條件分布與隨機變量的獨立性

1、第二節(jié) 條件分布與隨機變量的獨立性內(nèi)容分布圖示 條件分布的概念 例1 隨機變量的獨立性 離散型隨機變量的條件分布與獨立性 例2 例3 例4 連續(xù)型隨機變量的條件分布與獨立性 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 內(nèi)容小結 課堂練習 習題3-2 返回內(nèi)容要點: 一、 條件分布的概念設是一個隨機變量, 其分布函數(shù)為若另外有一事件已經(jīng)發(fā)生, 并且的發(fā)生可能會對事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響, 則對任一給定的實數(shù), 記并稱為在發(fā)生的條件下, 的條件分布函數(shù). 二、 隨機變量的獨立性設是隨機變量所生成的事件: , 且, 則有.一般地, 由于隨機變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個隨機變量的取值可能會影響另一個

2、隨機變量的取值統(tǒng)計規(guī)律性. 在何種情況下, 隨機變量之間沒有上述影響, 而具有所謂的“獨立性”, 我們引入如下定義.定義 設隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為, 邊緣分布函數(shù)為, 若對任意實數(shù),有即 則稱隨機變量和相互獨立.關于隨機變量的獨立性, 有下列兩個定理.定理1 隨機變量與相互獨立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨立, 即, 對任意實數(shù)集, 有定理2 如果隨機變量與相互獨立, 則對任意函數(shù)均有相互獨立. 三、離散型隨機變量的條件分布與獨立性設是二維離散型隨機變量, 其概率分布為則由條件概率公式, 當, 有稱其為在條件下隨機變量的條件概率分布.對離散型隨機變量, 其獨立性的定義等價于:

3、若對的所有可能取值 有即 則稱和相互獨立. 四、 連續(xù)型隨機變量的條件密度與獨立性定義 設二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為,邊緣概率密度為, 則對一切使的, 定義在的條件下的條件概率密度為.類似地, 對一切使的, 定義在的條件下的條件密度函數(shù)為.注: 關于定義表達式內(nèi)涵的解釋. 以為例. 在上式左邊乘以, 右邊乘以即得 換句話說, 對很小的和,表示已知取值于和之間的條件下, 取值于和之間的條件概率.對二維連續(xù)型隨機變量, 其獨立性的定義等價于:若對任意的, 有幾乎處處成立, 則稱相互獨立.注: 這里“幾乎處處成立”的含義是:在平面上除去面積為0的集合外,處處成立.例題選講： 條件分布的概念例1

4、(講義例1) 設服從上的均勻分布, 求在已知的條件下的條件分布函數(shù). 隨機變量的獨立性例2 (講義例2) 設與的聯(lián)合概率分布為 Y X0200.10.2010.30.050.120.1500.1 (1) 求時, 的條件概率分布以及時, 的條件概率分布;(2)判斷與是否相互獨立?例3 (講義例3) 設隨機變量X與Y相互獨立, 下表列出了二維隨機變量聯(lián)合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X 1/81/81/61例4 (講義例4) 一射手進行射擊,擊中目標的概率為, 射擊進行到擊中目標兩次為止. 以表示首次擊中目標所進行射擊次數(shù), 以表示總共進行的

5、射擊次數(shù). 試求和的聯(lián)合分布及條件分布. 連續(xù)型隨機變量的條件密度與獨立性例5 (講義例5)設的概率密度為;問和是否獨立? 例6 設服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求例7 (講義例7)設(1) 求 和 . (2) 證明與相互獨立的充要條件是.例8 (講義例6)甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面. 如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布. 乙獨立地到達, 而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少?例9 設數(shù)在區(qū)間均勻分布，當觀察到時，數(shù)在區(qū)間上等可能隨機地取值.求的概率密度.例10 設店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為，當日銷售量為假定一天中不再上柜臺上補充貨物，于是. 根據(jù)歷史資料，的概率密度函數(shù)為 即服從直角三角形區(qū)域上的均勻分布, 見圖32A. 求(1) 給定條件下,的條件分布.(2)假定某日開門時,件,求這天顧客買走件的概率. 如果件呢? 例11 (講義例8)設隨機變量的概率密度為(1) 求與的邊際概率密度, 并判斷與是否相互獨立;(2) 求在的條件下, 的條