實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告的重要組成部分，其包含的內(nèi)容十分豐富，例如數(shù)據(jù)的記錄、函數(shù)圖線的描繪，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取測(cè)量結(jié)果的不確定度信息，驗(yàn)證和尋找物理規(guī)律等。本節(jié)介紹物理實(shí)驗(yàn)中一些常用的數(shù)據(jù)處理方法。列表法將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按一定規(guī)律用列表方式表達(dá)出來(lái)是記錄和處理實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)最常用的方法。表格的設(shè)計(jì)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系清楚、簡(jiǎn)單明了、有利于發(fā)現(xiàn)相關(guān)量之間的物理關(guān)系；此外還要求在標(biāo)題欄中注明物理量名稱、符號(hào)、數(shù)量級(jí)和單位 等；根據(jù)需要還可以列出除原始數(shù)據(jù)以外的計(jì)算欄目和統(tǒng)計(jì)欄目等。最后還要求寫明表格名稱、主要測(cè)量?jī)x器的型號(hào)、量程和準(zhǔn)確度等級(jí)、有關(guān)環(huán)境條件參數(shù)如溫 度、濕度等。本課程中的許多實(shí)驗(yàn)已

2、列出數(shù)據(jù)表格可供參考，有一些實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)表格需要自己設(shè)計(jì)，表是一個(gè)數(shù)據(jù)表格的實(shí)例，供參考。表數(shù)據(jù)表格實(shí)例楊氏模量實(shí)驗(yàn)增減砝碼時(shí)，相應(yīng)的鏡尺讀數(shù)作圖法作圖法可以最醒目地表達(dá)物理量間的變化關(guān)系。從圖線上還可 以簡(jiǎn)便求出實(shí)驗(yàn)需要的某些結(jié)果（如直線的斜率和截距值等），讀出沒(méi)有進(jìn)行觀測(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（內(nèi)插法），或在一定條件下從圖線的延伸部分讀到測(cè)量范圍以外的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)（外推法）。此外，還可以把某些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)一定的變換用直線圖表示出來(lái)。例如半導(dǎo)體熱敏電阻的電阻與溫度關(guān)系為，取對(duì)數(shù)后得到，若用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙，以lg為縱軸，以為橫軸畫圖，則為一條直線。要特別注意的是，實(shí)驗(yàn)作圖不是示意圖，而是用圖來(lái)表達(dá)實(shí)驗(yàn)中得到

3、的物理量間的關(guān)系，同時(shí)還要反映出測(cè)量的準(zhǔn)確程度，所以必須滿足一定的作圖要求。）作圖要求（）作圖必須用坐標(biāo)紙。按需要可以選用毫米方格紙、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙或極坐標(biāo)紙等。（）選坐標(biāo)軸。以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量，在軸的中部注明物理量的名稱符號(hào)及其單位，單位加括號(hào)。（）確定坐標(biāo)分度。坐標(biāo)分度要保證圖上觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)讀數(shù) 的有效數(shù)字位數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如，對(duì)于直接測(cè)量的物理量，軸上最小格的標(biāo)度可與測(cè)量?jī)x器的最小刻度相同。兩軸的交點(diǎn)不一定從零開(kāi)始，一 般可取比數(shù)據(jù)最小值再小一些的整數(shù)開(kāi)始標(biāo)值，要盡量使圖線占據(jù)圖紙的大部分，不偏于一角或一邊。對(duì)每個(gè)坐標(biāo)軸，在相隔一定距離下用整齊的

4、數(shù)字注明分度（參 閱圖）。（）描點(diǎn)和連曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用削尖的硬鉛筆在圖上描 點(diǎn)，點(diǎn)子可用“”、“×”、“”等符號(hào)表示，符號(hào)在圖上的大小應(yīng)與該兩物理量的不確定度大小相當(dāng)。點(diǎn)子要清晰，不能用圖線蓋過(guò)點(diǎn)子。連線時(shí)要縱觀所有 數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，用曲線板連出光滑而細(xì)的曲線（如系直線可用直尺），連線不能通過(guò)的偏差較大的那些觀測(cè)點(diǎn)，應(yīng)均勻地分布于圖線的兩側(cè)。（）寫圖名和圖注。在圖紙的上部空曠處寫出圖名和實(shí)驗(yàn)條件等。此外，還有一種校正圖線，例如用準(zhǔn)確度級(jí)別高的電表校準(zhǔn)低級(jí)別的電表。這種圖要附在被 校正的儀表上作為示值的修正。作校正圖除連線方法與上述作圖要求不同外，其余均同。校正圖的相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)間用

