導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元復(fù)習(xí)與鞏固 2

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求： 1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念.2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則；3掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值，及求閉區(qū)間上函數(shù) 的最大值、最小值.對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次. 5了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法，了解定積分的概念和幾何意義.直觀了解微積分 基本定理的含義,并能用定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分.6應(yīng)用

2、定積分解決平面圖形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力作功等問(wèn)題.重點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值，及求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積.難點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)有關(guān)字母討論的問(wèn)題；有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的學(xué)習(xí)；將實(shí)際問(wèn)題化歸為定積分問(wèn)題.學(xué)習(xí)策略： 導(dǎo)數(shù)是在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的研究變量的一門(mén)科學(xué)，它為有效地解決一些傳統(tǒng)的初等函數(shù)問(wèn)題提供了一般的方法，如求曲線的切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值以及有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題等，在具體問(wèn)題中，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的具體條件適當(dāng)選用方法。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一： 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)

3、概念1導(dǎo)數(shù)的定義： 對(duì)函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量x，函數(shù)y相應(yīng)有增量.若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)x0處可導(dǎo).即：（或）注意：增量x可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù).2導(dǎo)函數(shù)： 如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 過(guò)曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，即.也就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0, f(x

4、0)處的切線的斜率是，切線方程為.知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1常見(jiàn)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），2函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即或知識(shí)點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y=f(x) 在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)；當(dāng)恒有時(shí)，y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù).注意：在區(qū)間(a,b)內(nèi)

5、，是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件！2、函數(shù)的極值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果對(duì)于x0附近的所有點(diǎn)，都有：f(x)<f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作 y極大值=f(x0)；(2)如果對(duì)于x0附近的所有點(diǎn)，都有：f(x)>f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的個(gè)極小值，記作 y極小值=f(x0).注意：極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.3、函數(shù)的最值函數(shù)的最值表示函數(shù)在定義域內(nèi)值的整體情況.連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值

6、，但是最值點(diǎn)可以不唯一；但在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值.注意：最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的，是整個(gè)定義區(qū)間上的一個(gè)概念，而函數(shù)的極值則是比較極值點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的，是局部的概念；極值可以有多個(gè)，最大(小)值若存在只有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點(diǎn)取得；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值.知識(shí)點(diǎn)四：定積分1定積分的概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間分為n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)（i=1,2,3,n

7、），作和式，當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做在區(qū)間上的定積分.記作.即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.說(shuō)明：（1）定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2）用定義求定積分的四個(gè)基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限.2定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).在上，當(dāng)時(shí)，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形的面積；在上，當(dāng)時(shí)，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值； 在上，當(dāng)既取正值又取負(fù)值時(shí)，曲線的某些部分在軸的上方，而其他部分在軸下方，如果我們將在軸上方的圖形的面

8、積賦予正號(hào)，在軸下方的圖形的面積賦予負(fù)號(hào)；在一般情形下，定積分的幾何意義是曲線，兩條直線與軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和.3定積分的性質(zhì)（1）（為常數(shù)），（2），（3）（其中），（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分： 若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則； 若函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則.（5）基本公式：，知識(shí)點(diǎn)五：微積分基本定理微積分基本定理（或牛頓萊布尼茲公式）:如果在上連續(xù)，且，則。其中叫做的一個(gè)原函數(shù).注意：求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說(shuō)，要找到一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算.由于也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù).知識(shí)點(diǎn)六：定積分的應(yīng)用1應(yīng)用定積分求曲邊梯形

9、的面積（1）如圖，由三條直線，軸及一條曲線()圍成的曲邊梯 形的面積為S,則；（2）如圖，由三條直線，軸及一條曲線()圍成的曲邊梯 形的面積為S,則；（3）如圖，由曲線及直線，圍成圖形的 面積為S,則.2利用定積分解決物力問(wèn)題變速直線運(yùn)動(dòng)的路程作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即.變力作功物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，那么變力所作的功.規(guī)律方法指導(dǎo)1、求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0, f(x0)處的切線方程（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；（2）利用直線的點(diǎn)斜式得切線方程.注意：求切線方程，首先要判斷所給點(diǎn)是否在曲線上.若在曲線上，

10、可用上法求解；若不在曲線上，可設(shè)出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得方程.2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)在定義域內(nèi)解不等式；(4)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.3、求函數(shù)的極值的基本步驟確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值. (最好通過(guò)列表法)4、利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間a，b上函數(shù)y=f(x)的最大與最小值的步驟求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值將函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值與區(qū)間兩端的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.5、求定積分的方法： （1）用定義求定積分 步