千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題(一)：第12煉-復(fù)合函數(shù)零點問題

1、第 12 煉 復(fù)合函數(shù)零點問題一、根底知識：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè) y f t ， t g x ，且函數(shù) g x 的值域為 f t 定義域的子集， 那么y通過t的聯(lián)系而得到自變量 x的函數(shù)，稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記為 y f gx2、 復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求 y g f x 函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外的順序，一層層 求出函數(shù)值。例如： f x 2x,g x x2 x，計算g f 2解： f 222 4 g f 2 g 4123、 函數(shù)值求自變量的步驟：假設(shè)函數(shù)值求x的解，那么遵循“由外到內(nèi)的順序， 一層層拆解直到求出 x的值。例如：f x 2x，g x x2 2x，假設(shè)g f x 0， 求x解：令

2、 tf x ，那么 g t0t 2 2t 0 解得 t 0, t 2當 t 0fx02x0，那么x當 t 2fx22x2，那么 x 1綜上所述：x1由上例可得，要想求出 g f x 0的根，那么需要先將 f x 視為整體，先求出 f x 的值，再求對應(yīng) x的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點問題，先回憶零點的定義：4、 函數(shù)的零點：設(shè)f x的定義域為D，假設(shè)存在x0 D，使得f xo0，那么稱x x 為 f x 的一個零點5、 復(fù)合函數(shù)零點問題的特點： 考慮關(guān)于x的方程g f x 0根的個數(shù)，在解此類問題時， 要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于 f x 的方程，觀察有幾個 f x 的值使得等式成

3、立； 第二層是結(jié)合著第一層 f x的值求出每一個 f x被幾個x對應(yīng)，將x的個數(shù)匯總后即為 g f x 0 的根的個數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù) y g f x 零點問題的技巧：1此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出f x ,g x的圖像的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與X的圖像特點，分配每個函數(shù)值fi X被幾個X所對應(yīng)，從而確2假設(shè)零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，那么先估計關(guān)于f X的方程g f X 0中f X解定fi X的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1 :設(shè)定義域為R的函數(shù)fx1X 1，X假設(shè)關(guān)于X的方程1,X1f2 x bf x c 0 由 3 個不同的解 x-!,x2,x3，那

4、么 x； x； x；x的x的個數(shù)思路：先作出f X的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的y0,滿足y0分別為2個yo O,yo 1丨和3個y。 1，有3個解，從而可得f X 1必為f2x bfXc 0的根，而另根為1或者是負數(shù)。所以fX1，可解得：X10,X21,X32 22，所以X1X22X35答案5例2關(guān)于x的方程X213 X2120的不相同實根的個A數(shù)是2/RA.3B.4C. 514?i2T xD.8思路可將X21視為一個整體，即tXx2 12，那么方程變?yōu)閠23t20可解得：t 1或t 2，那么只需作出t x |x2 1的圖像，然后統(tǒng)計與t 1與t 2的交點總數(shù)即可,共有5個例3 :函數(shù)f(

5、x) |X 1 |X答案：C|x 11，關(guān)于 x 的方程 f2(x) a f (x) b 0Xa,b R丨恰有6個不同實數(shù)解，那么 a的取值范圍是 思路：所解方程f2(x) a|f(x)0可視為|f x| a f x| b 0 ,故考慮作出f x |的圖像:2-,x 1x2x,0 x2x, 12,xx如圖，由圖像可知，假設(shè)有62,0f22，所以 a解得答案:1,0 x例4:定義在R上的奇函數(shù)，當x 0時，f2 ,x0的實數(shù)根個數(shù)為D. 92，那么關(guān)于x的方C.B.2答案：BA. 6小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5 :假設(shè)函數(shù)f x32x axbx c有極

6、值點MX，且f為 為，那么關(guān)于x的方程23 f x 2af xb 0的不同實根的個數(shù)是思路：f x3x22ax b由極值點可得：x.(,x2為3x2 2ax b 0的兩根，觀察到方程與3 f x22af x以可得22af xi xXi，0結(jié)構(gòu)完全相同，所0的兩根為可判斷出f2 Xx2X2 ,其中fiXi，假設(shè)XiXiX2 ,Xi個交點，而f2Xix2，可判斷出 x是極小值點， x2是極大值點。且f2 X X2 Xi f Xi ，所以y fi x與f x有兩個交點，而 f2 X與f x有一個 交點，共計3個。綜上所述，共有 3個交點答案：AX c 0恰有七個不相同例6 :函數(shù)f x|x2 4x