5、直線連接，全圖成為不光滑的折線（見(jiàn)圖 ）。這是因?yàn)椴恢獌蓚€(gè)校正點(diǎn)之間的變化關(guān)系而用線性插入法作的近似處理。圖校準(zhǔn)曲線圖示例）作圖舉例表所列數(shù)據(jù)是測(cè)量約利秤彈簧伸長(zhǎng)與受力的關(guān)系。測(cè)量彈簧長(zhǎng)度使用帶有.游標(biāo)的米尺。加外力使用的是個(gè)的級(jí)砝碼，其誤差限很小，對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度的影響可以忽略。表彈簧伸長(zhǎng)與受力關(guān)系數(shù)據(jù)表作圖示例見(jiàn)圖。圖作圖示例如果所作圖線是一條直線，可以按以下方法求直線的斜率和截距。直線方程為其斜率（）在所作直線上選取相距較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)P1、P2，從坐標(biāo)軸上讀取其坐標(biāo)值P1（X1，Y1）和P2（X2，Y2）代入式（），可求得斜率。P1、P2兩點(diǎn)一般不取原來(lái)測(cè)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)。為了便于計(jì)算，X1、

6、X2兩數(shù)值可選取整數(shù)。在圖上標(biāo)出選取的P1、P2點(diǎn)及其坐標(biāo)。斜率的有效數(shù)字位數(shù)要按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則確定。圖例中勁度系數(shù)截距為x=0時(shí)的值，可直接用圖線求出。但有的圖線軸的原點(diǎn)不在圖上，用延長(zhǎng)圖線的辦法，如果延得太長(zhǎng)，稍有偏斜會(huì)導(dǎo)致有很大誤差。這時(shí)，可采取從圖線上再找一點(diǎn)P3（X3，Y3），利用關(guān)系式求得截距。用作圖法表述物理量間的函數(shù)關(guān)系直觀、簡(jiǎn)便，這是它的最大 優(yōu)點(diǎn)。但是利用圖線確定函數(shù)關(guān)系中的參數(shù)（如直線的斜率和截距）僅僅是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法。這是由于：作圖法受圖紙大小的限制，一般只能有、位 有效數(shù)字；圖紙本身的分格準(zhǔn)確程度不高；在圖紙上連線時(shí)有相當(dāng)大的主觀任意性。因而用作圖法求取的參

7、數(shù)，不可避免地會(huì)在測(cè)量不確定度基礎(chǔ)上增加數(shù)據(jù)處 理過(guò)程引起的不確定度。一般情況下，用作圖法求取的參數(shù)，只用有效數(shù)字粗略地表達(dá)其準(zhǔn)確度就可以了。如果需要確定參數(shù)測(cè)量結(jié)果的不確定度，最好采用直接由 數(shù)據(jù)點(diǎn)去計(jì)算的方法（如最小二乘法等）求得。）曲線改直按物理量的關(guān)系作出曲線雖然直觀，但是作圖和從圖線中獲得有關(guān)參數(shù)卻比較困難。許多函數(shù)形式可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換成為線性關(guān)系，即把曲線改成直線，這樣既便于作圖，也便于求得有關(guān)參數(shù)。舉例如下。（）axb，、為常數(shù)，則lglglg，則lglg直線的斜率為，截距為lg。（）ae-bx，、為常數(shù)，則lglgbx/.，lg直線的斜率為/.，截距為lg。（）abx，、為常數(shù)

8、，則lglg（lg），lg直線的斜率為lg，截距為lg。（）y2，為常數(shù)，改變后，±2px，則為x的線性函數(shù)。（）/，、為常數(shù)，則/直線的斜率為，截距為。）用對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖在某些情況下，變量變化范圍很大，或者兩物理量之間的關(guān)系 為指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)時(shí)，利用對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖往往更為方便。對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙的分度與所表示量的對(duì)數(shù)值成正比，其每一循環(huán)（，）對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù) 量級(jí)，簡(jiǎn)稱級(jí)。用對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖時(shí)，可根據(jù)數(shù)據(jù)的覆蓋范圍選取不同的級(jí)。全對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙兩個(gè)坐標(biāo)軸都以對(duì)數(shù)間距分度；半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙僅一個(gè)坐標(biāo)以對(duì)數(shù)間距分 度，而另一坐標(biāo)仍以毫米均勻分度。曲線改直例（）可用全對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖。如用實(shí)驗(yàn)研究彈簧振子周期

