直線與平面垂直的判定教案

1、直線與平面垂直的判定一、教材分析1.內(nèi)容與內(nèi)容解析直線與平面垂直的判定選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版必修2第二章第三節(jié)，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運(yùn)用。2.地位與作用解析線面垂直是繼研究線面平行之后的另一種空間中的重要關(guān)系。直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況。它是直線與直線垂直的拓展，又是平面與平面垂直判定的基礎(chǔ)，是空間立體幾何中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化重心。二、學(xué)情分析學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)是能直觀的判斷出日常生活中具體的直線與平面的垂直關(guān)系。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與直線垂直的定義，在高中又學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理，這為本節(jié)內(nèi)容的研究提供了經(jīng)驗(yàn)和方法

2、，即可將直線與平面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系。同時(shí)，學(xué)生具備了一定觀察分析能力，也能初步地運(yùn)用將線面問題轉(zhuǎn)化為線線問題的思想。但學(xué)生抽象能力不足，很難從線面垂直的直觀形象中提煉出線面垂直的定義，也很難從折紙?jiān)囼?yàn)中想到一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直。同時(shí)，學(xué)生很容易受上一節(jié)線面平行判定的影響，得出一條直線垂直于平面內(nèi)一條直線即可的錯(cuò)誤判定方法。三、教學(xué)目標(biāo)能準(zhǔn)確描述直線與平面垂直的定義。能初步運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明簡單的的空間位置關(guān)系問題。經(jīng)歷觀察探索、操作確認(rèn)、歸納概括、合情推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展用符號(hào)語言刻畫定義、定理的能力。領(lǐng)悟線面問題轉(zhuǎn)化為線線問題、無限轉(zhuǎn)化為有限的數(shù)學(xué)思想。

3、學(xué)生在認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活的同時(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致之美。四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的理解掌握。難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的推理歸納。五、教法學(xué)法以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法為主，結(jié)合直觀教學(xué)法和講授法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察分析、實(shí)踐操作、合作交流、合情推理，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。六、教學(xué)媒體課件，黑板，三角形紙片，幾何畫板七、教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情境、感悟垂直【教師】呈現(xiàn)生活中的圖片，引導(dǎo)學(xué)生分析圖片，進(jìn)而提出問題。 【問題組1】從數(shù)學(xué)的角度，旗桿與地面、大橋橋柱與水面有什么位置關(guān)系？生活中還有哪些類似的例子？【學(xué)生】觀察圖片，初步得出圖片中有垂直關(guān)系，并舉出更多的例子?！驹O(shè)計(jì)說明】從

4、生活出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。2.回顧舊知、逐步探索【教師】引導(dǎo)學(xué)生回憶在直線與平面平行的探究中，將線面關(guān)系轉(zhuǎn)化線線關(guān)系的思想。用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而變化的過程，進(jìn)一步提出問題。 【問題組2】觀察在陽光下垂直于地面的旗桿AB和它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線的位置關(guān)系是什么？旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？【學(xué)生】回憶舊知，觀察圖片，思考問題?！驹O(shè)計(jì)說明】引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬

5、性。3.抽象慨括、給出定義【教師】引導(dǎo)從線面垂直的直觀形象中提煉出線面垂直的定義?！締栴}組3】你們能概括出直線與平面垂直的定義嗎？【學(xué)生】初步歸納、慨括出定義?！窘處煛垦a(bǔ)充完善定義，解讀定義；同時(shí)給出線面垂直的畫法。定義：如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面互相垂直，記作：，直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面。直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。 【問題組4】如果將定義中的“任意一條直線”改成“所有直線”，結(jié)論還成立嗎？如果將定義中的“任意一條直線”改成“無數(shù)條直線”，結(jié)論還成

