22《綜合法與分析法》練習(xí)及答案

1、2. 2綜合法與分析法1. 理解綜合法和分析法的實(shí)質(zhì)，掌握分析法、綜合法和證明不等式的步驟2. 了解用分析法證明不等式.3. 了解用綜合法證明不等式.4. 提高綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.1. 綜合法.而得岀命題成一般地，從已知條件岀發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理，論證立，這種證明方法叫做.又叫順推證法或 ?答案：綜合法由因?qū)Ч?. 分析法.證明命題時(shí)，我們還常常從要證的 岀發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為 或一個(gè)明顯成立事實(shí)(定義、公.理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得岀要證的命題成立，這種證明方法叫做.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.答案：結(jié)論已知條件

2、分析法h思考1 a, b都是正數(shù).用綜合法證明：二+-$2.b a證明：由基本不等式 A+BA2yAB(A, BWR+)可得+#2A彳? #=2,即彳+#22.當(dāng) 且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成思考2已知a, b,皿都是正數(shù)，并且a韌，(3)要證(3),只需證，(4)已知成立，所以成立.答案：Z? (a+ffl )ba3.綜合法與分析法的比較.綜合法與分析法的比較1方法證明的起始步驟求證過(guò)程求證目標(biāo)證題方向綜合法基本不等式或已經(jīng)證明過(guò)的不等式實(shí)施一系列的推出或等價(jià)變換要求證的結(jié)論由因?qū)Ч治龇ㄒ笞C的不等式尋求結(jié)論成立的充 分條件，并證明 這個(gè)充分條件成所需條件全部成立執(zhí)果索因報(bào)分層演條日?qǐng)@園因1.

3、分析法證明不等式中所說(shuō)的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的（）A. 必要條件B.充分條件C.充要條件D.必要或充份條件答案：B2. 若xyl, 0ad B. log xloga _ aC. xy D. x ABD. AB答案：C4. 已知 OVaVl, OZ?2,”是“日1, br成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件解析：當(dāng)$1,方1時(shí)，兩式相加得ab2,兩式相乘得ab.反之，當(dāng)日+方2,日方1時(shí)，日1,方1不一定成立.如：日=* 方=4也滿足日+方2, ab=2l,但不滿足 日1,方1.答案：B6. 若 1X1O, 下面不等式中正確的是 ()2A

4、. (lg x) lg /lg(lg x)B. lg /(lg jr) 2lg(lg x)C. (lg jr) 2lg(lg x)lg x2D. lg(lg x)(lg jr) 20,N=a+b,則於與N的大小關(guān)系是 ?答案： MAN9. 若 b, c 是不全相等的正數(shù)，求證：a+b b+c c+alg 刁一+ lg-+lg-A |g 日十 |g b+lg c.證明：證法一 (綜合法)V a, b, CUR*,葦空窈0,矗0, 嚴(yán)寸0,且上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，.a+b b+ c ca abc.abbcca?莒 +壓2十隹2 lg日+噸c.證法二 (分析法 )ab b+c c aa

5、b b9 c c alg ab*1 g 2+1 g 2+1 g 2 1 g a+lg 方 + lg 占ab bc c a abc.因?yàn)樘?hào)三乂窈0,號(hào)工矗 0,號(hào)且以上三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，所以Y ?字？守&比成立，從而原不等式成立.10. 設(shè)b, c均為正數(shù)，且 a+ b+c=l,求證：(1) ab+ bc+ caA ；z J_ d -+-+-A|.b c a證明：由 a !jA2ab,Z?2cA2bc, c aA2ca得 acA- ab bc ca.由題設(shè)得(日+方+c)2=l,即 a 1 + c + 23Z?+ 2 bc 2ca 1.所以 3 方 + bc ca) W1,即 ab

6、bc ca.舟甘d(2) 因?yàn)槎?+ 於 2 日,+Q2 方，一-+aA2c, b ca2/2 2故三 + +a+ (日 +方+c) 22 +方+c),b c a2/2 2 即三 +旦 $ a+ b+ c.b c a2 72 2所 A4 + -+-Ai-b c a匡Han11. 設(shè)x$l, yA|,求證：滅+計(jì)丄三丄+丄+刃；xy x y(2)l &WZ?Wc,求證：loga b+logb c+logc log/, 0,定義函數(shù)fx) =2 1 x+ c+4 1 | x+ c,數(shù)列&i, a2,日3滿足&卄1 = /*&), TJGN*若 & = c 2,求&2及&3;(2)求證：對(duì)任意 77

