小升初圓柱圓錐精講

1、圓柱圓錐在我們的日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常遇到與圓柱和圓錐有關(guān)的物體，而很多問題的解決又都與圓柱和圓錐的體積及表面積的計(jì)算有密切的關(guān)系，認(rèn)清物體的結(jié)構(gòu)特征及圓柱和圓錐的有關(guān)基本數(shù)量關(guān)系，是迅速、準(zhǔn)確解決問題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】【例1】 如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能裝多少升水？分析與解：本題的關(guān)鍵是要找出容器上半部分的體積與下半部分的關(guān)系。設(shè)圓錐容器的底面積半徑為r，則水面半徑為。容器的容積為，容器中水的體積為。解：這表明容器可以裝8份5升水，已經(jīng)裝了1份，還能裝水5×（81）=35（升）?！纠?】 比較甲、乙兩只容器中，哪一只容器盛的

2、水多，多的是少的幾倍？（單位：厘米）（1）容器如圖1所示；（2）甲、乙兩容器相同（如圖2），甲容器中水的高度是錐高的，乙容器中水的高度是圓錐高的。分析與解 （1）要想知道甲、乙兩只容器哪一只盛的水多，我們只需依據(jù)條件分別計(jì)算一下甲、乙兩只容器的容積各是多少，即可做出比較。通過計(jì)算可知，乙容器裝的水多，乙容器是甲容器容積的（4000÷2000=） 2倍。（2）我們先分別將兩容器內(nèi)水的體積進(jìn)行計(jì)算。設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則甲容器及乙容器中的水面半徑均為，甲容器中無水部分椎體高位，而乙容器中有水部分椎體的高為，分別用、表示兩容器中水的體積，則有：由此可知，甲容器中的水多，甲容器中的

3、水是乙容器中的水的倍?！纠?】 將一個(gè)棱長(zhǎng)是20厘米的正方體，旋成一個(gè)圓柱體，并且使圓柱體的體積最大，求此時(shí)旋去的那部分體積。分析與解 要想知道旋去的那部分體積，我們應(yīng)首先認(rèn)識(shí)清楚，怎樣才能使旋成的圓柱體體積最大？通過分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們所旋成的圓柱體的底面直徑和高均為20厘米時(shí)，圓柱的體積最大.即如圖3去旋.此時(shí)，我們只需計(jì)算出正方體的體積及所得到的圓柱體的體積，其差就是所旋去部分的體積。即：旋去的部分的體積約為1720立方厘米?！纠?】 如圖4中所示圖形是一個(gè)底面直徑是20厘米的裝有一部分水的圓柱形容器，水中放著一個(gè)底面直徑為12厘米，高為10厘米的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，容器中的

4、水下降了幾厘米？分析與解 因?yàn)椴Ａ萜魇菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃容器的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積.這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。因?yàn)殂U錘的體積為：設(shè)水面下降的高度為x厘米，則小圓柱的體積為：V2=×(20÷2)2×x=100x（立方厘米）根據(jù)小圓柱的體積等于鉛錘的體積有：120=100·x解此方程得：x=1.2（厘米）答：鉛錘取出后，容器中的水面下降了1.2厘米?！纠?】 橫截面直徑為20厘米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為7536平方厘米，求原來那根

5、圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解 根據(jù)圓柱體的體積公式，體積等于底面積乘以高.由于底面直徑已經(jīng)知道，故只需依據(jù)條件求出圓鋼的長(zhǎng)度.假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為x厘米，由于將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面的式子：2×（20÷2）×x+4×（20÷2）2=20x+400依據(jù)題中給出的已知條件，可得方程：20x+400=7536解方程：圓鋼的體積為：×（20÷2）2×10031400（立方厘米）答：原來那根圓鋼的體積約為31400立方厘米?！纠?】 用一塊長(zhǎng)30厘米，寬20厘米的長(zhǎng)