6、立嗎？【學(xué)生】理解定義中“任意一條直線”的實(shí)質(zhì)?！驹O(shè)計(jì)說明】通過問題，加深定義的理解，掌握定義的實(shí)質(zhì)。即“任意一條直線”是“所有直線”的意思，而不是“無數(shù)條直線”。定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。4.提出問題、操作確認(rèn)【問題組5】如何判定學(xué)校操場上的旗桿與地面是否垂直？用定義法能解決嗎？有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？【教師】組織學(xué)生用準(zhǔn)備的三角形紙片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。過ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）。 【問題組6】折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？【學(xué)生】動(dòng)手翻折三角形紙片，合作交流

7、找到解決方法。【教師】觀察學(xué)生動(dòng)手能力，引導(dǎo)并提示學(xué)生找到條件ADBC。 【問題組7】折痕ADBC，那么翻折之后垂直關(guān)系A(chǔ)DBD，ADCD會(huì)發(fā)生變化嗎？將紙片繞折痕AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動(dòng)，使得直線BD、CD不在桌面所在平面內(nèi)，這時(shí)折痕AD與桌面所在平面垂直嗎？【學(xué)生】動(dòng)手操作，討論問題是否成立。【設(shè)計(jì)說明】通過學(xué)生自己操作，讓學(xué)生體驗(yàn)將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直的思想，以求化解難點(diǎn)；“做中學(xué)”也有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和幾何直觀能力。5.合情推理、得到定理【教師】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)和抽象出圖像語言，合情推理出判定定理。把折痕AD抽象為直線l，把BD、CD抽象為直線m和n，

8、把桌面抽象為平面?！締栴}組8】根據(jù)上面的圖像，你們能合理推出直線與平面垂直的判定方法嗎？ 【學(xué)生】初步推出定理?！窘處煛垦a(bǔ)充完善定理，解讀定理；同時(shí)給出定理的文字、圖像、符號(hào)語言?！締栴}組9】為什么“與平面內(nèi)所有直線垂直”可以化簡為“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”？這條直線必須與平面內(nèi)的兩條相交直線相交嗎？文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。圖像語言： 符號(hào)語言： 【設(shè)計(jì)說明】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)、結(jié)合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合情推理，獲得判定定理。體會(huì)將無限轉(zhuǎn)化為有限的數(shù)學(xué)思想。6.初步應(yīng)用、深化理解例1.求證：與三角形的兩條邊同時(shí)垂直的直線必與第三條邊垂直?！驹O(shè)計(jì)說明

9、】初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用線面垂直判定定理的條件。例2.如圖，已知ab，a，求證b。 【設(shè)計(jì)說明】進(jìn)一步感受間接判定直線與平面垂直的方法，體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。例3.如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO平面ABCD。7.回顧知識(shí)、歸納小結(jié)【教師】引領(lǐng)學(xué)生歸納判斷方法，給出框圖，總結(jié)思想方法。線線垂直線面垂直 定義法（任意直線） 判定定理（兩條相交直線）線線垂直 ab，a b【問題組9】判斷直線與平面垂直的方法有哪些？本節(jié)課運(yùn)用了哪些思想方法？【學(xué)生】積極發(fā)言，互相補(bǔ)

10、充?！驹O(shè)計(jì)說明】突出直線與平面垂直的三大方法以及所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，將新知納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。8.布置作業(yè)、課后探究【必做題】習(xí)題23 B組 2題 Ø 【探究題】課本66頁的探究題八、教學(xué)設(shè)計(jì)說明本節(jié)課設(shè)計(jì)線索為：創(chuàng)設(shè)情景探索定義提出問題操作實(shí)驗(yàn)合情推理得到定理理解運(yùn)用整個(gè)設(shè)計(jì)體現(xiàn)以下理念：重過程展現(xiàn)定義、定理得出的來龍去脈，讓學(xué)生經(jīng)歷探索、實(shí)驗(yàn)、推理、理解等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。重思想引導(dǎo)學(xué)生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即從線面垂直過渡到線線垂直，再從無限問題過渡到有限問題，讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法。重推理過程讓學(xué)生從生活實(shí)例到抽象圖像，合情推理出判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的分析與解決問題的能力，以及三種語言的轉(zhuǎn)化能力。重文化滲透從生活中感知直線與平面的垂直，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生