初始條件下的特解：(1) yt+1-3yt=0，且y0=3；(2) yt+1+yt=0，且y0=-2.解(1)特征方程為,特征根為，于是原方程的通解為將初始條件y0=3代入，得出C=3，故所求解為(2)特征方程為,特征根為，于是原方程的通解為將初始條件y0=-2代入，得出C=-2，故所求解為3. 求下列一階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次差分方程的通解：(1) yt+1+2yt=3；(2) yt+1-yt=-3；(3) yt+1-2yt=3t2；(4) yt+1-yt=t+1;(

15、5) ；(6) yt+1+2yt=t2+4t.解 (1)由于a=-2，k=3，令y*t=A(待定系數(shù))，代入方程得A+2A=3，從而A=1，即y*t=1，故原方程的通解為yt=C(-2)t+1.(2)由于a=1，k=-3，令y*t=At(待定系數(shù))，代入方程得A=-3，即y*t=-3t，故原方程的通解為yt=-3t+C.(3)設(shè)y*t=A0+A1t+A2t2為原方程的解，將y*t代入原方程并整理，比較同次冪系數(shù),可得A0=-9，A1=-6，A2=-3.從而,故原方程的通解為(4)由于a=1,設(shè)y*t=(A0+A1t)t為原方程的解，將y*t代入原方程并整理，比較同次冪系數(shù),可得,從而,故原方程

16、的通解為(5)由，令原方程有一個(gè)特解為，解得.于是原方程的通解為(6)設(shè)f1(t)=t2，f2(t)= 4t，則f(t)=f1(t)+f2(t).對(duì)于f1(t)=t2，因a=-21，可令特解y*t1=A0+A1t+A2t2；對(duì)于f2(t)= 4t，因a=-24，可令y*t2=B4t故原方程的特解可設(shè)為y*t=A0+A1t+A2t2+B4t，代入原方程，得，于是，故所求通解為4. 求下列差分方程在給定初始條件下的特解：(1) yt+1-yt=3+2t，且y0=5；(2) 2yt+1+yt=3+t，且y0=1;(3) yt+1-yt=2t-1，且y0=2.解 (1) 由于a=1,設(shè)y*t=(A0+

17、A1t)t為原方程的解，將y*t代入原方程并整理，比較同次冪系數(shù),可得,從而,故原方程的通解為又有初始條件y0=5，可知，故特解為(2)由于,設(shè)y*t=A0+A1t為原方程的解，將y*t代入原方程并整理，比較同次冪系數(shù),可得,故原方程的通解為又有初始條件y0=1，可知，故特解為(3)由a=1可知，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為yt=C.設(shè)f1(t)=2t，f2(t)=-1，則f(t)=f1(t)+f2(t).對(duì)于f1(t)=2t，因a=13，可令y*t1=A2t；對(duì)于f2(t)=-1，因a=1，可令y*t2=Bt.故原方程的特解可設(shè)為y*t=A2t+Bt，代入原方程，得,故所求通解為又有初始條件y0=

18、2，可知,故特解為.5. 某人向銀行申請(qǐng)1年期的貸款25000萬(wàn)元，約定月利率為1%，計(jì)劃用12個(gè)月采用每月等額的方式還清債務(wù)，試問(wèn)此人每月需付還銀行多少錢(qián)？若記yt為第t個(gè)月后還需償還的債務(wù)，a為每月的還款額，寫(xiě)出yt所滿(mǎn)足的差分方程以及每月還款額的計(jì)算公式.解先對(duì)問(wèn)題的進(jìn)行分析，第1個(gè)月后還需償還的貸款為y1=y0 (1+1%)-a;第2個(gè)月后還需償還的貸款為y2=y1(1+1%)-a;第t+1個(gè)月后還需償還的貸款為yt+1=yt(1+1%)-a ，即yt+1-1.01yt=-a.這是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為=1.011，設(shè)差分方程有特解y*t=A，代入

19、得到，于是有通解.代入初始條件y0=25000，及得，從上面的等式解得.6. 設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)期t的價(jià)格、供給量與需求量分別為Pt，St與Qt(t=0，1，2，).并滿(mǎn)足關(guān)系：(1)St=2Pt+1，(2)Qt=-4Pt1+5，(3) Qt=St.求證：由(1)(2)(3)可推出差分方程Pt+1+2Pt=2.若已知P0，求上述差分方程的解.解由題意可得2Pt+1=-4Pt1+5，即2Pt+1=-4Pt+4，得差分方程Pt+1+2Pt=2，容易求得方程的特解為：，方程的通解為：,故所求差分方程的解為7. 設(shè)Ct為t時(shí)期的消費(fèi)，yt為t時(shí)期的國(guó)民收入，I=1為投資(各期相同)，設(shè)有關(guān)系式Ct=ayt1

