高一數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式解析好8頁

1、高一數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式解析.求導(dǎo)法則教學(xué)內(nèi)容: 基本求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.教學(xué)目的: 熟悉導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并在熟記基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的基礎(chǔ)上綜合運用這些法則與方法熟練準(zhǔn)確地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點: 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法；教學(xué)難點: 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算。教學(xué)方法: 講授與練習(xí)。教學(xué)學(xué)時: 4學(xué)時。 引言： 數(shù)學(xué)分析的基本運算之一就是求導(dǎo)運算，為了能夠迅速、簡便而又準(zhǔn)確的求出一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只依靠定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為此，本節(jié)課我們介紹導(dǎo)數(shù)的四則運算，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并由此推出基本

2、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為公式。這樣我們就可以利用這些公式以及求導(dǎo)法則較為容易的求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)的四則運算： 1加、減運算：定理5.5 若函數(shù)、在點可導(dǎo)，則函數(shù)在點可導(dǎo)，且即證明： 推論： 2乘積運算：定理5.6 若函數(shù)、在點可導(dǎo)，則函數(shù)在點可導(dǎo)，且 ，即 證明： 利用數(shù)學(xué)歸納法可將此結(jié)論推廣：推論： （為常數(shù)）例1設(shè)函數(shù)，求 解： 所以3商運算：定理5.7 若函數(shù)、在點可導(dǎo)，且，則函數(shù)在點可導(dǎo)，且 即 證明：先證在點可導(dǎo)，且有， 再由乘積運算法則有： 例2求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）；（2）；（3）； （4）. 于是我們得到：；. 上節(jié)我們還得到過

3、結(jié)果：； 以上結(jié)果需要熟記！以后可直接應(yīng)用。二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 為了得到對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的反函數(shù)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式，我們先證明反函數(shù)求導(dǎo)公式： 定理5.8 設(shè)函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，若在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)且，則在點可導(dǎo)，且 證明：設(shè)， 在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào) 其反函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào) 從而有，于是 例3求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解：指數(shù)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以，即. 例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）由于函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以 ；（2）由于函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以 ；（3）由于函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以 ；（4）

4、由于函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以 .于是我們又得到公式：；.三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：最后我們再來討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，為得到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，先引入如下引理： 引理 在點可導(dǎo)在點的某鄰域內(nèi)存在在點連續(xù)的函數(shù)，使得，從而. 證明：必要性 設(shè)在點可導(dǎo)，即存在， 令， 則， 所以函數(shù)在點連續(xù)且有. 充分性 設(shè)函數(shù)，在點連續(xù)且有 所以定理5.9 若函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點可導(dǎo)，且.證明：因函數(shù)在點可導(dǎo)，由引理知 存在在點連續(xù)的函數(shù)，使得且又因函數(shù)在點可導(dǎo)，同樣由引理知存在在點連續(xù)的函數(shù)，使得且于是得：由于在連續(xù)，在連續(xù)，所以在點連續(xù)（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性），而在連續(xù)，從而在連續(xù)，于是由引理便知

5、在點可導(dǎo)，且有. 說明：（1）若，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為， 或者寫成；（2）注意與寫法與含義的區(qū)別； 如，則： ，而；（3）多個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果我們一般應(yīng)用最終自變量（如以上的）表示。 例5求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：冪函數(shù)可看成函數(shù)與復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 于是得到：四、基本求導(dǎo)法則與公式： 通過上面的討論，我們得到了函數(shù)四則運算的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把這些結(jié)論歸結(jié)如下，作為基本求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式，我們必須熟記，并可以直接應(yīng)用它們，求出以下比較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1 基本求導(dǎo)法則：和、差：； 積：； 商：； 反函數(shù)：；

6、復(fù)合函數(shù)：；2 基本求導(dǎo)公式： （為常數(shù)）； （為任意實數(shù)）； ； ;. 例6求以下各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）. 解：（1）；（2）設(shè)，則；（3）設(shè)，則 ；（4）設(shè)，則 ；（5）設(shè)，則 ；（6）先設(shè)，來求，為此設(shè)，則 ， 再設(shè)，來求，則 ；（7）當(dāng)我們對復(fù)合函數(shù)運算法則熟悉以后，書寫過程中的中間變量可不必寫出。如此題： . 例7若，求，及。 解：因，所以， 例8求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（對數(shù)求導(dǎo)法） （1）（）； （2）（其中且與均可導(dǎo)）。 解：（1）對函數(shù)兩邊同時取自然對數(shù)得： ， 再對上式兩邊分別求導(dǎo)（注意是的函數(shù)）：， 整理便得： （2）對函數(shù)兩邊同時取自然對數(shù)得