數(shù)值分析在振動(dòng)中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)值計(jì)算方法在機(jī)械振動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用綜述機(jī)械工程學(xué)院11級(jí)研究生 吳泳龍摘要： 通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)值算法，對(duì)機(jī)械零部件的運(yùn)動(dòng)特征和結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行分析和研究。選取機(jī)械工程領(lǐng)域常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)實(shí)例，分析和對(duì)比常用數(shù)值算法的穩(wěn)定性及計(jì)算精度等問(wèn)題，進(jìn)而確定廣義雅可比法和加權(quán)余量法兩種數(shù)值方法來(lái)分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性關(guān)鍵字： 數(shù)值分析 機(jī)械振動(dòng)模型基于這一學(xué)期由沈老師精心授課的計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算并結(jié)合由李老師辛勤授課的機(jī)械動(dòng)力學(xué)課程，闡述這兩門(mén)課程對(duì)我所在研究方向機(jī)械振動(dòng)及噪聲控制研究的應(yīng)用。1、數(shù)值方法及數(shù)值求解簡(jiǎn)介振動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于彈性連接的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，在分析

2、振動(dòng)特征時(shí)，通常的方法是建立有質(zhì)量、彈簧、阻尼單元元件組成的系統(tǒng)，然后通過(guò)求微分方程，得到振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的解析關(guān)系。這種方法存在一個(gè)很大的缺點(diǎn)，就是簡(jiǎn)單的質(zhì)量、彈簧模型無(wú)法描述振動(dòng)系統(tǒng)全部的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。例如在結(jié)構(gòu)的局部出現(xiàn)的彈性變形。因此在利用這樣的分析方法研究振動(dòng)過(guò)程的時(shí)候，隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的提高，計(jì)算分析結(jié)果與實(shí)際情況的差別將顯著增加，從而使分析結(jié)果失去意義。 針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我將介紹幾種采用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而在模型中保留盡可能多的信息。從而使分析結(jié)果更加詳細(xì)。本文將介紹加權(quán)余量法和廣義雅克比法對(duì)振動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的任意指點(diǎn)在任意時(shí)刻力學(xué)參數(shù)的求解，利用模型中的幾何星系，邊

3、界條件與初值條件來(lái)模擬系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立一個(gè)數(shù)字化的振動(dòng)系統(tǒng)，使其模擬的與實(shí)際的振動(dòng)完全一致，設(shè)計(jì)人員可以在設(shè)計(jì)初段分析設(shè)計(jì)方案的動(dòng)力學(xué)特性，了解結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中的各個(gè)細(xì)節(jié)。2、常用數(shù)值方法原理 加權(quán)余量法或稱加權(quán)殘值法是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法。加權(quán)余量法在結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析領(lǐng)域的應(yīng)用已從靜力發(fā)展到動(dòng)力、穩(wěn)定、材料非線性和幾何非線性等各方面。大量的結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題，如桿的系結(jié)構(gòu)分析，二維和三維彈性變形分析，都可歸結(jié)為在一定邊界條件下求解微分方程的解。加權(quán)余量法特點(diǎn)變形體域內(nèi)和邊界上任意一點(diǎn)在任意時(shí)刻均近似滿足運(yùn)動(dòng)微分方程。在數(shù)值線性代數(shù)中，雅可比法（Ja

4、cobi Method）是一種解對(duì)角元素幾乎都是各行和各列的絕對(duì)值最大的值的線性方程組的算法。求解出每個(gè)對(duì)角元素并插入近似值。不斷迭代直至收斂。方法的名字來(lái)源于數(shù)學(xué)家。雅克比法如的描述如下：給定一個(gè)n×n的線性方程組其中:A 可以分解成部分D和剩余部分R:線性方程組可以重寫(xiě)為: 雅可比法是一種。在每一次迭代中，上一次算出的x被用在右側(cè)，用來(lái)算出左側(cè)的新的x。這個(gè)過(guò)程可以如下表示：對(duì)每個(gè)元素可以用以下公式：3實(shí)例分析 為了更好的說(shuō)明數(shù)值方法在機(jī)械工程振動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用，以及如何使用數(shù)值方法對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真和對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，我將分別舉例介紹上述所講的兩種方法應(yīng)用。用加權(quán)余量法計(jì)算圖示彈性基礎(chǔ)梁的撓度彈性基礎(chǔ)梁的基本微分方程和邊界條件為取試探解為無(wú)彈性基礎(chǔ)時(shí)的精確解則近似解可表示為殘差方程為廣義雅克比法實(shí)例如下：用雅可比法求解圖示系統(tǒng)的固有頻率： 經(jīng)廣義雅克比變換得到后得到精確解為：從以上結(jié)果可以看出數(shù)值方法能夠精確計(jì)算多自由度系統(tǒng)的固有頻率等精確解。4結(jié)論 本文介紹了基于數(shù)值計(jì)算方法在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用。介紹了相關(guān)數(shù)值方法的特性，對(duì)相關(guān)數(shù)值方法的理論進(jìn)行分析和討論，使用實(shí)例，簡(jiǎn)歷機(jī)械問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，選取合適得