7、3，假設(shè)方程f x 2 bfD. 0,2的實根，那么實數(shù)b的取值范圍是A. 2,0B. 2, iC. 0,i思路：考慮通過圖像變換作出f x的圖像如圖，因為2f x bf x c 0最多只能解出2個f x，假設(shè)要出七個根，貝yfi Xi,f2 X 0,i， 所以b fi x f2 x i,2，解得：b 2, i答案：B例7:函數(shù)fXXx，假設(shè)關(guān)于e2x的方程f x mf xm i 0恰有4個不相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是A. 1,2 U 2,eeib. -,i eiC. i,i -eiD. - ,e e的方程f2 xmf x m 10中,f1 x0,1e,f2 x1Je，從而將問題轉(zhuǎn)化

8、為根分布問題，設(shè)t f x，那么 t2mtm 10的兩根t10,1,t2,，設(shè)eeg00m10Ag t t2 mtm1，那么有111 ,解得m 1,1 -g02mm 10eeee思路:，分析f X的圖像以便于作圖,xx，X ex 0 時，f x 1 x ex，從而f在1,單調(diào)遞減，f 1正半軸為水平漸近線；當 x1，且當x,y 0，所以xe0 時，f' x x 1 e x，所以x在0,1單調(diào)遞增,0單調(diào)遞減。由此作圖，從圖像可得,假設(shè)恰有4個不等實根,那么關(guān)于f x小煉有話說：此題是作圖與根分布綜合的題目,其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點答案：C來進行作圖，在作圖的過程中還要注意

9、漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例&函數(shù)正確的選項是1的零點個數(shù)判斷ax 1 x 0x，那么以下關(guān)于函數(shù) ylog2x,x 0A. 當a 0時，有4個零點；當a 0時，有1個零點B. 當a 0時，有3個零點；當a 0時，有2個零點C. 無論a為何值，均有2個零點D. 無論a為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程f f x 1的解的個數(shù)，先作出x的圖像，直線y ax 1為過定點0,1的一條直線，但需要對a的符號進行分類討論。 當a 0時，圖像2 1如下列圖，先拆外層可得f1 x0, f2 x ，而f1 x有兩個對應(yīng)的x， f2 x也2有兩個對應(yīng)的x，共計4個；當a 0時，f

10、X的圖像如下列圖，先拆外層可得f x且fx-只有一個滿足的X，所以共一個零點。結(jié)合選項，可判斷出A正確2答案：A函數(shù)f xx33x20，那么231,xg f x a 0 a為正實數(shù)的實數(shù)根最多有 個 思路：先通過分析f x ,g x的性質(zhì)以便于作圖，' 2f x 3x 6x 3x x 2，從而 fx 在,0 , 2, 單增，在 0,2 單減，且 f 01,f 23，g x為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如下列圖，假設(shè)要實數(shù)根最多，那么要優(yōu)先選取f x能 對應(yīng)x較多的情況，由f x圖像可得，當f x 3,1 時，每個f x可對應(yīng)3個x。只需判斷g f x a中， f x能在 3,1取得的值

11、的個數(shù)即可，觀察g x圖像5可得，當a1,5時，可以有2個f x 3,1，從4而能夠找到6個根，即最多的根的個數(shù) 答案：6個例10:函數(shù)yf x和yg x在 2,2的圖像如下，給出以下四個命題1方程f gx0有且只有6個根2方程g fx0有且只有3個根3方程f fx0有且只有5個根4方程g gx0有且只有4個根那么正確命題的個數(shù)是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出X的總數(shù)。1中可得gi x 2, 1 ,g2 x 0,g3 X 1,2 ，進而gi x有2個對應(yīng)的x ，g2 X有3個，g3 x有2個，總計7個，1錯誤；2中可得f1x2, 1, f2 x0,1 ，進而f