高數(shù)輔導(dǎo)之專題二十交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法

1、專題二十基礎(chǔ)知識(shí)定理1（交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（）滿足：（1）（）（2）則收斂，且。注：交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂要求數(shù)列單調(diào)遞減且趨向于零。對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，引入絕對(duì)值級(jí)數(shù)的概念：級(jí)數(shù)稱為的絕對(duì)值級(jí)數(shù)。定理2若級(jí)數(shù)收斂，則亦收斂。由定理2知收斂級(jí)數(shù)分為兩種：（1）條件收斂：要求收斂，發(fā)散。（2）絕對(duì)收斂：要求?？偨Y(jié)：判定級(jí)數(shù)的斂散性，可按如下步驟進(jìn)行：（1）首先討論。若不存在或，級(jí)數(shù)發(fā)散；若，轉(zhuǎn)入第二步。（2）其次討論的斂散性，可運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一系列斂散性判別法。若收斂，則絕對(duì)收斂；若發(fā)散，轉(zhuǎn)入第三步。（3）最后討論的斂散性，可能用到交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理。若收斂，則條件收斂；若發(fā)散，當(dāng)然發(fā)散。

2、例題1. 設(shè)為常數(shù)，判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于，收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂（絕對(duì)收斂），而為一發(fā)散的級(jí)數(shù)，故發(fā)散。2. 若級(jí)數(shù)收斂，求。解： 收斂（），故收斂，而發(fā)散，從而。（倘若，則收斂，矛盾）3. 判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：令，則，且，而（），發(fā)散，故發(fā)散，由比較判別法的極限形式知發(fā)散，級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂。級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，單調(diào)遞減且，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理知收斂。故級(jí)數(shù)條件收斂。4. 判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：令，由于 由比值判別法知收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。5. 對(duì)常數(shù)，討論級(jí)數(shù)何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散？解：令，則 下面分三種情形說明：（1）當(dāng)（）時(shí)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂，

3、原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。（2）當(dāng)（）時(shí)發(fā)散，由比較判別法的極限形式知發(fā)散，原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂。兩種小情形：(i) 當(dāng)（）時(shí)，。令（）由于且，而所以充分大時(shí)單調(diào)增，于是充分大時(shí)，單調(diào)減少，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理知原級(jí)數(shù)收斂，從而條件收斂。（ii）當(dāng)時(shí)，充分大時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。注：，6. 設(shè)，討論級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂還是發(fā)散？解：，歸納假設(shè)，則，亦即，數(shù)列單調(diào)遞增。，歸納假設(shè)，則，數(shù)列有上界。由單調(diào)有界定理知數(shù)列收斂，設(shè)，對(duì)等式兩邊取極限有 解之得。令，由于 由比值判別法知收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。7. （1）判定級(jí)數(shù)的斂散性。（2）若當(dāng)時(shí)，與未等價(jià)無窮小，試問交錯(cuò)級(jí)數(shù)是否一定收斂？若收斂，證明之；若不一

4、定收斂，舉一發(fā)散的例子。解：（1）數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于0，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。（2）不一定收斂。取，則，且 收斂，發(fā)散，故發(fā)散。8. 設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，極限存在，求的值，并舉出滿足這些條件的例子。解：因級(jí)數(shù)條件收斂，故級(jí)數(shù)不可能是正項(xiàng)級(jí)數(shù)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)只有可能發(fā)散或絕對(duì)收斂）。由知。下面分三種情形說明：（1）若，則由比值判別法知收斂，故絕對(duì)收斂，與題設(shè)條件矛盾。故。（2）若， ，當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故，從而，故發(fā)散，與題設(shè)條件矛盾。故。（3）若，當(dāng)充分大時(shí)，與同為正或同為負(fù)，級(jí)數(shù)不可能條件收斂。故。綜上得。如級(jí)數(shù)條件收斂，且 習(xí)題1. 判定下列級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂？（1） （