上海交大數(shù)學(xué)分析第學(xué)期期終考試解答

1、 上 海 交 通 大 學(xué) 試 卷（A卷） （ 2010 至 2011 學(xué)年 第 一 學(xué)期 ）班級(jí)號(hào)_ 學(xué)號(hào)_ 姓名 課程名稱 數(shù)學(xué)分析（C類）（電院、管院） 成績 一、填空題（每小題4分，共 16分）1. 極限.2. 極限 .3. 積分 .4. (電院專業(yè)同學(xué)做此題，不做4*) 設(shè)常數(shù)，則平面曲線所圍圖形的面積為 .4*. (管院專業(yè)同學(xué)做此題，不做4) 設(shè)，則在上的最大值為 .二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分）1. 考慮下列斷語，則有 【 D 】(I) 若，則.(II) 若，則.(A) I正確，II不正確. (B) I不正確，II正確.(C) I，II均不正確. (D) I，II均正確.

2、2. 設(shè)常數(shù)，則方程在內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為 【 B 】(A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 設(shè)為區(qū)間上的上凸函數(shù)，為上遞減的下凸函數(shù)，且，則【 A 】(A) 為上的下凸函數(shù). (B) 為上的上凸函數(shù).(C) 必為上的單調(diào)函數(shù). (D) 以上結(jié)論都不正確.4. 設(shè)是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù), 則下列命題中, 錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為【 A 】(I) 在上連續(xù).(II) 若，則，使.(III) 在上沒有第一類間斷點(diǎn).(IV) 若，則，使.(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.B卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本題共12分) 全面討論函數(shù)的性態(tài)，并列表作圖（

3、已知）解 函數(shù)定義域：令 令 列表： 0 0 + 0 + + + +單調(diào)減上凸 拐點(diǎn)單調(diào)減下凸極小值單調(diào)增下凸單調(diào)減下凸 -（5）拐點(diǎn) ，極小值點(diǎn)由 得垂直漸近線 ；由 得水平漸近線 . -（8）1-1-1Oxy···草圖： -（12）四、計(jì)算題 (第1小題6分，其它4小題各7分，共34分) 1. 求極限.解 原式= -（2） = = -（6）2. 求極限.解 原式=-（3） = = -（7）3. 求不定積分.解 原式=-（3）= -（7）4. 設(shè)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，又，求的表達(dá)式.解 由于當(dāng)時(shí)，由可導(dǎo)知也可導(dǎo). 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 -(2)當(dāng)時(shí)，有 方程兩邊對(duì)積分得

4、 = = -（6）再由 得C=. -（7）5. 計(jì)算定積分.解 原式= -（3） = -（6） = -（7）五、(本題共10分) 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又對(duì)任意的有.試證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證 不妨設(shè) 則，由，及零點(diǎn)存在定理知使 -（5）構(gòu)造函數(shù) ，-（8）則，故由Rolle定理知使 即 -（10）六、（本題共10分）設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，和在上取值相異的點(diǎn)構(gòu)成數(shù)列，該數(shù)列滿足. 證明：(1) 數(shù)列收斂，且；(2) ，并計(jì)算積分值.證（1）因?yàn)?，故數(shù)列單調(diào)減，又有界，所以數(shù)列收斂。 設(shè)極限為，并在遞歸式兩邊令即得 -（4）（2）設(shè)函數(shù)，則在上有界，在數(shù)列處間斷，因?yàn)椋蔔,有 .在區(qū)間上，由于只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，故在區(qū)間上可積，所以對(duì)上面的及對(duì)，在上存在分劃使.而在區(qū)間上，取分劃，也有，故由可積的第二充要條件知. -(8)由于，且除在可列個(gè)點(diǎn)間斷外取值處處為零，故對(duì)上任意的分劃，在每個(gè)子區(qū)間上總可取到點(diǎn)滿足，如此便有，即 =0 -（10）七、(本題共6分) 設(shè)在上有連