第四章中值定理VIP

1、第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理教學(xué)目的：理解并會(huì)用羅爾定理、 拉格朗日中值定理， 了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教學(xué)重點(diǎn)： 羅爾定理、拉格朗日中值定理。教學(xué)難點(diǎn)： 羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：一、羅爾定理1. 羅爾定理幾何意義 ：對于在 a,b 上每一點(diǎn)都有不垂直于x 軸的切線，且兩端點(diǎn)的連線與x 軸平行的不間斷的曲線f (x) 來說，至少存在一點(diǎn)C，使得其切線平行于x 軸。yCyf ( x)ABoa12bx從圖中可以看出： 符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬（Fermat）引理費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)f (x) 在點(diǎn)x

2、0 的某鄰域 U ( x0) 內(nèi)有定義并且在x0 處可導(dǎo)如果對任意 x U(x0 )有0(或 f (x) f (x0 ) )那么 f ' (x0 )0f (x) f (x )證明：不妨設(shè)x U(x0 )時(shí)， f ( x)f (x0 ) （若 f (x)f ( x0 ) ，可以類似地證明）.于是對于 x0xU (x0 ) ,有 f (x0x)f (x0) , 從而當(dāng)x0 時(shí) ,f (x0x) f (x0)x0 時(shí) ,f ( x0x)f ( x0 )x0;而當(dāng)x0;根據(jù)函數(shù) f (x) 在 x0處可導(dǎo)及極限的保號性的得''(x0 )f (x0x)f (x0)f (x0 )f

3、limx0x0f ' (x0)f '( x0 )lim f (x0x)f (x0) 0x0x所以f'(0) 0,證畢 .x定義導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)).羅爾定理如果函數(shù) f(x)滿足：（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)（ 2）在開區(qū)間( a, b) 內(nèi)可導(dǎo) （ 3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 f (a)f (b)使得函數(shù)f (x) 在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f ' ( )0那么在 (a,b) 內(nèi)至少在一點(diǎn)(ab)證明： 由于 f (x) 在 a,b上連續(xù)，因此必有最大值M 和最小值 m ，于是有兩種可能的情形：（1）M，此時(shí)f ( x)在 a

4、,b 上必然取相同的數(shù)值M ，即 f (x) M .m由此得 f ( x)0.因此，任取(a, b) ，有 f () 0.（2）M，由于f (a)f (b)，所以 M 和 m 至少與一個(gè)不等于f (x)在區(qū)間 a,b端點(diǎn)處m的函數(shù)值 .不妨設(shè) Mf (a)(若 m f (a) ,可類似證明 ),則必定在 (a,b) 有一點(diǎn)使 f ( )M . 因此任取 xa,b 有 f (x)f ( ),從而由費(fèi)馬引理有f () 0.證畢例 1 驗(yàn)證羅爾定理對f()x223在區(qū)間 1,3上的正確性xx解 顯然f ( x)x22x3( x3)( x 1)在 1,3 上連續(xù)，在(1,3) 上可導(dǎo)，且f ( 1)f

5、 (3)0 , 又 f ( x)2( x1) , 取1, (1( 1,3) ,有 f ( )0 .說明： 1若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足, 其結(jié)論可能不成立 ;2使得定理成立的可能多于一個(gè)，也可能只有一個(gè) .例如yx , x2,2 在 2,2上除 f (0) 不存在外，滿足羅爾定理的一切條件，但在區(qū)間 2,2 內(nèi)找不到一點(diǎn)能使f( x)0 .例如y1x, x(0,1除了 x0 點(diǎn)不連續(xù)外，在 0,1上滿足羅爾定理的一切條0,x0件，但在區(qū)間 0,1上不存在使得f( )0 的點(diǎn)例如 yx, x0,1.除了 f (0)f (1) 外，在 0,1 上滿足羅爾定理的一切條件，但在區(qū)間 0,1上不

6、存在使得f( )0 的點(diǎn)又例如 ycos x,x, 3 滿足定理的一切條件， 而0,222羅爾定理的應(yīng)用羅爾定理1）可用于討論方程只有一個(gè)根；2）可用于證明等式 .例 2 證明方程 x55 x 10 有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證明：設(shè)( )551, 則f (x)在0,1上連續(xù)，且f (0) 1, f (1) 3.f xxx由介值定理存在x0(0,1)使 f (x0 )0 , 即 x0 為方程的小于1 的正實(shí)根 .設(shè)另有x1(0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 )0.因?yàn)閒 (x) 在 x0 , x1 之間滿足羅爾定理的條件 , 所以至少存在一個(gè)（在 x0 ,x1之間）使得 f

