不等式與不等式組知識點

1、不等式與不等式組知識點歸納一、不等式的概念1不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5用數(shù)軸表示不等式的解集。二、不等式的基本性質(zhì)1不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。說明：在一元一次不等

2、式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。例:1已知不等式3x-a0的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的取值范圍是 。2已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 。3不等式組的整數(shù)解為 。4如果關(guān)于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為 。5已知關(guān)于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是 。6當 時，代數(shù)式的值不大于零7.若<，則 （用“>”“=”或“”號填空）8.不

3、等式>，的正整數(shù)解是 9.不等式>的解集為<，則 10.若>>，則不等式組的解集是 11.若不等式組的解集是<<，則的值為 12.有解集<<的不等式組是 （寫出一個即可）13.一罐飲料凈重約為g，罐上注有“蛋白質(zhì)含量”其中蛋白質(zhì)的含量為 _ g14.若不等式組的解集為>，則的取值范圍是 三、一元一次不等式（重點）1一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2解一元一次不等式的一般步驟： （1）去分母 （2）去括號 （3）移項（4）合并同類項 （5）

4、將x項的系數(shù)化為1例：一、 判斷題（每題1分，共6分）1、 ab，得ambm （ ）2、 由a3，得a （ ）3、 x = 2是不等式x34的解 （ ）4、 由1，得a （ ）5、 如果ab，c0，則ac2bc2 （ ）6、 如果ab0，則1 （ ）二、 填空題（每題2分，共34分）1、若ab，用“”號或“”號填空：a5 b5； ；12a 12b；6a 6b；2、x與3的和不小于6，用不等式表示為 ；3、當x 時，代數(shù)式2x3的值是正數(shù)；4、代數(shù)式2x的不大于8的值，那么x的正整數(shù)解是 ；5、如果x75，則x ；如果0，那么x ；6、不等式axb的解集是x，則a的取值范圍是 ；7、一個長方形的

5、長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應滿足的不等式為 ；8、點A（5，y1）、B（2，y2）都在直線y = 2x上，則y1與y2的關(guān)系是 ；9、如果一次函數(shù)y =（2m）xm的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，那么m的取值范圍是 ；四、一元一次不等式組 （難點）1、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出

6、不等式組中各個不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。例：一、選擇題1下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（ ） A B C D2下列說法正確的是（ ） A不等式組的解集是5<x<3 B的解集是3<x<2 C的解集是x=2 D的解集是x33不等式組的最小整數(shù)解為（ ） A1 B0 C1 D44在平面直角坐標系中，點P（2x6，x5）在第四象限，則x的取值范圍是（ ） A3<x<5 B3<x<5 C5<x<3 D5<x<35不等式組的解集是（ ） Ax>2 Bx<3 C2

7、<x<3 D無解二、填空題6若不等式組有解，則m的取值范圍是_7已知三角形三邊的長分別為2，3和a，則a的取值范圍是_8將一筐橘子分給若干個兒童，如果每人分4個橘子，則剩下9個橘子；如果每人分6個橘子，則最后一個兒童分得的橘子數(shù)將少于3個，由以上可推出，共有_個兒童，分_個橘子9若不等式組的解集是1<x<1，則（a+b）2006=_三、解答題10解不等式組11若不等式組無解，求m的取值范圍12為節(jié)約用電，某學校于本學期初制定了詳細的用電計劃如果實際每天比計劃多用2度電，那么本學期用電量將會超過2530度；如果實際每天比計劃節(jié)約了2度電，那么本學期用電量將會不超過2200

8、度若本學期的在校時間按110天計算，那么學校每天計劃用電量在什么范圍內(nèi)？易錯點分析：易錯點1：誤認為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個數(shù)之間的部分例1 解不等式組錯解：由，得x1，由，得x2，所以不等式組的解集為2x1錯因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分此題錯在對“公共部分”的理解上，誤認為兩個數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）實際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分此外，有些同學可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1x2或2x1等，這些都是錯誤的正