6、方形鐵皮做圓柱形容器的側(cè)面，再用另一塊鐵皮做底，怎樣做才能使這個(gè)圓柱形容器的容積最大？分析與解 我們要回答上述問題，實(shí)際上只需考慮兩個(gè)方面，即以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)做為圓柱形容器的高，還是以長(zhǎng)方形的寬做為圓柱形容器的高？比較兩種情況下圓柱形容器的體積，即可確定方案。若以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為高，則長(zhǎng)方形的寬即為圓柱形容器的底面周形，所以圓柱形容器的底面半徑為：此時(shí)容器的容積為：若以長(zhǎng)方形的寬為高，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)即為圓柱形容器的底面周長(zhǎng)，此時(shí)，圓柱形容器的底面半徑為：通過上述計(jì)算，我們可以知道，用長(zhǎng)方形較短的一邊做為圓柱形容器的高時(shí)，圓柱形容器的容積大?！纠?】將一個(gè)底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個(gè)

7、底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個(gè)圓柱形鋁塊的高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：被熔的圓柱形鋁塊的體積：×302×20=18000（厘米3）。 熔成的圓柱形鋁塊的高：（360018000）÷（×152） =21600÷225=96（厘米）。 答：熔鑄成的圓柱體高96厘米?！纠? 】皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為60厘米。皮球有的體積浸在水中。問：皮球掉進(jìn)水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是水面升高的高度是450÷9000.5（

8、厘米）。答：水面升高了0.5厘米?！窘忸}在于實(shí)踐】一有大、小兩種不帶蓋的圓柱水桶，它們的表面積的和是5433平方分米，小桶和大桶的用料面積的比是1：2，小桶的底面周長(zhǎng)是62.8分米，大桶的底面周長(zhǎng)是94.2分米.求大小兩個(gè)桶的側(cè)面積各是多少?解答：大、小桶側(cè)面積分別是2915.5和1497平方分米。先用按比例分配的方法,大,小桶表面積分別為1811平方分米,3622平方分米,然后各去底面積就行了.二把一塊長(zhǎng)30厘米，寬20厘米，高5厘米的長(zhǎng)方形鋁錠，和一底面周長(zhǎng)為37.68（厘米），高30厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面圓半徑為13厘米的圓錐體鋁塊，求這個(gè)圓錐體鋁塊的高是多少？（=3.14）分析

9、與解 要想求出最終所得圓錐體的高度，只要能確定其體積就可辦到.而圓錐體是用兩個(gè)不同形狀的幾何體熔鑄而成的，故其體積就等于長(zhǎng)方體的體積與圓柱體體積的和.而長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，圓柱體的底面周長(zhǎng)和高都是已知的，所以長(zhǎng)方體的體積及圓柱體的體積是可計(jì)算的。 長(zhǎng)方體鋁錠的體積為：30×20×5=3000（立方厘米）圓柱體的體積為：根據(jù)題中所述，圓錐體的體積等于長(zhǎng)方體體積與圓柱體體積的和，列方程得解得： x36.14（厘米）答：這個(gè)圓錐體鋁塊的高為36.14厘米。三有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如

10、果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個(gè)與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為四有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30分米3。現(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時(shí)飲料高度為20厘米，倒放時(shí)空余部分的高度為5厘米（見右圖）。問：瓶?jī)?nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？分析與解：瓶子的形狀不規(guī)則，并且不知道底面的半徑，似乎無法計(jì)算。比較一下正放與倒放，因?yàn)槠孔拥娜莘e不變，裝的飲料的體積不變，所以空余部分的體積應(yīng)當(dāng)相同。將正放與倒放的空余部分變換一下位置，可以看出飲料瓶的容積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為 205=25（厘米）的圓柱體的體積，推知飲料占容積的，所以瓶?jī)?nèi)有飲料（立方分米）懸賞一個(gè)底面是正方形的容器里放著水，從里面量邊長(zhǎng)14厘米，水的高度是8厘米。把一個(gè)鐵質(zhì)實(shí)心圓錐直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圓錐高的。圓錐的底面積是多少？解