7、( ) 0.但f( )5(4 1)0, ( x(0,1) ,矛盾,所以x0為方程的唯一實(shí)根 .xx拉格朗日中值定理的證明就是羅爾定理證明等式的一個(gè)例子（見后面） .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在實(shí)際應(yīng)用中，由于羅爾定理的條件（3）有時(shí)不能滿足，使得其應(yīng)用受到一定限制。如果將條件（ 3）去掉，就是下面要介紹的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f (x)滿足（1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù) （ 2）在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) 那么在 ( a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab)使得等式f (b) f ( a)f ' ()(ba)成立幾何意義上述等式可變形為 f

8、 ( )f (b)f (a) ，等式右端為弦 AB 的斜率 , 于是在區(qū)間 a, b 上ba不間斷且其上每一點(diǎn)都有不垂直于x軸切線的曲線上，至少存在一點(diǎn)C，使得過 C 點(diǎn)的切線平行于弦 AB. 當(dāng) f (a)f (b) 時(shí)，羅爾定理變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ恚戳_爾定理是拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，下面用羅爾定理證明拉格朗日中值定理 .yf (b)f (a)( xa). 曲線f (x) 減去弦分析與證明： 弦 AB 的方程為f ( a)abAB ，所得曲線 AB 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等 . 作輔助函數(shù)F (x) f ( x) f (a)f (b)f (a) ( x a)

9、ba于是 F (x) 滿足羅爾定理的條件，則在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得F() 0 .又 F (x) f ( x)f (b )f ( a) , 所以 f ( )f (b )f ( a)baba即在 (a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab)，使得( )f(a)f'( )() 證畢f(xié) bb a .說明 : 1.f (b)f (a)f ' ( )(ba) 又稱為拉格朗日中值公式（簡稱拉氏公式）, 此公式對于 b a 也成立 ;2拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系；當(dāng)設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù) , 在 ( a,b)內(nèi)可導(dǎo)時(shí) , 若

10、x0 , x0x ( a, b) , 則有 f ( x0x) f ( x0 ) f (x0x) x (01)當(dāng) yf (x)時(shí) , 也可寫成yf (x0x)x(01).試與微分 dyf (x)x比較dyf (x)x是函數(shù)增量y 的近似表達(dá)式而yf ( x0x)x(01) 是函數(shù)增量y 的精確表達(dá)式所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式, 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.推論若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上導(dǎo)數(shù)恒為零，則f (x) 在區(qū)間 I 上是一個(gè)常數(shù) .2. 拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理1）可用于證明等式；2）可用于證明不等式.例 3 證明 arcsin x arccosx(

11、1x1)2證明： 設(shè) f ( x) arcsin xarccosx,x1,11(1) 0,所以 f (x) C, x 1,1由于 f ( x)2211 xx又 f (0) arcsin0 arccos0 0, 即 C.222故 arcsin x arccosx.2例 4 證明當(dāng) x0xln(1x) x時(shí) ,x1證明 :設(shè) f ( x)ln( 1 x), 則 f (x) 在 0, x 上滿足拉氏定理的條件于是 f (x)f (0)f( )(x0), (0x)又 f (0)0, f (x)1, 于是 ln(1x)x1x1而 0x, 所以 1 11 x , 故 1111x 1從而xxx , 即xln

12、(1 x)xx 1x11三、柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)f (x) 及 F(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù) ,在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo) , 且F' (x) 在 (a,b) 內(nèi) 每一 點(diǎn)處 均不為 零， 那 末 在 (a,b) 內(nèi)至 少 有一 點(diǎn)(ab) , 使等 式f (b)f (a)f ' ( ) 成立F(b)F (a)F ' ()幾何解釋 :設(shè)曲線弧 C 由參數(shù)方程XF (x) ( a xb )表示 其中 x 為參數(shù) 如果曲線 CYf ( x)上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線C 上必有一點(diǎn) x使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB 曲線 C

13、 上點(diǎn) x處的切線的 斜 率 為 dYf ()弦 AB的斜率為f (b)f (a)于 是dXF ()F (b)F (a)f (b)f (a)f ( )F (b)F (a)F ( ), 即在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C(F ( ), f ( ) ,在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.CyXF ( x )Yf ( x )MBNoF( ) F ( x)F (b) x1AF(a)F( 2)證明 : 作輔助函數(shù)(x)f ( x)f (a)f (b)f (a) F ( x)F (a)F (b)F (a)則(x) 滿足羅爾定理的條件，于是在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得() 0,即f( )f (b)f (a) F

