數(shù)字圖像的傅里葉變換

1、數(shù)字圖像的傅里葉變換一. 課程設計目的（1）了解圖像變換的意義和手段（2）熟悉傅里葉變換的基本性質(zhì)（3）熱練掌握FFT的方法反應用（4）通過本實驗掌握利用MATLAB編程實現(xiàn)數(shù)字圖像的傅里葉變換二.課程設計要求（1）熟悉并掌握傅立葉變換（2）了解傅立葉變換在圖像處理中的應用（3）通過實驗了解二維頻譜的分布特點（4）用MATLAB實現(xiàn)傅立葉變換仿真三.設計思路1.相關(guān)知識原理（1）應用傅里葉變換進行數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理（digital image processing）是用計算機對圖像信息進行處理的一門技術(shù)，使利用計算機對圖像進行各種處理的技術(shù)和方法。    

2、20世紀20年代，圖像處理首次得到應用。20世紀60年代中期，隨電子計算機的發(fā)展得到普遍應用。60年代末，圖像處理技術(shù)不斷完善，逐漸成為一個新興的學科。利用數(shù)字圖像處理主要是為了修改圖形，改善圖像質(zhì)量，或是從圖像中提起有效信息，還有利用數(shù)字圖像處理可以對圖像進行體積壓縮，便于傳輸和保存。數(shù)字圖像處理主要研究以下內(nèi)容：傅立葉變換、小波變換等各種圖像變換；對圖像進行編碼和壓縮；采用各種方法對圖像進行復原和增強；對圖像進行分割、描述和識別等。隨著技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字圖像處理主要應用于通訊技術(shù)、宇宙探索遙感技術(shù)和生物工程等領(lǐng)域。傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中廣泛用于頻譜分析，傅里葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個有力

3、工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點等地作用（效應）。傅里葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時空域和頻率域來回切換圖像，對圖像的信息特征進行提取和分析，簡化了計算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語言，廣泛應用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。因此，對涉及數(shù)字圖像處理的工作者，深入研究和掌握傅里葉變換及其擴展形式的特性，是很有價值得。（2）關(guān)于傅里葉（Fourier）變換在信號處理中，傅里葉變換可以將時域信號變到頻域中進行處理，因此傅里葉變換在信號處理中有著特殊重要的地位。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示

4、成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換屬于諧波分析。傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取; 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段; 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里

5、葉變換算法(FFT).（3）傅里葉（Fourier）變換基本性質(zhì)a.線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學描述是：若函數(shù)f left ( xright )和g left(x right)的傅里葉變換mathcalf和mathcalg都存在， 和 為任意常系數(shù)，則mathcalalpha f+beta g=alpha mathcalf+betamathcalg；傅里葉變換算符mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符；b.頻移性質(zhì)若函數(shù)f left( xright )存在傅里葉變換，則對任意實數(shù) 0，函數(shù)f(x) ei omega_ x也存在傅里葉變換，且有mathcalf(x)ei o

6、mega_ x=F(omega + omega _0 ) 。式中花體mathcal是傅里葉變換的作用算子，平體F表示變換的結(jié)果（復函數(shù)），e 為自然對數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位sqrt；c.微分關(guān)系若函數(shù)f left( xright )當|x|rightarrowinfty時的極限為0，而其導函數(shù)f'(x)的傅里葉變換存在，則有mathcalf'(x)=-i omega mathcalf(x)，即導函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子-i 。更一般地，若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f(k-1)(pminfty)=0,mathcalf(

7、k)(x)存在，則mathcalf(k)(x)=(-i omega) mathcalf ，即 k 階導數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子( i)k。d.卷積特性若函數(shù)f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上絕對可積，則卷積函數(shù)f*g=int_-infty+infty f(x-xi)g(xi)dxi的傅里葉變換存在，且mathcalf*g=mathcalfcdotmathcalg 。卷積性質(zhì)的 逆形式為mathcalF(omega)G(omega)= mathcalF(omega) *mathcal G(omega) ，即兩

8、個函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積。(4)傅里葉變換的不同變種a.連續(xù)傅里葉變換一般情況下,若“傅立葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”?！斑B續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù)f(t) 表示成復指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。f(t)=mathcalF(omega)=fracsqrt2pi intlimits_-inftyinfty F(omega) eiomega t,domega. 上式其實表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F()的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F()表示為時間域的函數(shù)f(t)的積分形式

9、。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù),而稱函數(shù)F()為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對(transform pair)。一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分數(shù)傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。當f(t)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))時,其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為余弦轉(zhuǎn)換(cosine transform) 或 正弦轉(zhuǎn)換(sine transform).另一個值得注意的性質(zhì)是,當f(t) 為純實函數(shù)時,F() = F()*成立.b.傅里葉級數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期

10、函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：f(x) = sum_n=-inftyinfty F_n ,e , 其中Fn 為復振幅。對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：f(x) = fraca_0 + sum_n=1inf tylefta _ncos(nx)+b_nsin(nx)right,其中an和bn是實頻率分量的振幅。c.離散時間傅里葉變換離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆。d.離散傅里葉變換為了在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn 定義在離散點而非

