華中科技大學(xué)-微積分-極限習(xí)題課及答案

1、例1求極限1limnCOSCOSp2220時(shí)，極限為1；n充分大時(shí),sin歹0丨，原式limnsinsin。2lim(1n解 先求lim nln(1n所以原式=elim n(丄n另法利用1同理xm0x因?yàn)?時(shí),lim xx 0即有由夾擠準(zhǔn)那么得1，故原極限為1。2si陀limx 04lim WcosJxx 01 解 先求lim In cos xlimx 0-(cos、xx1)原極限為e 1/2。x e5lim x一- x e x exln xe i解 原式 limx e x exlnx ee. e1limx e x eeelimxx e x eexlnx eln xe (limx elim也x

2、 e x ee2er、1 cos x Jcos 2 x ? cos 3x16Iimx 011解 分子為 1 exp(ln cosx In cos2x In cos3x) 23(In cosx-In cos2x21,c、In cos3x),3原式xm0In cosx2x1 In cos2x2 x21 In cos3x3 x200cosx 12x1 cos2x 11 cos3x 1x2x22 33.練習(xí)1lim n Vn (tan-n. nsin#). n答案-x322sin xxeee eIimx 0 sinx x答案e3I1 cosx . cos2x limx 0n.cosnx2x答案丄n(n

3、 1)44x2lim (ex 0答案e 15lim (1- x)(1 3 x) (1 n x)x 1(1 x)n11答案 n!6Iim (sinx 1sinx)x提示和差化積，極限為 0設(shè) a ( h?)， an 需 an 1?n1，求 Iim a1a2nan。提示：令 a0 cos ,0,，那么 an cos=。2例 2 設(shè) x0R， xnsin xn 1, n 1，求 lim xnn解考慮x1 sin1,1，分三個(gè)情形：1丨假設(shè)x 0，極限為0.2假設(shè)x10，那么x2sin x-ix1，易得xnsinxn 1xn“1，故數(shù)列單調(diào)遞3X10時(shí)，同理求得I綜上極限為0.例 3 設(shè)為 a 0,

4、y1 b 0, ab，且Xn 1Xn yn ,? n 12(xn yn)證明 lim xn lim yn。nn分析 問題中的遞推公式互相關(guān)聯(lián), 調(diào)有界準(zhǔn)那么。且平均值不等式幾何平均與算術(shù)平均可用，考慮單證 由于Xn 0,紗 n 0 ,且yn1 2(Xnyn )- xnynxn 1，?yn1 12(Xn yn)2n)%可知xn2Xnynxn 1, yn 1XnYn,Xn yn ,?那么 lim Xnnlim yn。n為單調(diào)增加數(shù)列，yn為單調(diào)減少數(shù)列，且 a Xn yn 6*故數(shù)列x* y極限都存在，設(shè)極限分別為 A,B，對yn 1 !(xn yn),?兩邊取極限得B (A B)/2，故注 此題

5、變化為：x1 a 0, y1 b 0, a b，且求以下函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷類型:1.f (x)x(X)sin x2 f(x) (1 e1x)1無定義的點(diǎn)x k ,k為整數(shù).因?yàn)閒(0 ),f(0 )，所以x 0是跳躍間斷點(diǎn);因?yàn)閘im f (x)xlim x sin( x),所以x是可去間斷點(diǎn);k 0,1時(shí)，x k是第二類間斷點(diǎn)。思考：間斷點(diǎn)將實(shí)軸分成子區(qū)間，函數(shù)在哪個(gè)子區(qū)間上有界?2無定義的點(diǎn)X 1及X 0 .因?yàn)閄lim f(x) 1/lim(1 e1),x 0x 0故x 0是f (x)的無窮間斷點(diǎn).又由于Xf(1 ) 1/lim (1 eC) 0，因?_x 11 xXf (1 ) 1/l

6、im (1 e1 x)1， 因x 11 x故X 1是f (X)的跳躍間斷點(diǎn)例5設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),f (0) f (1)。證明存在X。0,1，使得f(x) f (X03)。122證令g(x)f (x)f (x)，0 x 一，那么由條件知g(x)在0,上連續(xù)，設(shè)33其最小值與最大值為 m,?M 。那么1 1 2m- g(0)g(：)g(；) m333又直接計(jì)算得知1 1 2 1 112 2Jg(0) g() g(-) 3(0)f() f(?) f(-) f(-) f(1) 02故由連續(xù)函數(shù)的介值定理，在區(qū)間0,內(nèi)g(x)必能取到值0。亦即存在X0 0,1，31使得 f (X0)

7、f(X0 3)。3同型練習(xí)題：設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，f(0) f (1)。證明存在X00,1，1使得 f (x0) f (x0),n 1。n例6 設(shè)函數(shù)f (x)在實(shí)軸上連續(xù)，且 f ( f ( x) X。證明 c，使f (c) c。數(shù)。例7設(shè)f(X)在X 1連續(xù)，且X 0 : f (x)2f (x )，證明：x0時(shí),證對任x0, f(x) f(x)1f(x)1Tnf(x2 ). 令 n,利用f (x)是常1nx21及連續(xù)性條件得,f(x)limnf(x2 )c 11f (lim x2 )nf (1)，即f (x)恒等于f(1).同型練習(xí)題:設(shè)f(x)在x0連續(xù)，且f (x)

8、f (2x)，證明:f (x)是常數(shù)。n為常數(shù)，假設(shè)不等式sinx a2 s in2xan s innx x對所有xR成立,證明ai2a2nan設(shè)f(x)在()內(nèi)連續(xù)，且任給x, y R，有f(x y) f (x) f(y)f (lim xn) lim f (xn) lim f 人nnn試證f (x)為線性函數(shù)f(x) ax，其中a f (1)。又 f(k) f (111)kf(1)，1 1f(1)f(一 一-)nf($，即 f(-)1-f(1)。n nnnnn從而f (m) mf)f (1)，故對有理數(shù)x都有f (x)f (1)x。nnn任給x (,)，存在有理數(shù)數(shù)列Xnx，利用f (x)的連續(xù)性，得證顯然 f (0)0 , f ( x)f(x)，即f (x)為奇函數(shù)。f(x)f(1)x。注此題條件改為f (x)在x 0