14、 ( ) 0f (b)f (a)f (), 所以F( a)F (.證畢baF (b)特別地 當(dāng) F(x)x時(shí) , F (b)F (a) ba, F ( x)1由 f ( b)f (a)f ()f (b)f (a)有af (F ( b)F (a)F ()b即 f (b)f ( a)f()(b a) ,故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.例 5設(shè)函數(shù) f (x) 在 0,1 上連續(xù) ,在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo) ,證明 :至少存在一點(diǎn)(0,1) ，使f ( )2 f (1)f (0)證明與分析 :結(jié)論可變形為f (1)f (0)f () f ( x)102(

15、 x 2 )x設(shè) g(x)x2，則 f ( x), g(x) 在 0,1 上滿足柯西中值定理的條件于是至少存在一點(diǎn)所以至少存在一點(diǎn)(0,1)(0,1)，使 f (1)f (0)f ()102，使 f (1)f (0)f ()102即 f ( )2 f (1)f (0)四、小結(jié)羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.注意中值定理成立的條件.五、作業(yè)P24P27第二節(jié)洛必達(dá)法則教學(xué)目的 ：理解洛必達(dá)法則，掌握用洛必達(dá)法則求0型和型以及0 ,型0未定式的極限的方法 ; 了解 00 ,1 ,0

16、型極限的求法 .教學(xué)重點(diǎn)： 洛必達(dá)法則 .教學(xué)難點(diǎn)： 理解洛必達(dá)法則失效的情況,0,型的極限的求法.教學(xué)內(nèi)容：一0型和型未定式的解：法洛必達(dá)法則0定義：若當(dāng) xa（或 x）時(shí)，函數(shù) f (x) 和 F (x) 都趨于零 (或無窮大 )，則極限limf (x)F (x)xa( x)可能存在、也可能不存在，通常稱為0 型和 型未定式 .0例如 limtan x , (0 型);lim ln sin ax , (型 ).x0x0x 0 ln sin bx定理： 設(shè) (1)當(dāng) x0時(shí), 函數(shù) f (x) 和 F ( x) 都趨于零 ;(2)在 a點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi) , f (x) 和 F (x) 都存在

17、且 F ( x) 0 ;(3) lim f ( x) 存在 (或無窮大 ),x a F ( x)(x則 limf ( x)limf ( x)x a F ( x)x a F ( x)定義： 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為 洛必達(dá)法則證明 :定義輔助函數(shù)f1 ( x)f ( x),xa, F1( x)F (x),xa0,xa0,xa在 U ( a,) 內(nèi)任取一點(diǎn) x , 在以 a 和 x 為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)f1 ( x) 和 F1 (x) 滿足柯西中值定理的條件 , 則有f ( x)f ( x)f ( a)f ( ) , (在 a 與 x 之間 )F ( x

18、)F ( x)F (a)F ( )當(dāng) x0 時(shí),有a , 所以當(dāng) lim f ( x)A , 有 limf( )Axa F ( x)aF ( )故 limf ( x)lim f()A. 證畢xaF (x)a F ()說明 : 1.如果 limf ( x) 仍屬于0型 ,且 f (x) 和 F(x) 滿足洛必達(dá)法則的條件, 可繼續(xù)使用洛xa F (x)0必達(dá)法則 ,即 lim f (x)limf (x)limf(x);xa F (x)x a F (x)x a F (x)2.當(dāng) x時(shí) ,該法則仍然成立 , 有 limf ( x)limf ( x) ;xF (x)xF ( x)3.對 xa （或 x

19、）時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則;4. 洛必達(dá)法則是充分條件 ;5. 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限.例 1 求 lim tan x , ( 0 型 )x0x0解 原式 = lim (tan x)= lim sec2 x1x 0( x)x 01例2求 limx33x20型 )x2x 1 x3x 1 , ( 0236 x3解原式=lim3x=lim2x 13 x 2 x 1x 1 6 x 2 2例 3求lim 2arctanx,(0型)1x0x1x 2解原式=lim1x2= lim2=11x1xxx2例 4求 lim ln si

20、nax , (型 ).x 0 ln sinbx解 原式 = lima cos ax sin bx =limcosbx =1x0b cos bx sin axx 0cosax例 5求 limtan x , ( 型 )x tan 3x2解 原式 = lim2216 cos 3x sin 3 xsecx=1 lim cos 3x =limx3 sec23x3 xcos2 x3 x2 cos x sin x222= lim sin 6x=lim6 cos6x3xsin 2xx2 cos2x22注意： 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例 6求 lim tan x

