一元二次方程專題能力培優(yōu)(含答案)

1、第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程專題一 利用一元二次方程的定義確定字母的取值 1.已知是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）A.m3 B.m3 C.m-2 D. m-2且m32. 已知關于x的方程，問：（1）m取何值時，它是一元二次方程并寫出這個方程；（2）m取何值時，它是一元一次方程？專題二 利用一元二次方程的項的概念求字母的取值3.關于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常數項為0，求m的值4.若一元二次方程沒有一次項，則a的值為 .專題三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代數式5.已知關于x的方程x2+bx+a=0的一個根是-a（a0），則a-b值為（）

2、A.1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，ab+c=0，則此方程必有一個根為 .7.已知實數a是一元二次方程x22013x+1=0的解，求代數式的值.知識要點：1.只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次），等號兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.3.使一元二次方程的兩邊相等的未知數的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次項系數不為0的條件.2.一元二次方程

3、的根是兩個而不再是一個.方法技巧：1.axk+bx+c=0是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論.2.利用一元二次方程的解求字母或者代數式的值時常常用到整體思想，需要同學們認真領會. 答案：1. D 解析：，解得m-2且m32.解：（1）當時，它是一元二次方程.解得：m=1當m=1時，原方程可化為2x2-x-1=0；（2）當或者當m+1+（m-2）0且m2+1=1時，它是一元一次方程. 解得：m=-1，m=0.故當m=-1或0時，為一元一次方程3.解：由題意，得： 解得：m=14.a=-2 解析：由題意得解得a=2.5. A 解析：關于x的方程x2+bx+a=0的一個根是-a（a0），a2a

4、b+a=0.a（ab+1）=0.a0，1-b+a=0.a-b=-16.x=1 解析：比較兩個式子會發(fā)現：（1）等號右邊相同；（2）等號左邊最后一項相同；（3）第一個式子x2對應了第二個式子中的1，第一個式子中的x對應了第二個式子中的-1.故.解得x=1.7. 解：實數a是一元二次方程x22013x+1=0的解，a22013a+1=0.a2+1=2013a，a22013a=1.2.2 一元二次方程的解法專題一 利用配方法求字母的取值或者求代數式的極值1. 若方程25x2-（k-1）x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式；則k的值為（）A-9或11 B-7或8 C-8或9 C-8或92.如果代數式

5、x2+6x+m2是一個完全平方式，則m= .3. 用配方法證明：無論x為何實數，代數式2x2+4x5的值恒小于零專題二 利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍4.已知a，b，c分別是三角形的三邊，則方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）A.沒有實數根 B.可能有且只有一個實數根C.有兩個相等的實數根D.有兩個不相等的實數根5.關于x的方程kx2+3x+2=0有實數根，則k的取值范圍是（ ）6.定義：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）滿足abc0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程已知ax2bxc0（a0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是

6、（）AacBab CbcDabc專題三 解絕對值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，則x2+y2= .8. 閱讀題例，解答下題：例：解方程x2|x1|1=0.解：（1）當x10，即x1時，x2（x1）1=0，x2x=0.解得：x1=0（不合題設，舍去），x2=1.（2）當x10，即x1時，x2+（x1）1=0，x2+x2=0.解得x1=1（不合題設，舍去），x2=2.綜上所述，原方程的解是x=1或x=2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|4=0專題四 一元二次方程、二次三項式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空：10.請先閱讀例題的解答過程，然后

7、再解答：代數第三冊在解方程3x（x+2）=5（x+2）時，先將方程變形為3x（x+2）-5（x+2）=0，這個方程左邊可以分解成兩個一次因式的積，所以方程變形為（x+2）（3x-5）=0我們知道，如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反過來，如果兩個因式有一個等于0，它們的積等于0因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相當于解方程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解為x1=-2，x2= 根據上面解一元二次方程的過程，王力推測：ab0，則有 或者請判斷王力的推測是否正確？若正確，請你求出不等式 的解集，如果不正確，請說明理由專題五 利用根與系數的關系求字母的取值范圍及