11、連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下, 使用離散傅里葉變換，將函數(shù) xn 表示為下面的求和形式：x_n = frac1 sum_k=0 X_k eifrac2pi kn qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里葉振幅。直接使用這個公式計算的計算復雜度為mathcal(n2)，而快速傅里葉變換（FFT）可以將復雜度改進為mathcal(n log n)。計算復雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于調(diào)和分析的范疇。

12、在調(diào)和分析中, 一個變換從一個群變換到它的對偶群(dual group)。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見龐特里雅金對偶性（英文版）中的介紹。e.時頻分析變換小波變換，chirplet轉(zhuǎn)換和分數(shù)傅里葉轉(zhuǎn)換試圖得到時間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數(shù)學上受不確定性原理的限制。傅里葉變換是一種函數(shù)的正交變換，如果將信號以函數(shù)來描述，正交變換的含義就是將一個函數(shù)分解成一組正交函數(shù)的線性組合。傅里葉正、逆變換的計算公式分別為：逆變換：顯然，對一個非周期信號，其頻譜為連續(xù)譜。對于二維信號，二維Fourier變換定義為：逆變換：在

13、數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中，f(x,y)可以用來表示一幅圖像，而F(u,v)就表示該圖像的頻譜。二維離散傅里葉變換為：逆變換：快速傅里葉變換（FFT）要達到的目的是，將前面所給出的傅里葉變換的計算公式，通過一定的整理之后，找到一個可以將復雜的連加運算轉(zhuǎn)換為簡單的兩個數(shù)相加運算的重復的方法，已減小傅里葉變換的計算時間代價。經(jīng)過傅里葉變換之后，可以獲得原圖像信號的頻域分布情況。由于圖像中不同特性的像素具有不同的頻域特性，因此，可以在頻域上設計相應的濾波器，以達到濾除某些信息，或者保留某些信息的目的。另外，因為傅里葉變換后，時域與頻域形成了對偶運算關(guān)系，因此通過傅里葉變換也可以達到某些運算的簡化目的。2.應

14、用軟件MATLAB簡介MATLAB Compiler是一種編譯工具，它能夠?qū)⒛切├肕ATLAB提供的編程語言M語言編寫的函數(shù)文件編譯生成標準的C/C+語言源文件，而生成的標準C/C+源代碼可以被任何一種C/C+編譯器編譯生成函數(shù)庫或者可執(zhí)行文件，這樣就可以擴展MATLAB功能，使MATLAB能夠同其他高級編程語言(例如C/C+語言)進行混合應用，取長補短，以提高程序的運行效率，豐富程序開發(fā)的手段。    MATLAB除了能夠和C/C+語言集成開發(fā)以外，目前的MATLAB還提供了和Java語言接口的能力，并且它還支持COM標準，能夠和任何一種支持COM標準的軟件協(xié)

15、同工作。另外，在Release 13中，包含了MATLAB Compiler的擴展產(chǎn)品MATLAB COM Builder和Excel Builder，分別用來將MATLAB的函數(shù)文件打包成COM組件或者Excel插件，將MATLAB應用程序算法集成到相應的開發(fā)工具或者應用軟件中。MATLAB的主要特點：（1）語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。（2）運算符豐富。由于MATLAB是用C語言編寫的，MATLAB提供了和C語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用MATLAB的運算符將使程序變得極為簡短。（3）MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語句和if語句

16、），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦?。?）程序限制不嚴格，程序設計自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對矩陣預定義就可使用。（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。（6）MATLAB的圖形功能強大。在FORTRAN和C語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。MATLAB還具有較強的編輯圖形界面的能力。（7）MATLAB的缺點是，它和其他高級程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序為解釋執(zhí)行，所以速度較慢。（8）功能強大的工具箱是MATLAB的另一特色。（9）源程序的開放性。開

17、放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。四設計步驟（1）打開計算機，安裝和啟動MATLAB程序；程序組中“work”文件夾中應有待處理的圖像文件（2）利用MatLab工具箱中的函數(shù)編制FFT頻譜顯示的函數(shù)（3）調(diào)入、顯示獲得的圖像，圖像存儲格式應為“.tif”（4）對該程序進行編譯，檢查錯誤并糾正（5）運行，并顯示結(jié)果，比較差異五.程序代碼i=imread('cameraman.tif'); %讀入原圖像文件figure(1);%設定窗口ims

18、how(i);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('原圖像')%圖像命名j=fft2(i);%二維離散傅立葉變換k=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心l=log(abs(k); %數(shù)字圖像的對數(shù)變換figure(2);%設定窗口imshow(l,);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('經(jīng)過二維快速傅立葉變換后的圖像')%圖像命名n=ifft2(j)/255; %逆二維快速傅里葉變換figure(3);%設定窗口imshow(n); %顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('

19、經(jīng)過二維快速傅立葉逆變換后的圖像')%圖像命名m=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心RR=real(m); %取傅立葉變換的實部II=imag(m); %取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR.2+II.2);%計算頻譜幅值A(chǔ)=(A-min(min(A)/(max(max(A)-min(min(A)*225;%歸一化figure(4); %設定窗口imshow(A); %顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('離散傅立葉頻譜')； %圖像命名六運行結(jié)果對源代碼檢查無誤后，進行運行，結(jié)果如下：圖1為輸入的原圖像，圖2為經(jīng)過二維快速傅立葉變換后的圖像，圖3為經(jīng)過二維快速傅立葉逆變換后的圖像，圖4為離散傅立葉頻譜，通過這四幅圖