量子力學(xué)中常用算符對易關(guān)系及其證明_圖文

1、 和經(jīng)典粒子的力學(xué)量不同,量子力學(xué)中的微觀力學(xué)量(如坐標(biāo)、動量、角動量、能量等要用希爾伯特空間的線性厄米算符來表示,這是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。對易關(guān)系是力學(xué)量算符的本質(zhì),我們對一切算符的相關(guān)計(jì)算都是以對易關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)。為此,算符對易關(guān)系是研究和分析微觀物理的基石,是量子力學(xué)課程的重要組成部分。在教學(xué)過程中如何證明和理解這些對易關(guān)系顯得尤為重要,也是學(xué)生學(xué)好量子力學(xué)課程的關(guān)鍵。量子力學(xué)是本科教學(xué)中比較困難的課程之一。另外,大多數(shù)教材并沒有給出算符對易關(guān)系的詳細(xì)證明,更是讓學(xué)生摸不著頭腦。本文旨在歸納、總結(jié)量子力學(xué)中的一些基本力學(xué)量(坐標(biāo)算符、動量算符、軌道角動量算符、自旋角動量算符間的對易關(guān)系

2、,并給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程,便于教師的課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí),加深學(xué)生對量子力學(xué)算符及其對易關(guān)系的理解和掌握。算符是代表進(jìn)行某種運(yùn)算規(guī)則的符號。如數(shù)學(xué)算符、等。量子力學(xué)中的算符代表對波函數(shù)的一種運(yùn)算,即規(guī)定一種對應(yīng)關(guān)系:假設(shè)某種運(yùn)算把函數(shù)變?yōu)?則用符號表示為,滿足這種對應(yīng)關(guān)系的就稱為算符。在量子力學(xué)中,系統(tǒng)的每一個力學(xué)量都有一個相應(yīng)的算符。如坐標(biāo)的算符,動量的算符,其它力學(xué)量算符都可由坐標(biāo)和動量這兩個基本算符導(dǎo)出。不同的力學(xué)量算符對波函數(shù)的作用方式和結(jié)果也不同如:,。算符的對易關(guān)系是指:設(shè)有描述體系力學(xué)量的兩個算符與,若,稱算符與不對易(不能交換位置,即;若,稱算符與對易,即。在量子力學(xué)中,要完全確定

3、體系所處的1算符及其算符對易關(guān)系的概念,122p 量子力學(xué)中常用算符對易關(guān)系及其證明Concluding and Proving the Commutation Relation ofOperators often Used in Quantum Mechanics楊秀德,楊友昌,吳波,萬猛(遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程系,貴州遵義563002摘要:文章對量子力學(xué)中常用的算符對易關(guān)系作了分析、歸納和總結(jié),并進(jìn)行了詳細(xì)的證明,以加深學(xué)生對算符及其對易關(guān)系的理解和掌握,為量子力學(xué)課程的教學(xué)提供參考。關(guān)鍵詞:量子力學(xué);算符;對易關(guān)系;歸納;證明中圖分類號:G642.0文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1009

4、-3583(2011-06-0103-04(Department of Physics and Mechanical &Electrical Engineering,Zunyi Normal College,Zunyi563002,ChinaAbstract:In order to help physical students really understanding the commutation relation of operators,we analyze,conclude and summarize the commutation relations of operators

5、 often used in quantum mechanics,which provide some references for teaching of quantum mechanics course as well.Key words:quantum mechanics;operator;commutation relation;concluding;provingYANG Xiu-de,YANG You-chang,WU Bo,WAN Meng收稿日期:2011-09-18基金項(xiàng)目:貴州省教育廳自然科學(xué)類科研資助項(xiàng)目(黔教科20100084;貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(黔科合J字2011

6、2364號。作者簡介:楊秀德,男,貴州遵義人,遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程系講師,碩士,主要從事理論物理教學(xué)研究。Journal of Zunyi Normal College遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào)狀態(tài),需要一組相互對易的力學(xué)量,這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量,叫力學(xué)量的完全集。在完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度的數(shù)目相等。如,三維空間中自由粒子的自由度是,完全確定它的狀態(tài)需要三個互相對易的力學(xué)量 ;又如,原子中電子的自由度為,完全確定它的狀態(tài)需要三個互相對易的力學(xué)量。描述量子力學(xué)的狀態(tài)用波函數(shù)來表示,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)解釋意義,算符是對波函數(shù)的一種操作,要完全確定一個量子力學(xué)狀態(tài)需要一組相互對易的力

7、學(xué)量。為此,算符及其對易關(guān)系是量子力學(xué)理論建立的基本前提,在量子力學(xué)描述中占據(jù)著十分重要的地位和作用。對算符及其對易關(guān)系的理解和掌握是學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的關(guān)鍵。量子力學(xué)中常用的算符對易關(guān)系主要是指坐標(biāo)算符、動量算符、軌道角動量算符、自旋角動量算符等這些基本力學(xué)量算符間的對易關(guān)系。算符對易關(guān)系可利用關(guān)系式來證明,但注意算符只有作用到波函數(shù)上才有意義,在證明對易關(guān)系時,帶上波函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算肯定不會出現(xiàn)錯、漏項(xiàng),否則在證明過程中很容易漏項(xiàng)。另外,也可以利用已有的對易關(guān)系證明未知的對易關(guān)系。坐標(biāo)算符與動量算符坐標(biāo)算符與動量算符的對易關(guān)系是最基本的對易關(guān)系,其它力學(xué)量的對易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。坐標(biāo)算符間的對易