8、求代數式的值11. 設x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=12.（2012·懷化）已知x1、x2是一元二次方程的兩個實數根， 是否存在實數a，使x1x1x2=4x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由； 求使（x11）（x21）為負整數的實數a的整數值13.(1)教材中我們學習了：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,x1+x2=, x1·x2=.根據這一性質，我們可以求出已知方程關于x1、x2的代數式的值例如：已知x1、x2為方程x2-2x-1=0的兩根，則：（1）x1+x2=_，

9、x1·x2=_，那么x12+x22=( x1+x2)2-2 x1·x2=_ _請你完成以上的填空（2）閱讀材料：已知，且求的值解：由可知.又且，即是方程的兩根=1（3）根據閱讀材料所提供的的方法及（1）的方法完成下題的解答已知，且求的值知識要點：1.解一元二次方程的基本思想降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判別式=b-4ac與一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的關系：當>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數解；當=0時，一元二次方程有兩個相等的實數解；<0時，一元二次方程沒有實數解.3.一元

10、二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2與系數a、b、c之間存在著如下關系：x1+x2=，x1x2=.溫馨提示：1.x2+6x+m2是一個完全平方式，易誤以為m=3.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2有雙層含義：（1）ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=，x1x2=.方法技巧：1.求二次三項式ax2+bx+c極值的基本步驟：（1）將ax2+bx+c化為a（x+h）2+k；（2）當a>0，k>0時，a（x+h）2+kk；當a<0，k<0時，a（x+h）2+kk.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0

11、的兩個根為x1x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）3.解絕對值方程的基本思路是將絕對值符號去掉，所以要討論絕對值符號內的式子與0的大小關系.4.解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉化為關于某個式子的一元二次方程求解.5.利用根與系數求解時，常常用到整體思想.答案：1.A 解析：根據題意知，-（k-1）=±2×5×1，k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9 2. ±3 解析：據題意得，m2=9，m=±33.證明：2x2+4x5=2（x22x）5=2（x22x+1）5+2=2（x1）23.（x1

12、）20，2（x1）20，2（x1）230.無論x為何實數，代數式2x2+4x-5的值恒小于零4.A 解析：=（2c）24（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（cab）.根據三角形三邊關系，得cab0，a+b+c00該方程沒有實數根5.A 解析：當kx2+3x+1=0為一元一次方程方程時，必有實數根，此時k=0；當kx2+3x+1=0為一元二次方程且有實數根時，如果有實數根，則.解得且k0.綜上所述.6.A 解析：一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個相等的實數根，b24ac0，又abc0，即bac，代入b24ac0得（ac）24ac0，化簡得（ac）20，所以ac7.13 解析：由題意得x

13、2+y2-5=±8.解得x2+y2=13或者x2+y2=3（舍去）.8.解：當x+20，即x2時，x2+2（x+2）4=0，x2+2x=0.解得x1=0，x2=2；當x+20，即x-2時，x22（x+2）4=0，x22x8=0.解得x1=4（不合題設，舍去），x2=2（不合題設，舍去）綜上所述，原方程的解是x=0或x=29.，3；，3發(fā)現的一般結論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）11.8 解析：x1x23，x22+4x23=0，2x1(x22+5x23)+a =2轉化為2x1(x22+4x23+ x2)+a =2.2

14、x1x2+a =2.2×(3)+a2.解得a8.12.解：（1）根據題意，得=（2a）24×a（a6）=24a0a0又a60，a6由根與系數關系得：x1x2=，x1x2=.由x1x1x2=4x2 得x1x2 4=x1x2.4 =，解得a=24經檢驗a=24是方程4 =的解（2）原式=x1x2 x1x2 1=1=為負整數，6a為1或2，3，6.解得a=7或8，9，1213.解：（1）2，1， 6（3）由n2+3n-2=0可知n0,1+=0. 1=0.又2m2-3m-1=0,且mn1，即mm、是方程2x2-3x-1=0的兩根m+= ,m·=,m2+ =(m+ )2-2

