第二十一章重積分

1、第二十一章 重積分§1 二重積分的概念1.把重積分作為積分和的極限，計算這個積分的值，其中，并用直線網(wǎng)分割這個正方形為許多小正方形，每個小正方形取其右頂點作為其結(jié)點。解2證明：若函數(shù)在有界閉區(qū)域上可積，則在上有界。證 假設(shè)在上可積，但在上無界。則對的任一分割，必在某個小區(qū)域上無界。當(dāng)時任取令由于在上無界，即存在使從而另一方面，由于在上可積，取，故存在對任一的分割，當(dāng)時，的任一積分和都滿足，得到矛盾，所以，在上有界3證明二重積分中值定理（性質(zhì)7）證 函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值，且在中一切點，有由性質(zhì)6知，4若為有界閉區(qū)域上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且在上不恒為零，則證 由已

2、知，存在則存在而在有界閉區(qū)域上非負(fù)連續(xù)，則有若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且在內(nèi)任一子區(qū)域上有證 用反證法：假設(shè)在內(nèi)存在一（其中），有§直角坐標(biāo)系下二重積分的計算 設(shè)分：（）（）（）與（） 在下列積分中改變累次積分的順序：（） ( 2 ) (3 ) （） 計算下列二重積分：（），其中是由拋物線圍城的區(qū)域；（）（），其中為圖中陰影部分（），其中 求由坐標(biāo)平面及所圍的角柱體的體積。§格林公式曲線積分與路線無關(guān)性 習(xí)題2,應(yīng)用格林公式計算下列曲線所為成的平面面積。3證明：若L為平面上封閉曲面線，為j任意方向向量，則4.求積分值I=，其中L為包圍有界區(qū)域的封閉曲線,n為L的外法線方向。解：

3、設(shè)T為L的切線方向，S為區(qū)域D的面積,I=5.驗證下列積分與路線無關(guān)，并求它們的值：（1）求下列全微分的原函數(shù)（） 其原函數(shù)（）故積分與路線無關(guān)其原函數(shù)（） 故積分與路線無關(guān)令則原函數(shù) 7.為了使曲線積分與積分路線無關(guān)，可微函數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件？解 ，則積分與路線無關(guān)的等價條件是即§4 二重積分的變量變換 習(xí)題2用極坐標(biāo)計算下列二重積分 §5 三重積分 習(xí)題1 計算下列積分：（1）解：（2） （3） = 4）2 試改變下列累次積分的順序：（1） （2）3 計算下列三重積分與累次積分：（1）（2） 4利用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，計算下列各曲面所圍成的體積。 §6 重積分的應(yīng)

4、用習(xí)題 1 求曲面az=xy包含在圓柱內(nèi)那部分的面積。解：設(shè)曲面面積為S，由于S=其中D：.由廣義極坐標(biāo)交換，得S=2.求錐面z=被柱面所截部分的曲面面積。解：曲面在xOy平面上的投影區(qū)域D:則S=3.求下列均勻密度的平面薄板重心：（1）半橢圓解：設(shè)重心坐標(biāo)為高為h，底分別為a和b的等腰梯形。解：設(shè)重心坐標(biāo)為4.求下列均勻密度物體的重心：（1）(2) 由坐標(biāo)面及平面x+2y-z=1所圍的四面體。解：（1）：設(shè)物體重心坐標(biāo)為（2）設(shè)四面體的重心坐標(biāo)為由于物體為均勻密度，且V= 5.求下列均勻密度的平面薄板的轉(zhuǎn)動慣量：（1） 半徑為R的圓關(guān)于其切線的轉(zhuǎn)動慣量； 解： 如圖21-23，沿切線為x=R,密度為，對任一點P(x,y)(2) 邊長為a和b,且夾角為的平行四邊形，關(guān)于底邊b的轉(zhuǎn)動慣量。解：設(shè)密度為，則6計算下列引力：均勻薄片解：由對稱性，引力必在z軸方向上，因此 故，F(xiàn)=(2)均勻柱體,對于點的