7、GN*, an+ anAc.解析：因?yàn)閏0, N = (c+2),故日 2 = fi) =21 0則21 x+ c+41 2 I x+c + x+ cAx+ c+ 4x+ c顯然咸立.綜上，/*(x)2x+c 恒成立，即對(duì)任意的77AN*, &小一 ah c.13. 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列念2的前77項(xiàng)和$,滿足$+尸如ASWN* ）,（利用綜合法和分析法）4求證：對(duì)23有0W越證明：由題設(shè)條件有 S+ a n+i = a n+iSn,故0+1 Hl 且日卄 1= , Sn=,bn丄 &n+1丄從而對(duì)有$-1型-1 + Sk-2ak1Sk-2 1+ 1一越i +1 因云-1 越一一 i+1 （念-1 診尸

8、+ 丁。且一 1上0,由得鳥(niǎo)$0.1型一 i即證 3_IW4&_ I 越-1 + 1)+艮卩(越1 2)空0.此式明顯成立.4因此A-(A3).即原命題成立.14. (2015 ?新課標(biāo)全國(guó)卷II,數(shù)學(xué)文理)設(shè)b, c,均為正數(shù)，且a+ b= c+ d.證明：若 ab cd,貝y|A+ybyc+c/； (2)ya+ybyc+ydA a 的充要條件.分析：由a+b= c+d及abcd,可證明2(ya+yb) (Ac+c/) 開(kāi)方即 Aya+byc+yd.(2)本小題可借助第問(wèn)的結(jié)論來(lái)證明，但要分必要性與充分性來(lái)證明 解析：(1)因?yàn)?ya+yb) 由題設(shè) a+b= c+d, at)cd,若 |

9、ab cd.2=a+b+ 2yab, (yc+yc/)= c+d+ 2ycd 922得(ya+yi)(rc+yd),因此需 + 訓(xùn)匹則(& 方)2(c??？，即(A+Z?)2 4a/K(c+ d)4cd因?yàn)閍+b =c+2 (yc+y/A 即 a b 2yab c+ d+ 2ylcc/,因?yàn)槿?,綜 _Eya+于是 -方 T= (a+Z?)2 4aZK (,c+(J) 24cd= (c d) 21,因此 | a ybyc+dA ab c 的充要條件.總與*h轄)i. 綜合法是從已知條件或基本不等式出發(fā)，運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，證明思路是“由因?qū)Ч?綜合法證明不等式，要揭示岀

10、條件與結(jié)論間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證間，不等式左、右兩端的差異與聯(lián)系，合理變換、恰當(dāng)選擇已知不等式是證明的關(guān)鍵.尋找啟動(dòng)不等式是綜合法的難點(diǎn).常用不等式有：(l)a2$0(aWR)；怡 + ”21(2) (& 方)2 三 0(&,方 GR),其變形有舟七甘 A2ab, ? J 鼻訪，52+Z?2a-(3+Z?) 2 ；(3)若方 WR+, A Tab,特別的有+ 蜀2； (4)a2+z?2 +cAab+ bc+ caa, b, cWR).Z3 b2. 分析法就是從求證的不等式出發(fā)，執(zhí)果索因，找出使這個(gè)不等式成立需具備的充分條件，直至能肯定所需條件已經(jīng)具備 . 證明的關(guān)鍵是推理的每一

11、步都必須可逆 . 對(duì)思路不明 顯，從條件看感 到無(wú)從下手的問(wèn)題宜用分析法 .用分析法證明“若則的模式為：欲證命題 B 成立， 只需證命題 Bi 成立 只需證命題 B 成立 只需證明力為真 .今已知力為真，故 B 必真 .可以簡(jiǎn)單寫(xiě)成：. . =B” =A.3. 證明時(shí)省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣，就會(huì)顛倒因果關(guān)系而犯邏輯上的根本錯(cuò)誤，但可用“曰取代那些必要的詞語(yǔ) . 應(yīng)予以足夠重視 .4. 分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的特點(diǎn)是利于思考，因?yàn)槠浞较蛎鞔_，思路自然，易于掌握 . 綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述、條理清楚、形式簡(jiǎn)潔 . 證明時(shí)常用分 析法探索證明 途徑，后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程，這是解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法. 分析與綜合互為前提，相互滲透，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步 分析的起點(diǎn)，分析法和綜合法 要結(jié)合. 起來(lái)使用，也