9、解：由，得x1由，得x2，所以此不等式組無解易錯點2：誤認為“同向解集哪個表示范圍大就取哪個”例2解不等式組 錯解：解不等式，得x解不等式，得x5由于x的范圍較大，所以不 等式組的解集為x錯因剖析：本例錯解中，由于對不等式組的解集理解得不深刻，在根據(jù)兩個解集的范圍確定不等式組的解集時，形成錯誤的認識其實在求兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集時，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)ab）， 利用數(shù)可確定它們的解集分別為 xb，xa，axb，空集也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”正解：解不等式，得x解不等式，得x5所以不等式組的解集為x5易錯點

10、3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法例3 解不等式組錯解：由，得2x14，即x7，所以不等式組的解集為x7錯因剖析：本例錯在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中產(chǎn)生此類錯誤的根本原因是沒有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點，（1）解二元一次方程組時，兩個方程不是單獨存在的；（2）由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨立解，集中到”，即獨立地解不等式組中的每一個不等式組中的每一個不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個不等式的解集都要求出來后，

11、再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集正解：由不等式，得x17，即x由不等式，得x3，即 x所以原不等式組的解集為x易錯點4：在去分母時，漏乘常數(shù)項例4 解不等式組錯解：由，得x2在x212x的兩邊同乘2，得x122x于是有x，所以原不等式組的解集為2x錯因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分對不等式進行變形時，一定要使用同解變形，不然就容易出錯本例的解答過程中沒有掌握不等式的運算性質(zhì)，在去分母時漏乘了中間的一項此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時應按一般順序，把小的那個數(shù)放在前面，大的那個數(shù)放在后面，用“”連接正解：由，得x

12、2在2x的兩邊同乘2，得x142x于是有x1，所以原不等式組的解集為1x2易錯點5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)的符號，導致不等式方向出錯例5 解關(guān)于x的不等式（a）x12a錯解：去分母，得(12a)x2(12a)將不等式兩邊同時除以（12a），得x2錯因剖析：在利用不等式的性質(zhì)解不等式時，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)是含字母的式子，應注意討論含字母的式子的符號本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(12a)，在不確定取值符號的情況下進行約分，所以出錯正解：將不等式變形，得(12a)x2(12a)（1）當12a0時，即a時，x2；（2）當12a0時，即a時，不等式無解；（3）當12a0時，即

13、a時，x2例6 如果關(guān)于x的不等式(2ab)xa5b0的解集是x，則關(guān)于x的不等式axb的解集是_錯解：因為不等式（2ab）xa5b0的解集是x，所以，則有解得從而知axb的解集是x錯因剖析：本題錯因有兩個，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；二是對含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，所以在解題時錯誤得出解得從而錯誤得到axb的解集是x正解：由不等式（2ab）xa5b0的解集是x，得解得所以axb的解集是x易錯點6：尋找待定字母的取值范圍時易漏特殊情況例7 若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是_錯解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是

14、a3錯因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時則不能完全套用此規(guī)律，還應考慮特例，即a3，有x3及 x3，而此時不等式組也是無解的因此，本題錯在沒有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況正解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a3例8 已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個，則 a的取值范圍是_錯解：由解得又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個，所以ax2，這 5個整數(shù)解為3，2，1，0，1，從而有a3(或a3)錯因剖析：本題主要考查同學們是否會運用逆向思維解決

15、含有待定字母的一元一次不等式組的特解上述解法錯在忽視ax2中有5個整數(shù)解時，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在3與4之間，其中包括3，但不應包括4，所以錯解在確定 a的取值范圍時擴大了解的范圍正解：由解得又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個，所以ax2又知這5個整數(shù)解為3，2，1，0，1故a的取值范圍是4a3總之，對于解一元一次不等式（組）問題，我們要深刻領(lǐng)會一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識，熟悉這6個易錯點，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠離解一元一次不等式（組）的錯誤深淵中考考點解讀：1. （2012山東濱州3分）不等式的解集是【 】A BC D空集【答案】A?！究键c