21、xx0x2 tan x解原式=tan xxlimsec2 x11limtan 2 x1lim3=3x2=3x2=x0xx 0x 03二 0,00,1 ,0 型未定式的求法關(guān)鍵 :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型1 0型未定式的求法步驟： 01, 或 0010例 7求 limx 2 ex.( 0) 型xxxex解 原式 = lime2 = lim elim.xxx2xx22.型步驟：110000.0 0例 8求 lim (11).() 型x 0sin xx0型和型.0解 原式 = lim xsin xx 0 x sin x3. 00,1 , 0型00步驟：取對數(shù)101cosxlim0.

22、x 0 sin xx cos x0 ln 0ln 10.0 ln例 9 求 lim xx.x 0解 原式 = lim ex ln xx01例 10 求 lim x1 x .x 1(00)型limln xlim1lim xln xx0x 0xex 0ee(1)型1x1x 2e0 1.11ln xlimxln xlime 1 .解 原式 = lim e1 xex11xex 11x 110 ) 型例 11 求 lim (cot x) lnx .(x 011ln(cot x )解 由于 (cot x)ln xeln x11而 lim1limcot xsin 2xlimxln(cot x)11x 0ln

23、 xx 0x 0cos x sin xx所以 原式 = e 1.注意： 洛必達(dá)法則的使用條件例 12 求 lim x cos x .xx解 原式 = lim 1 sin xlim (1sin x). 極限不存在x1x（洛必達(dá)法條件不滿足的情況）正確解法為原式 = lim (111.cos x)xx例 13 求 limtan n (2 )n4n解 設(shè) f ( x)tan x (2) ，則 f ( n)tan n (2)4x4 n因?yàn)?limf (x)exp lim x ln tan(2)xx4xln tan(2)sec2 (22)(2 )= exp lim4xexp lim4 xx = e4x1

24、x12xx 2tan(4x)從而 原式 = limf ( n)limf (x)e4nx三小結(jié)1 洛必達(dá)法則是求0型和型未定式極限的有效方法，但是非未定式極限卻不能使0用。因此在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，每使用一次洛必達(dá)法，必須判斷一次條件。2 將等價(jià)無窮小代換等求極限的方法與洛必達(dá)法則結(jié)合起來使用，可簡化計(jì)算。3 洛必達(dá)法則是充分條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，未定式的極限需要用其他方法求，但不能說此未定式的極限不存在。4 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限 .四作業(yè)P28P30第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性教學(xué)目的：理解函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性的判定

25、定理， 會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間。教學(xué)重點(diǎn)：掌握用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性的方法。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點(diǎn)、 也可能是單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)。教學(xué)內(nèi)容：一、函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù) yf ( x) 在 a, b 上單調(diào)增加（單調(diào)減少）那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）即y f (x) 0 ( 或 yf (x) 0) 由此可見 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系反過來能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理 1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù) yf (x)在 a,b上連續(xù) 在

26、(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在 (a,b) 內(nèi) f ( x)0那么函數(shù)yf ( x ) 在 a,b 上單調(diào)增加(2) 如果在 (a,b) 內(nèi) f (x)0那么函數(shù)yf ( x ) 在 a,b 上單調(diào)減少證明只證 (1) （2）可類似證得）在 a,b 上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1x2 ) 應(yīng)用拉格朗日中值定理得到f ( x2 ) f (x1 )f ( ) ( x2x1 ) (x1x2 )由于在上式中 x2x1 0 因此如果在 (a, b) 內(nèi)導(dǎo)數(shù) f (x) 保持正號即 f ( x)0那么也有f ( )0 , 于是f ( x2 ) f ( x1 )f ( ) ( x2x1 ) 0從而 f

27、( x1 ) f( x2 ) ，因此函數(shù)y f (x ) 在 a, b 上單調(diào)增加證畢注判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例 1判定函數(shù)yxsin x在 0,2 上的單調(diào)性解因?yàn)樵?(0,2) 內(nèi) y1cosx0所以由判定法可知函數(shù)yxsin x 在 0,2 上單調(diào)增加例 2討論函數(shù) yexx1的單調(diào)性解由于 yex1 且函數(shù) y exx1的定義域?yàn)?(,)令 y0 ,得 x0,因?yàn)樵?,0) 內(nèi) y0所以函數(shù) yexx 1在 ( ,0上單調(diào)減少又在 (0,) 內(nèi) y0所以函數(shù) yexx1在 0,) 上單調(diào)增加例 3討論函數(shù) y 3 x2的單調(diào)性解顯然函數(shù)的定義域?yàn)? , ), 而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

