常微分方程第二章習(xí)題課

1、 Ordinary differential equation王高雄王高雄 周之銘周之銘 朱思銘朱思銘 王壽松編王壽松編（第三版）（第三版）第二章第二章 一階微分方程的初等積分法一階微分方程的初等積分法Integrated Method of First Order ODE 習(xí)題課習(xí)題課基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.可化為齊次可化為齊次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.線性方程線性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;1;定理

2、定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4歐拉方程歐拉方程二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根特征方程的根及其對應(yīng)項(xiàng)及其對應(yīng)項(xiàng)f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方程法特征方程法一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子1 1、基本概念、基本概念微分方程微

3、分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解式的函數(shù)稱為微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得

4、到的解，確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始條件初始條件用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題叫初值問題dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) c

5、c，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程否則為非齊次方程(3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程解法解法化為齊次方程化為齊次方程)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）(5) 伯努利伯努利(

6、Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程xQyP 全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與

7、路徑無關(guān). yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(Cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.通解為通解為(7) 可化為全微分方程可化為全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.公式法公式法: :)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfe

8、x 則則)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 則則觀察法觀察法: :熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過觀察熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過觀察直接找出積分因子直接找出積分因子常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 本章內(nèi)容本章內(nèi)容/Main Contents/2.1 2.1 變量分離方程與變量變

9、換變量分離方程與變量變換2.2 2.2 線性方程與常數(shù)變易法線性方程與常數(shù)變易法 2.3 2.3 恰當(dāng)方程與積分因子恰當(dāng)方程與積分因子 2.4 2.4 一階隱式方程與參數(shù)表示一階隱式方程與參數(shù)表示 本章要求本章要求/Requirements/ 熟練掌握一些重要的常見的熟練掌握一些重要的常見的一階方程的類型及其求解方法。一階方程的類型及其求解方法。注意注意： 正確判斷方程的類型正確判斷方程的類型Ch.2 Integrated Method of First Order ODE2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換 Separable First-Order ODE & Tr

10、ansform 本節(jié)要求本節(jié)要求/Requirements/1 熟練掌握變量分離方程，齊次方程的求解方法。 2 熟練掌握運(yùn)用變量變換將方程化為熟知類型求解的思想方法，求更廣泛類型方程的解。 變量分離方程 與變量變換 特點(diǎn)變量分離方程解法舉例齊次方程可化為變量分離的類型可化為齊次方程的類型內(nèi)容提要內(nèi)容提要/Main Contents/變量分離方程與變量變換 可化為齊次方程的類型齊次方程可化為變量分離的類型舉例解法特點(diǎn)變量分離方程本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)/Conclusion/Conclusion/通解的形式及其中任意常數(shù)的意義。注意注意/Note/Note/：)( 22xyfdxdyx)( 42xyxf

11、dxdy課堂練習(xí)課堂練習(xí)/Exercise/Exercise/yxpdxdy)( 1yxedxdy 22)(1 3yxdxdyyyyxxxyxdxdy32232332 4思考思考以下方程的求解方法)( 1cbyaxfdxdy0)()( 3dyxyxgdxxyyf 2.2 2.2 線性方程與常數(shù)變易法線性方程與常數(shù)變易法 /Linear ODE and variation of constants Method/本節(jié)要求本節(jié)要求/Requirements/ 熟練掌握線性方程線性方程和伯努利方程伯努利方程的求解方法。 了解黎卡提方程黎卡提方程的簡單性質(zhì)及其求解方法。內(nèi)容提要內(nèi)容提要/Constan

12、t Abstract/:齊次線性方程 特點(diǎn) 解法 舉例線性方程常數(shù)變易法(積分因子方法）非齊次線性方程求解步驟 舉例 隨堂練習(xí)伯努利方程線性方程與常數(shù)變易法特點(diǎn)可化為線性方程的方程 黎卡提方程解法其他可化為線性方程的方程重點(diǎn)與難點(diǎn)思考思考題思考題xyxedxdye1 ) 1 (0 )2(yxxeey0)ln(ln ) 3 (dyyxydxy 2.2 Linear ODE and variation of constants Method提示提示: :1yxdyexedx1 20)(2yxyxyeeeee 3yyxdeexedx（線性方程）0 yxxeey02ueueuxx（伯努利方程）ln11

13、lnlndxxyxdyyyyyy 0)ln(ln dyyxydxy（線性方程）yyxdyeexedx 2.2 Linear ODE and variation of constants Method解解 原方程可改寫為: yxyydxdylnln故通解為:0)ln(lndyyxydxy ,ln1)(yyyPyyyxdydxlnlnyxyydydx1ln1yyQ1)()1(ln1ln1ceyexdyyydyyy)ln(ln1cdyyyy 2.2 Linear ODE and variation of constants Method)(ln21ln12cyy)ln(ln1cdyyyy即: 1ln

14、2lncxyy(2ln )ln2xyyc或： 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2.3 恰當(dāng)方程與積分因子恰當(dāng)方程與積分因子 2.4 一階隱方程與參數(shù)表示一階隱方程與參數(shù)表示 二、典型例題二、典型例題.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化為原方程可化為),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuu

15、uu 分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解為所求通解為.cosCxyxy .32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即對應(yīng)齊方通解為對應(yīng)齊方通解為,32Cxz 一階線性非齊方程一階線性非齊方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxCz 設(shè)設(shè)代入非齊方程得代入非齊方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解為原方程的通解為.73323731xC

16、xy 利用常數(shù)變易法利用常數(shù)變易法. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例3 3解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程為全微分方程方程為全微分方程.(1) 利用原函數(shù)法求解利用原函數(shù)法求解:,2),(3yxxuyxu 則則設(shè)原函數(shù)為設(shè)原函數(shù)為),(),(32yyxyxu ,求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx (2) 利用分項(xiàng)組合法求解利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為原方程重新組合為, 0)1()(32

17、ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx (3) 利用曲線積分求解利用曲線積分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx . 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用積分因子法利用積分因子法:原方程重新組合為原方程重新組合為),(2)(22xdyydxdydxyx 222yxx

18、dyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解為故方程的通解為.yxyxCeyx 一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齊次方程；齊次方程； (B) (B)一

19、階線性方程；一階線性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分離變量方程可分離變量方程 . .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (A) (A)222 yx； (B) (B)933 yx； (C) (C)133 yx； (D) (D)13333 yx. .4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (A) (A)322121cosCxCxCxy ； (B) (B)322121sinCxCxCxy ； (C)(C)1cosCxy ； (D) (D)xy2sin2 . .1010、方程、方程xeyyy

20、x2cos23 的一個特解形式是的一個特解形式是 ( ).( ). (A) (A) xeAyx2cos1 ； (B) (B) xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ； (C) (C) xeBxeAyxx2sin2cos11 ； (D) (D) xexBxexAyxx2sin2cos2121 . .二二、 求求下下列列一一階階微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、)1(lnln xaxyxyx； 2 2、033 yxxydxdy； 3 3、022 yxxdyydxydyxdx. .三三、 求求下下列列高高階階微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、012 yyy；2 2、)4(2 xexyyy. .四四、 求求下下列列微微分分方方程程滿滿足足所所給給初初始始條條件件的的特特解解: :1 1、0)(2223 dyxyxdxy, ,11 yx時(shí)時(shí)，；2 2、xyyycos2 , ,23,00 yyx時(shí)時(shí)，. .五五、已已知知某某曲曲線線經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn))1,1(, ,它它的的切切線線在在縱縱軸軸上上的的截截 距距等等于