8、關(guān)系坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子,相互對易其對易關(guān)系可歸納為:(在直角坐標(biāo)系中,可表示為:動量算符間的對易關(guān)系動量算符是微分算符,因求微分交換先后次序結(jié)果相同。其對易關(guān)系可歸納為:(在直角坐標(biāo)系中,可表示為:坐標(biāo)算符與動量算符間的對易關(guān)系坐標(biāo)算符與動量算符間的對易關(guān)系式,可歸納為:(其中,為克羅內(nèi)克符號,可表示為分析:證明該對易關(guān)系就是證明如下關(guān)系式:其中為任意波函數(shù),共有個對易關(guān)系式。證明:設(shè)為任意波函數(shù),取,則有比較后可得,由于為任意函數(shù),所以相同方法可證得如下關(guān)系:通過歸納,即可得出前面所歸納的一般關(guān)系。軌道角動量算符角動量算符與坐標(biāo)算符間的對易關(guān)系動量算符與坐標(biāo)算符間的對易關(guān)系式,可歸納為:(上

9、式中稱為三階反對稱單位張量符號,采用以下重復(fù)指標(biāo)自動求和的規(guī)約:證明由可得所以,在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的其它對易關(guān)系可表示為:23第卷第期136201112年月遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào) ,1,72,8462.39角動量算符與動量算符間的對易關(guān)系角動量算符與動量算符的對易關(guān)系式,可歸納為:(證明:在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的其它對易關(guān)系有:角動量算符間的對易關(guān)系角動量算符間的對易關(guān)系式,可歸納為:(證明:左邊:利用關(guān)系:可得上式令右邊:即,左邊右邊。在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的其它對易關(guān)系有:可知,角動量的對易關(guān)系可以合寫為一個矢量公式:由上可知,一般情形下,軌道角動量算符的對易關(guān)系,可總結(jié)如下:(若算符是任一標(biāo)量算符角動

10、量算符與算符的關(guān)系可歸納為:(若算符是任一矢量算符角動量算符與算符的關(guān)系可歸納為:(并且,軌道角動量算符的對易關(guān)系(式在直角坐標(biāo)系中,還有一個簡便的記憶方法:從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正,任何一個指標(biāo)錯位即為負(fù),相同指標(biāo)則為零。自旋角動量算符自旋是微觀粒子的量子特性,是微觀粒子內(nèi)部狀態(tài)的表征,自旋角動量也是描述微觀粒子的一個力學(xué)量。由于自旋角動量算符與坐標(biāo)、動量無關(guān),角動量算符表示對它不再適用,但它又是角動量,因而具有和其它角動量應(yīng)有的共性,這個共性表現(xiàn)在角動量所滿足的對易關(guān)系。因此,自旋算符也滿足這樣的對易關(guān)系,即,分量的對易關(guān)系也具有如下與軌道角動量相同的形式:(直角坐標(biāo)系中,對易關(guān)系可表示

11、為:可以證明,自旋角動量算符間還存在如下的反對易關(guān)系:另外,量子力學(xué)中為分析方便,引進(jìn)了泡利算符,與自旋算符的關(guān)系為。因而泡利算符是自旋算符的平行算符,其滿足的對易關(guān)系與自旋算符完全相同,在此不一一列舉分析。楊秀德等量子力學(xué)中常用算符對易關(guān)系及其證明2.4(110 (211(312(4131134678對易關(guān)系中的幾個重要推論由以上算符的對易關(guān)系,可證明得出如下量子力學(xué)中幾個非常重要的對易關(guān)系:(球坐標(biāo)下是的函數(shù),若有徑向函數(shù)算符,則(以上(式就是本文對量子力學(xué)中坐標(biāo)算符、動量算符、軌道角動量算符、自旋角動量算符進(jìn)行分析、證明得到的相應(yīng)對易關(guān)系的歸納式,通過歸納式改變相應(yīng)指標(biāo)不僅可以直接得出這

12、些算符在直角坐標(biāo)系中相應(yīng)的對易關(guān)系,通過簡單的坐標(biāo)變換,也可得出這些算符在其它坐標(biāo)系下相應(yīng)的對易關(guān)系。而且,角動量算符的對易關(guān)系(式還可總結(jié)為(、(兩式更為普遍的表示形式,在直角坐標(biāo)系中,還有一個非常簡便的記憶方法來進(jìn)行記憶,學(xué)生根據(jù)該方法很容易掌握這些對易關(guān)系。如果教師在量子力學(xué)中圍繞這些對易關(guān)系普遍的結(jié)論歸納式來開展教學(xué),就能很好地訓(xùn)練和拓展學(xué)生思維,加深學(xué)生對這些算符、對易關(guān)系及其作用的理解,從而為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。3結(jié)語參考文獻(xiàn):1曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷IM.北京:科學(xué)出版社,2004.175.2周世勛.量子力學(xué)教程(第2版M.北京:高等教育出版社,2009.46-79.3劉自

13、信,王學(xué)雷,賴振講,等.量子力學(xué)考研指導(dǎo)與習(xí)題精析M.北京:科學(xué)出版社,2006.5.(責(zé)任編輯:朱彬(上接99頁參考文獻(xiàn):1劉榮厚,牛衛(wèi)生,張大雷.生物質(zhì)熱化學(xué)轉(zhuǎn)換技術(shù)M.北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005.2周春梅.生物質(zhì)秸稈與殘?zhí)砍尚凸に嚰叭紵匦缘脑囼?yàn)研究D.淄博:山東理工大學(xué),2007.3Lee JW,Kidder Mi,Evans BR,et al.Characterization of biochars produced from corn stovers for soil amendmentJ.Environmental Science and Technology,2010,44

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