簡單的線性規(guī)劃2

1、簡單的線性規(guī)劃一. 考綱要求：了解用二元一次不等式表示平面區(qū)域及簡單的線性規(guī)劃二. 重點、難點： 1. 用二元一次不等式表示平面區(qū)域2. 準確理解：（線性）約束條件，（線性）目標函數(shù)，可行解，可行域，最優(yōu)解 三近年考點分析：簡單線性規(guī)劃考法相對穩(wěn)定，主要是以填選題為主，08年開始在大題中有所體現(xiàn)。其考查方式主要集中在以下幾個方面：根據(jù)約束條件：求最值 ； 求面積； 求值域；求整數(shù)解； 求參數(shù)；簡單運用。四知識點回顧：1.二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點P（x0，y0）.B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0

2、+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方.對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).當B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.2. 線性規(guī)劃：（1）約束條件、線性約束條件：變量x、y滿足的一組條件叫做對變量x、y的約束條件，若約束條件都是關于x、y的一次不等式，則約束條件又稱為線性的約束條件。（2）目標函數(shù)、線性目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數(shù)。若解析式是x、y的一次解析式，則目標函數(shù)又稱線性目標函數(shù)。（3）線

3、性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。（4）可行域：滿足線性約束條件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。（5）最優(yōu)解：分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值的解，叫做這個問題的最優(yōu)解。 3.線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.

4、y0x五考點演練：1例1：已知 x,y 滿足約束條件（1） 求x 2y的最值；解：設Z=x2y，則y=,易知直線過點（1，1）時Z有最大值-1，過點（1，3）時Z有最小值-5. 引申：求的最大值（答案：3）（2） 求x2+y2的最值；max=10,minx=2圖1解：Z= x2+y2表示區(qū)域內(nèi)的點到點O（0，0）的距離的平方，顯然Zmax=(1-0)2+(3-0)2=10, Zmin=(10)2+(10)2=2.引申：求（x+1）2+(y-2)2-3的最小值；(答案：1)求點（2，-1）到平面區(qū)域的最小距離。(答案：)（3） 求的取值范圍； 解：Z=表示過原點和區(qū)域內(nèi)的點的直線的斜率的范圍。Z

5、1,3引申：求的取值范圍。 （提示：Z=，則Z3，5）（4） 求平面區(qū)域的面積； 解：S=(31)1=1引申1：已知函數(shù)，且，的導函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示. 則平面區(qū)域所圍成的面積是( )A2 B4 C5 D8解析：考查函數(shù)與導函數(shù)的關系，函數(shù)單調(diào)性及線性規(guī)劃等知識。答案：BAxDyCOy=kx+B引申2:(09安徽)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是( )（A） （B） （C） （D） 解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設與的交點為D，則由知，選A。 （5） 求平面區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)；4 解:平面

6、區(qū)域內(nèi)的整點有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),共4個點.（6） 當a 1時，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最值；解:當-11時， 過點（1，3）時fmax=3-a , 過點（2，2）時fmin=2-2a(7).若在區(qū)域內(nèi)有無數(shù)個點（x,y）可使Z=x+my取得最大值，則m= 解:據(jù)題意,目標函數(shù)所表示的直線應與區(qū)域的邊界重合,故m=1.（8） 若點（a，b）在以上平面區(qū)域內(nèi)，則點(2a-b,a+3b)到原點的最小距離是。 解：點（a，b），令 從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)解法。例2：線形規(guī)劃思想的運用在一個居民小區(qū)內(nèi)設計一個邊長為5米的菱形噴水池，規(guī)劃者要求：菱形的一條對角線長不大于6米，另

7、一條對角線長不小于6米。試問該菱形噴水池的兩條對角線的長度之和的最大值為多少米？解:設兩對角線的長度分別為a,b，則a,b應滿足約束條件：求a+b的最大值。由線性規(guī)劃知識易得a+b的最大值為14米。例3：（2007年湖南卷理14題）設集合，則（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是答案：（1） （2）解析：（1）作出圖象可知的取值范圍是（2）若令t=，則在（0，b）處取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.2跟蹤練習：(1).設，且，則的取值范圍是.(2).已知實數(shù)x，y滿足，則y-3x的最小值為；（3）.實系數(shù)方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的兩根分別為一個橢圓和一個雙曲

8、線的離心率，則的取值范圍是； 姊妹題：已知是三次函數(shù)f(x)=的兩個極值點，且0則的取值范圍是.(4)已知點A（2，1）和B（3，）在直線：的兩側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是。(5). (2009湖北) 在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用。每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺。若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為( )A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元(6).已知集合，則的面積為。(7). （08山東卷12）設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域

9、為M，使函數(shù)yax(a0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是( )（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9(8). （08陜西卷10）已知實數(shù)滿足如果目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于（ ）A7B5C4D3(9). （08安徽15）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從2連續(xù)變化到1時，動直線掃過中的那部分區(qū)域面積為(10). （08浙江卷17）若，且當時，恒有，則以,b為坐標點P（，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于_。（11）m若，則m的范圍為。(12) 已知集合A=，則實數(shù)k的取值范圍是。（13）已知如果一個線性規(guī)劃問題的可行域是邊界及其內(nèi)部，線性目標函數(shù)，在B處取得最小值3，在C處取得

10、最大值12，則下列關系一定成立的是 （ ） A、 B、 C、 D、（14）設，則滿足條件，的動點P的變化范圍（圖中陰影部分含邊界）是（ ） A B C D （15）設p:,(x、yR),q:x2+y2r2(x、yR,r0),若非q是非p的充分不必要條件,則r的取值范圍是_.（16）已知不等式組表示的平面區(qū)域面積是f(a),則f(a)的圖象可能是( ) A B C D(17)(09湖南) 已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 ( ) A B C D(18)(09年山東)設x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的是最大值為12，則的最小值為( ).

11、A. B. C. D. 4（19）.(08年四川文) 設函數(shù)。（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若當，求的最大值。 （理）設函數(shù)f(x) =（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（）對任意的x，求的最大值。（20）（2009全國卷理）設函數(shù)在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點的區(qū)域；(II)證明：跟蹤練習參考答案: 1. -1,10 2. ,提示:作出圖形,對f(x)=x2求導，用f (x)=3或解方程組，=0可求切點，再代如y=3x+z即可。3. (-2, )，( ,1)4.（-12，-1） 5.B，解析:設甲型貨車使用x輛，已型貨車y輛.則,求Z=400x+300

12、y最小值.可求出最優(yōu)解為（4，2）故 . 6. 1 7.C8. B 9., 10.1 11. 12. 13.C 14.A 15. （0，16.C 17.B 18.A 解析:作出不等式表示的平面區(qū)域,當直線ax+by= z（a0，b0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標函數(shù)z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=, 【命題立意】:本題綜合考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題. 19. 解：（文科）()略。（）根據(jù)（）及，在的最大值為4，最小值為1，因此，當時，的充要條件是，即滿足約束條件，根據(jù)線性規(guī)劃的知識可求得的最大值為7.(理科)（）當時，；當時，所以函數(shù)在單調(diào)增加，在，單調(diào)減少。的極小值為，極大值為。（）由0，又因為 ，所以，所以的最