線性代數(shù)典型例題

1、線性代數(shù)第一章 行列式典型例題一、利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式二、按行（列）展開公式求代數(shù)余子式 已知行列式，試求與.三、利用多項(xiàng)式分解因式計(jì)算行列式1計(jì)算.2設(shè)，則方程有根四、抽象行列式的計(jì)算或證明1.設(shè)四階矩陣，其中均為四維列向量，且已知行列式,試計(jì)算行列式2.設(shè)為三階方陣，為的伴隨矩陣，且，試計(jì)算行列式3.設(shè)是階非零實(shí)矩陣，元素與其代數(shù)余子式相等，求行列式4.設(shè)矩陣,矩陣滿足,則5.設(shè)均為3維列向量，記矩陣如果，那么五、階行列式的計(jì)算六、利用特征值計(jì)算行列式1.若四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，則行列式2.設(shè)為四階矩陣，且滿足,又已知的三個(gè)特征值分別為，試計(jì)算行列式第二章 矩陣典型例題一、求

2、逆矩陣1.設(shè)都是可逆矩陣，求：2.設(shè)，求二、討論抽象矩陣的可逆性1.設(shè)階矩陣滿足關(guān)系式,證明可逆，并求2.已知,證明可逆，并求出逆矩陣。3.設(shè),其中均為維列向量，且,求的逆矩陣。4.設(shè)為階矩陣，且可逆，證明也可逆。三、解矩陣方程1.設(shè)矩陣，矩陣滿足,求矩陣. 2.已知矩陣，且矩陣滿足，求.四、利用伴隨矩陣進(jìn)行計(jì)算或證明1.證明下列等式(1)； (2)若,則；（3）,則；(4) ,則；（5）若為同階可逆矩陣，則.2.設(shè)矩陣滿足,若為三個(gè)相等正數(shù)，則五、關(guān)于初等矩陣和矩陣的秩（看教材）第三章 矩陣典型例題一、判斷向量組的線性相關(guān)性1.設(shè)是維實(shí)向量，且線性無關(guān)，已知是線性方程組的非零解向量，試判斷向

3、量組的線性相關(guān)性。2.設(shè)是個(gè)維的線性無關(guān)向量，其中全不為零，證明中任意個(gè)向量均無關(guān)。3.設(shè)為矩陣，為矩陣，且,其中，證明的列向量組線性相關(guān)。4.設(shè)為個(gè)線性無關(guān)的維列向量，和是與均正交的維非零列向量，證明（1）、線性相關(guān)；（2），線性相關(guān)。二、把一個(gè)向量用一組向量線性表示證明線性方程組的解都是的解的充要條件是是的線性組合，其中，.三、求向量組的秩1.給定一個(gè)向量組，求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。2.已知向量組（1）；（2）；（3）.如果各向量組的秩分別是3、3、4，證明：向量組的秩為4.四、有關(guān)矩陣秩的命題1.設(shè)為實(shí)矩陣，證明：2.設(shè)為階方陣，且滿足，證明：.綜合題

4、1. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且已知，設(shè)是滿足的一個(gè)維向量，證明：存在唯一的一個(gè)維列向量，使. 2.已知隨機(jī)變量，又維向量線性無關(guān)，求向量線性相關(guān)的概率。第四章 線性方程組典型例題一、基本概念題（解的判定、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)）二、含有參數(shù)的線性方程組的求解三、抽象線性方程組求解1.已知線性方程組：的一個(gè)基礎(chǔ)解系為試寫出線性方程組：的通解，并說明理由。2.已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān)，如果，求線性方程組的通解。四、討論兩個(gè)方程組的公共解1.設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解。2.已知下列非齊次線性方程組，（1）求解方程組，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；（2）當(dāng)方程組中的參數(shù)為何值時(shí)，方

5、程組與同解。3.設(shè)都是階級(jí)矩陣，且，證明齊次方程組與有非零公共解。五、討論兩個(gè)方程組解之間的關(guān)系1. 與的解的關(guān)系。2.設(shè)有齊次線性方程組與，其中都是矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：若的解均是的解，則；若，則的解均是的解；若與同解，則；若，則與同解。以上命題中正確的是：(A) (B) (C) (D) 六、已知方程組的解，反求系數(shù)矩陣或系數(shù)矩陣中的參數(shù)1.設(shè)，且方程組的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無關(guān)的解向量，求的通解。2.設(shè)，如果是的一個(gè)解，試求的通解。七、有關(guān)基礎(chǔ)解系的討論1.設(shè)為線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中為實(shí)常數(shù)，試問滿足什么關(guān)系時(shí)，也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系？2.若矩陣的秩為，其個(gè)列向量為某一齊次線性方程組的一

6、個(gè)基礎(chǔ)解系，為階非奇異矩陣，證明：的個(gè)列向量也是該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。3.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：（1）線性無關(guān)；（2）是方程組的個(gè)線性無關(guān)的解；（3）方程組的任一解，都可以表示為這個(gè)解的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1.八、有關(guān)的應(yīng)用1.已知方陣，三階方陣滿足，試求的值。2.已知3階矩陣的第一行是，不全為零，矩陣（為常數(shù)），且，求線性方程組的通解。綜合題1.設(shè)矩陣，證明：存在常數(shù)，使得.2.已知維向量中，前個(gè)向量線性相關(guān)，后個(gè)向量線性無關(guān)，又矩陣是階矩陣，證明方程組必有無窮多解，且其任一解中必有. 3.設(shè)階方陣的列向量組為，階方陣的列向量組為：試問當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組是否有非零解？并證明你的結(jié)論。4.設(shè)為矩陣，為矩陣，且，證明：5.設(shè)是實(shí)矩陣，滿足：（1），其中為元素