28、 y2(x 0)3x3所以函數(shù)在 x0處不可導(dǎo)又因?yàn)?x0時(shí) y0 所以函數(shù)在因?yàn)?x0 時(shí)y0, 所以函數(shù)在(,0 上單調(diào)減少 0,) 上單調(diào)增加說明 : 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)那么只要用方程 f (x) 0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f (x)的定義區(qū)間就能保證 f (x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號因而函數(shù) f (x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)例 4確定函數(shù)f (x)2x3 9x2 12x 3的單調(diào)區(qū)間解該函數(shù)的定義域?yàn)?,)而 f (x)6x218x 126(x 1)(x 2), 令 f ( x)0, 得 x11, x22列表x(,11,2 2,

29、)f ( x)f (x)函數(shù) f( x)在區(qū)間 (,1 和 2,) 內(nèi)單調(diào)增加在區(qū)間 1,2 上單調(diào)減少例 5討論函數(shù)yx3 的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?(,)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y3x2 , 除 x0 時(shí)y0外 在其余各點(diǎn)處均有y0 因此函數(shù) yx3 在區(qū)間 (,0 上單調(diào)減少因?yàn)楫?dāng) x0時(shí) y0, 所以函數(shù)在 0,)及0,) 上都是單調(diào)增加的從而在整個(gè)定義域(,) 內(nèi) yx3 是單調(diào)增加的其在 x0 處曲線有一水平切線說明 : 一般地 如果 f(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)那么 f (x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的例 6 證明 當(dāng) x1時(shí) 2 x 31x證

30、明令 f (x)2x(31) 則 f (x)111( xx1)xxx2x2因 為 當(dāng) x1 時(shí)f( x)0 因 此 f (x) 在 1,) 上單調(diào)增加從 而 當(dāng) x1 時(shí)f (x)f (1),又由于f (1)0故 f (x)f (1)0即 2x (31) 0也就是 2x31x1)xx ,(二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1. 凹凸性的概念yyf ( x1 ) f ( x2 )f ( x1 )f(x2 )22fx1x2fx1 x222f( x1)2)f(x1)f(x2)f(xOx1x1 x2x 2xOx1x1 x2x 2x22f (x)12定義設(shè)在區(qū)間 I 上連續(xù) 如果對I 上任意兩點(diǎn)x , x恒有f (

31、x1 x2 )f (x1) f (x2 )22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凹的 (或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f (x1)f (x2 )22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定義設(shè)函數(shù) y f (x)在區(qū)間 I 上連續(xù)如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間 I 上是凹的； 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I 上是凸的2.曲線凹凸性的判定定理設(shè) f (x)在 a, b 上連續(xù)在 (a b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)那么(1) 若在(2) 若在(a,b)(a,b)內(nèi) f (x) 0 則 f

32、(x) 在 a,b上的圖形是凹的內(nèi) f (x) 0 則 f (x) 在 a,b上的圖形是凸的證明 只證 (1)(2) 的證明類似 )設(shè) x1 , x2 a, b , ( x1 x2 )記 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f ( x1) f (x0)f ( 1)(x1x0 ) f ( 1) x1 x2x11 x02f ( x2 ) f ( x0 ) f ( 2 )( x2x0 ) f ( 2 ) x2 x1x02 x22兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得f ( x ) f (x) 2 f (x ) f (2) f (1) x2 x11202f ( )(2) x2 x101212即 f ( x1

33、)2f (x2)f ( x12x2 )所以 f (x)在 a,b上的圖形是凹的拐點(diǎn)連續(xù)曲線 y f (x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn)確定曲線 yf (x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟(1) 確定函數(shù) y f(x)的定義域(2) 求出在二階導(dǎo)數(shù) f (x)(3) 求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(4) 判斷或列表判斷 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注 根據(jù)具體情況（ 1）、（ 3）步有時(shí)省略例 1判斷曲線yln x 的凹凸性解y1y1xx2因?yàn)樵诤瘮?shù)yln x 的定義域 (0,) 內(nèi) y0 所以曲線 yln x 是凸的例 2判斷曲線 yx3 的凹凸性解 因?yàn)?y 3x 2y6x 令 y0 得