20、+b，yt=Ct+1，其中a，b為正常數(shù)，且a<1，若基期(即初始時(shí)期)的國(guó)民收入y0為已知，試求Ct，yt表示為t的函數(shù)關(guān)系式.解由Ct=ayt1+b，yt=Ct+1，得，又因?yàn)閍<1，故可設(shè)特解為，代入得，所以方程的通解為，,故所求差分方程的解為，從而.復(fù)習(xí)題10（A）1. 通解為y=Ce-x+x的微分方程是.解方程是一階的，方程為.2. 通解為y=C1ex+C2e2x的微分方程是.解易見(jiàn)這是二階常系數(shù)方程的解，特征根為,特征方程為所以微分方程為.3. 微分方程xdy-(x2ex+y)dx=0的通解是.解方程可化為，通解為.4. 微分方程xy+y=0滿(mǎn)足初始條件y(1)=1的特

21、解是.解分離變量得，通解為，初始條件y(1)=1特解為5. 設(shè)非齊次線(xiàn)性微分方程y+P(x)y=Q(x)有兩個(gè)不同的解y1(x)與y2(x)，C是任意常數(shù)，則該方程的通解是.ACy1(x)+y2(x)BCy1(x)-y2(x)Cy1(x)+Cy1(x)-y2(x)Dy1(x)+Cy1(x)+y2(x)解非齊次通解=齊次通解+非齊次特解，齊次通解，非齊次特解為：所以選擇C.6. 微分方程y+4y=sin2x的一個(gè)特解形式是.ACcos2x+D(sin2x)B D (sin2x)CxCcos2x+ D (sin2x)Dx·D (sin2x)解因?yàn)椋翘卣鞣匠痰母?，所以取設(shè)特解為選擇C.7

22、. 解下列一階微分方程：(1) (1+y2)dx=xy(x+1)dy；(2) x(y+1)+sin(x+y)=0；(3) ；(4) xy+2y=sinx；(5) tanydx=(siny-x)dy；(6) (y-2xy2)dx=xdy.解 (1)分離變量，積分得，化簡(jiǎn)得；(2)令，原方程化為，積分得，化簡(jiǎn)并整理得通解：.(3)，原方程化為，積分得方程通解為(4)這是一階線(xiàn)性非齊次方程，所以方程通解為(5)設(shè)，方程化為，這是一階線(xiàn)性非齊次方程，所以方程通解為(6)方程可化，這是伯努利方程，其中，所以方程通解為即.8. 解下列二階微分方程：(1) (1+x)y+y=ln(1+x)；(2) y+3y

23、+2y=2x2+x+1；(3) y+2y-3y=2ex；(4) y+y=x+cosx.解 (1)易見(jiàn)不顯含y，令代入方程得，即，所以，兩邊積分.(2)這是二階常系數(shù)非齊次方程，由設(shè)特解為，帶入方程并對(duì)比兩端的系數(shù)，得，故非齊次特解為；齊次通解為，從而方程通解為.(3)這是二階常系數(shù)非齊次方程，因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃?，所以取設(shè)特解為，代入原方程后，解得，故方程的一個(gè)特解為：.所求的通解為.(4)可以看成是與之和所以分別考察方程與方程的特解容易求得方程的一個(gè)特解為：容易求得方程的一個(gè)特解為：于是原方程的一個(gè)特解為又原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，故原方程的通解為.9. 解下列差分方程：(1) yt+

24、1+4yt=2t2+t-1；(2) yt+1-yt=t·2t+3.解 (1)由于a=4，令y*t=A0+A1t+A2t2 (待定系數(shù))，代入方程得，故原方程的通解為.(2)分別求yt+1-yt=t·2t和yt+1-yt=3的特解，對(duì)yt+1-yt=t·2t，由a=3，b=2，可設(shè)原方程有一特解為y*t=(A0+A1t)2t，代入原方程，可解得；對(duì)yt+1-yt=3，由a=1，可設(shè)原方程有一特解為y*t=Bt，代入原方程，可解得；故原方程的通解為（B）1. 設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)過(guò)點(diǎn)(0，-1)，且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為2xln(1+x2)，則f(x)=.解易得微分方程，直接積分得，利用分部積分法，過(guò)點(diǎn)(0，-1)，代入可得，所以f(x)=2. 某企業(yè)每年的工資總額在比上一年增加10%的基礎(chǔ)上再追加獎(jiǎng)金3百萬(wàn)元.若以yt表示第t年的工資總額(單位：百萬(wàn)元)，則yt滿(mǎn)足的差分方程是.解易見(jiàn)，所以差分方程為.3. 微分方程滿(mǎn)足初始條件y(1)=1的特解是.解令，帶入方程得，求解得即代入條件y(1)=1，可得，化簡(jiǎn)得.4. 差分方程2yt+1+10yt=5t的通解是.解由，設(shè)特解為，代入得，所以通解為.5. 設(shè)三個(gè)線(xiàn)