大連理工數(shù)學分析試題及解答

1、欲索取更多考研資料，請上北京天問教育網(wǎng)站官網(wǎng)！大連理工大學2001年碩士生入學考試數(shù)學分析試題一. 從以下的1到8題中選答6題1. 證明:在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)(為任意正數(shù)),但是在不一致連續(xù)2. 證明:若在內(nèi)連續(xù),那么在內(nèi)Riemann可積.3. 證明:若,那么廣義積分收斂4. 證明:若,為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),對任意的有: ,那么, 于5. 證明:若收斂,那么在一致收斂6. 已知：，求7. 已知：.其中, 和分別是可以求導一次和求導兩次的已知函數(shù),計算8. 計算,半徑為的球的表面積二. 從9到14題中選取6題9.已知: ,求證: 10.證明: 收斂,且,那么11.計算曲面積分: ,其中S為旋轉(zhuǎn)橢球面

2、的外側(cè)12.設(shè),. 求證: 對于任意小于1的正數(shù),在區(qū)間一致收斂,但是不在一致收斂13.設(shè),. 求證: 14.證明:若，且發(fā)散,那么不在一致收斂大連理工大學2001年碩士生入學考試數(shù)學分析試題解答一.1. 證 利用定義證明(1) 對于,那么(2) 任取,推出矛盾,從而命題得證2. 證 利用一致連續(xù)的定義和Riemann可積的定義來做因為函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),所以一致連續(xù). 根據(jù)一致連續(xù)的定義對,考慮可積的定義,對于一個分割,下面證明:振幅函數(shù) =0當時,.根據(jù)夾逼定理,不難得到.從而,命題得證3. 證 利用萊布尼茲交錯級數(shù):假設(shè);,考慮:如此,不難看出是一個萊布尼茲交錯級數(shù),從而命題得證4. 證

3、 不妨設(shè): ,那么于因為都是上的連續(xù)函數(shù),所以5. 證 利用A-D判別法做，也可以通過Abel求和公式出發(fā)推導中,現(xiàn)在,根據(jù)原題:收斂,一致有界所以,根據(jù)Abel判別法,知該函數(shù)項級數(shù)在定義域一致收斂. 6. 解 題目有問題,在零點不連續(xù)7. 解 不斷利用鏈式求導法則同理:8. 解 方法很多,此處介紹一種比較簡單的假設(shè):為半徑為的球的體積假設(shè): 為半徑為的球的表面積二9. 證 LHosptial法則因為，10. 證 反證法如果命題不成立,即,那么,根據(jù)極限的定義,當?shù)臅r候, 那么, 和收斂矛盾,從而命題得證11. 解 利用Gauss定理加換元換元12. 證 首先由于在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),所以函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)(1),根據(jù)確界存在定理,存在上確界,且上確界不等于1,否則和題意矛盾不妨設(shè): 根據(jù)定義,對于,當,從而知一致收斂于0(2)首先,根據(jù)前半題,顯然于收斂于0由于,且函數(shù)一致收斂，存在一組數(shù)列：,如此,考慮,從而不是一致收斂的. 13. 證 利用前一小題的結(jié)論因為內(nèi)閉一致收斂,對于,當n足夠大的時候:又所以, 從而命題得證.