16、】解一元一次不等式組?！痉治觥拷庖辉淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此， 解得，解得。按同大取大，得不等式組的解集是：故選A。2. （2012山東濱州3分）李明同學早上騎自行車上學，中途因道路施工步行一段路，到學校共用時15分鐘他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘他家離學校的距離是2900米如果他騎車和步行的時間分別為分鐘，列出的方程是【 】ABCD【答案】D。【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組。【分析】李明同學騎車和步行的時間分別為分鐘，由題意得

17、：李明同學到學校共用時15分鐘，所以得方程：。李明同學騎自行車的平均速度是250米/分鐘，分鐘騎了250米；步行的平均速度是80米/分鐘，分鐘走了80米。他家離學校的距離是2900米，所以得方程：。故選D。3. （2012山東德州3分）已知，則a+b等于【 】A3 B C2 D1【答案】A?！究键c】解二元一次方程組?！痉治觥績墒较嗉蛹纯傻贸?a+4b=12，方程的兩邊都除以4即可得出答案：a+b=3。故選A。4. （2012山東東營3分）方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是【 】A k1 B k1 C k>1 D k<1【答案】D?！究键c】一元二次方程的意義和根的判別式?！痉治觥慨攌

18、=1時，原方程不成立，故k1，當k1時，方程為一元二次方程。此方程有兩個實數(shù)根，解得：k1。綜上k的取值范圍是k1。故選D。5. （2012山東菏澤3分）已知是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根為【 】A±2BC2D 4【答案】C?！究键c】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根?！痉治觥渴嵌淮畏匠探M的解，解得。 。即的算術(shù)平方根為2。故選C。6. （2012山東萊蕪3分）對于非零的實數(shù)a、b，規(guī)定ab若2(2x1)1，則x【 】A B C D【答案】A?！究键c】新定義，解分式方程?！痉治觥縜b，2(2x1)1，2(2x1)。 。 檢驗，合適。故選A。7.

19、（2012山東萊蕪3分）已知m、n是方程x22x10的兩根，則代數(shù)式的值為【 】A9 B±3 C3 D5【答案】C?！究键c】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥縨、n是方程x22x10的兩根，mn=，mn=1。 。故選C。8. （2012山東臨沂3分）用配方法解一元二次方程時，此方程可變形為【 】A B C D 【答案】D?！究键c】配方法解一元二次方程。【分析】。故選D。9. （2012山東臨沂3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是【 】ABCD【答案】A。【考點】解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集?！痉治觥拷庖辉淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的

20、解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，。不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（，向右畫；，向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集有幾個就要幾個。在表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示。因此，在數(shù)軸上表示為：故選A。10. （2012山東臨沂3分）關(guān)于x、y的方程組的解是 ，則的值是【 】A5B3C2D1【答案】D?！究键c】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數(shù)式的值?！痉治觥糠匠?/p>

21、組的解是，。故選D。11. （2012山東日照4分）已知關(guān)于x的一元二次方程(k2)2x2(2k1)x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是【 】(A) k>且k2 (B)k且k2 (C) k >且k2 (D)k且k2【答案】C?！究键c】一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義?！痉治觥糠匠虨橐辉畏匠?，k20，即k2。方程有兩個不相等的實數(shù)根，0，（2k1）24（k2）20，即（2k12k4）（2k12k4）0，5（4k3）0，k。k的取值范圍是k且k2。故選C。12. （2012山東日照4分）某校學生志愿服務小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果分

22、給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.則這個敬老院的老人最少有【 】（A）29人 （B）30人 （C）31人 （D）32人【答案】B?！究键c】一元一次不等式組的應用。【分析】設(shè)這個敬老院的老人有x人，則有牛奶（4x28）盒，根據(jù)關(guān)鍵語句“如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式組： ， 解得：29x32。x為整數(shù)，x最少為30。故選B。13. （2012山東泰安3分）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是【 】ABC D【答案】C。【考點】解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集?！痉治觥拷庖辉淮尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小