上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案

1、2006年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試卷（2006年3月26日 星期日 上午8：3010：30）題 號(hào)一二總分189101112得 分評(píng) 卷復(fù) 核【說(shuō)明】解答本試卷不得使用計(jì)算器一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，滿足，則xyz的最大值是 2設(shè)從正整數(shù)k開(kāi)始的201個(gè)連續(xù)正整數(shù)中，前101個(gè)正整數(shù)的平方和等于后100個(gè)正整數(shù)的平方和，則k的值為 3設(shè)是給定的整數(shù)，是實(shí)數(shù)，則的最大值是 4在ABC中，已知，過(guò)邊AC上一點(diǎn)D作直線DE，與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E，使得，且DE將ABC的面積兩等分，則 5對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，不等式恒成立，則常

2、數(shù)C的最大值是 （注：表示x，y，z中的最大者）6設(shè)，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)a，b的值分別為 7在直三棱柱中，已知底面積為s平方米，三個(gè)側(cè)面面積分別為m平方米，n平方米，p平方米，則它的體積為 立方米8已知函數(shù)RR滿足：對(duì)任意R，都有，則所有滿足條件的函數(shù)f為 二、解答題9（本題滿分14分） 已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，一條過(guò)焦點(diǎn)F，傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接BO，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求四邊形的面積 10（本題滿分14分） 數(shù)列定義如下：，且當(dāng)時(shí)，已知，求正整數(shù)n 密 封 線 11（本題滿分16分） 對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)互不相等的凸邊形的邊染色，每條邊可以染紅、黃、

3、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？12（本題滿分16分） 設(shè)，求的最大值和最小值2006年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1、 2、201003、 4、5、1003 6、，b07、 8、二、解答題9（本題滿分14分） 已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，一條過(guò)焦點(diǎn)F，傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接BO，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求四邊形的面積解 當(dāng)時(shí)， （4分）當(dāng)時(shí)，令設(shè)，則由， ， 消去x得，所以 ， 又直線AO的方程為：，即為，所以，AO與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，而

4、由知，所以B和的縱坐標(biāo)相等，從而軸同理軸，故四邊形是直角梯形（9分）所以，它的面積為（14分）10（本題滿分14分） 數(shù)列定義如下：，且當(dāng)時(shí)，已知，求正整數(shù)n解 由題設(shè)易知，又由，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， （4分）由，所以n為偶數(shù)，于是，所以，是奇數(shù)于是依次可得：， 是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)， ，是奇數(shù)， （9分），是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，所以，解得，n238 （14分）11（本題滿分16分） 對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)互不相等的凸邊形的邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？ 解 設(shè)不同的染色法有種易知 （4分） 當(dāng)時(shí)，首先，對(duì)于邊，有3種不同的染法，由于邊的顏色與邊的顏色不同，所以，對(duì)邊有2種不同的染法，類似地，對(duì)邊，邊均有2種染法對(duì)于邊，用與邊不同的2種顏色染色，但是，這樣也包括了它與邊顏色相同的情況，而邊與邊顏色相同的不同染色方法數(shù)就是凸n1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)，于是可得 ， （10分） 于是 ， ， 綜上所述，不同的染色方法數(shù)為 （16分）12（本題滿分16分） 設(shè)，求的最大值和