9、與振子質(zhì)量的關(guān)系。令T=Am，和待定，測(cè)得振子質(zhì)量與振動(dòng)周期的數(shù)據(jù)后，就可以用全對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖，還可從圖中確定與的值。圖是在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上作的半導(dǎo)體熱敏電阻的/關(guān)系圖（半導(dǎo)體熱敏電阻電阻值隨溫度變化數(shù)據(jù)見(jiàn)表）。因該元件的電阻溫度關(guān)系為，在普通坐標(biāo)紙作圖將是一條指數(shù)曲線，而在半對(duì)數(shù)紙上作圖即為一條直線。圖半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙作圖示例表半導(dǎo)體熱敏電阻電阻值隨溫度變化數(shù)據(jù)最小二乘法用作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得直線的斜率和截距等重要參數(shù)雖然 簡(jiǎn)單明了，但是存在相當(dāng)大的主觀成分，結(jié)果也往往因人而異。最小二乘法則是一種比較精確的直線擬合方法。它的依據(jù)是：對(duì)于等精度測(cè)量若存在一條最佳擬合直 線，那么各測(cè)量值與這條直線上

10、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值之差的平方和應(yīng)為極小。這里只考慮最簡(jiǎn)單的直線擬合問(wèn)題。假定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的測(cè)量都是等精度的，而且的測(cè)量誤差很小，可忽略，只有的測(cè)量存在測(cè)量誤差。已知所觀測(cè)的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi）（，），變量與有，并且xi的測(cè)量誤差遠(yuǎn)小于yi的測(cè)量誤差。根據(jù)最小二乘原理估計(jì)和的值，應(yīng)滿足測(cè)量值yi和直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值（axib）之差的平方和為最小，即（）確定，使式（）成立的必要條件是：對(duì)和的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即（）于是有（）整理后寫成（）式中：聯(lián)合求解，得（）要使式（）取極小值還需滿足充分條件，即其二階導(dǎo)數(shù)大于零，這里不再證明。衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)在擬合直線兩側(cè)的離散程度，仍用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示：（）表示以擬合直線求得的

11、值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的類分量值。根據(jù)不確定度傳遞關(guān)系，可求得斜率和截距的標(biāo)準(zhǔn)不確定度類分量：（）必須指出，任何一組觀測(cè)值（xi,yi）都可以通過(guò)式（）得到系數(shù)、，也就是說(shuō)和之間存在線性函數(shù)關(guān)系是預(yù)先設(shè)定好的，因此這種關(guān)系是否可靠需要驗(yàn)證。可以通過(guò)相關(guān)系數(shù)來(lái)描述兩個(gè)變量、的線性關(guān)系的明顯程度。（）是絕對(duì)值的數(shù)，越大，說(shuō)明兩個(gè)變量的線性關(guān)系越明顯。若，說(shuō)明xi與yi間線性相關(guān)強(qiáng)烈；，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)分散，xi與yi無(wú)線性關(guān)系；（或）表示隨增加而增加（或隨增加而減?。?。逐差法對(duì)于自變量等間距變化的數(shù)據(jù)組，常采用逐差法處理一元線性擬合問(wèn)題。逐差法與作圖法相比，它不像作圖法擬合直線具有較大的隨意性，比最小二乘

12、法計(jì)算簡(jiǎn)單而結(jié)果相近，在物理實(shí)驗(yàn)中是常用的數(shù)據(jù)處理方法。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組（xi,yi）具有線性關(guān)系xi按等間距變化，并且其測(cè)量誤差遠(yuǎn)小于y的測(cè)量誤差。為了進(jìn)行逐差法擬合直線，把數(shù)據(jù)分成兩組：進(jìn)行等間隔逐差（隔項(xiàng)）：再利用的關(guān)系求得一組斜率值：a1（yn+1y1）（xn+1x1）a2（yn+2y2）（xn+2x2）ai（yn+iyi）（xn+ixi）an（y2nyn）（x2nxn）取平均值（）因?yàn)樽宰兞縳i等間距變化，且其測(cè)量誤差可以忽略，則有（）式中：為自變量的變化間距；為逐差間隔數(shù)，即為測(cè)量次數(shù)的/。的類不確定度分量（）由此可見(jiàn)，逐差法處理數(shù)據(jù)是利用等間隔的數(shù)據(jù)點(diǎn)連了條直線，分別求出每條直線的斜率后，再取平均值，得到擬合直線的斜率。簡(jiǎn)單而言：逐差法就是當(dāng)一組數(shù)據(jù)比較多,如果要求每?jī)蓚€(gè)數(shù)據(jù)之間的平均間距的時(shí)候,如果直接用每相鄰兩數(shù)相減再求和取平均,那么中間的數(shù)據(jù)對(duì)于整個(gè)平均結(jié)果的影響就看不出來(lái)(中間的數(shù)據(jù)全部被抵消，剩下頭尾兩數(shù)相減),這時(shí)候采用逐差法。簡(jiǎn)單地舉個(gè)例子,比如 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,