15、m·=( )2-2·()= .2.3 一元二次方程的應用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1.在高度為2.8m的一面墻上，準備開鑿一個矩形窗戶現用9.5m長的鋁合金條制成如圖所示的窗框問：窗戶的寬和高各是多少時，其透光面積為3m2（鋁合金條的寬度忽略不計）2.如圖：要設計一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應如何設計每個彩條的寬度？3. 數學的學習貴在舉一反三，觸類旁通.仔細觀察圖形，認真思考，解決下面的問題：（1）在長為m，寬為m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路（

16、如圖（1），則余下草坪的面積可表示為 ；（2）現為了增加美感，設計師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2），則此時余下草坪的面積為 ；（3）聰明的魯魯結合上面的問題編寫了一道應用題，你能解決嗎？相信自己哦！（如圖（3），在長為50m，寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖3），此時余下草坪的面積為1421求小路的寬x.專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4.據報道，我省農作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產出的農作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年

17、的利用率提高到60%，求每年的增長率（取 1.41）5.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？6.（2012·廣元）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準備以每平方米7000元的價格出售，由于國家出臺了有關調控房地產的政策，開發(fā)商經過兩次下調銷售價后，決定以每平方米5670元的價格銷售（1）求平均每次下調的百分率；（2）房產銷售經理向開放商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力請問房產銷售經理的方案對購房者是否更優(yōu)惠

18、？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場經濟問題7.（2012·濟寧）一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元該校最終向園林公司支付樹苗款8800元請問該校共購買了多少棵樹苗？8.（2012·南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的售價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部；月底廠

19、家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.(1)若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元.(2)如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題9. (1)經過凸邊形(3)其中一個頂點的對角線有 條.(2)一個凸多邊形共有14條對角線,它是幾邊形？ (3)是否存在有21條對角線的凸多邊形？如果存在,它是幾邊形？如果不存在,說明得出結論的道理.10.如圖每個正方形是由邊長為1的小正方形組成（1）觀察圖形，請?zhí)钆c

20、下列表格： 正方形邊長1357n（奇數）紅色小正方形個數正方形邊長2468n（偶數）紅色小正方形個數（2）在邊長為n（n1）的正方形中，設紅色小正方形的個數為P1，白色小正方形的個數為P2，問是否存在偶數n，使P2=5P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由知識要點：列方程解決實際問題的常見類型：面積問題，增長率問題、經濟問題、疾病傳播問題、生活中的其他問題.溫馨提示：1.若設每次的平均增長(或降低)率為x，增長(或降低)前的數量為a，則第一次增長(或降低)后的數量為a(1±x)，第二次增長(或降低)后的數量為a(1±x)22.面積(體積)問題屬于幾何圖形的應用題，

21、解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據面積(體積)公式列出一元二次方程3.列方程解決實際問題時，方程的解必須使實際問題有意義，因此要注意檢驗結果的合理性.方法技巧：1. 變化率問題中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2.解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關系.答案：1.解：設高為x米，則寬為米.由題意，得.解得 (舍去,高度為2.8m的一面墻上).當x=1.5時，寬.答：高為1.5米,寬為2米.2.解：設橫、豎彩條的寬度分別為

22、2xcm、3xcm，由題意，得（206x）（304x）=（1）×20×30.整理，得6x265x500.解，得x1，x210（不合題意，舍去）.2x，3x.答：每個橫、豎彩條的寬度分別為cm，cm3.解：(1)（或）；(2) （或）；(3)將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長為(50-x)m,將彎曲的小路的兩側重合，則余下部分的寬為（30-x）m,由題意得：(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.答：小路的寬為1m.4.解：設我省每年產出的農作物秸桿總量為a，合理利用量的增長率是x，由題意，得30%a（1+x）2=60%a.x10.41，x2-2.41（不合題意舍去）x0.41答：每年的增長率約為41% 5.解：設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意，得1x(1x)x81.整理得(1x)281