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1、 函數(shù)的微分和泛函的變分 d y ( x )所引起泛函的增量，定 泛函的變分：對于 y ( x ) 的變分 義為 DP = P é ë y ( x ) + d y ( x )ù û-Pé ë y ( x )ù û 可以展開為線性的泛函和非線性的泛函項 DP = L é ë y ( x ) + d y ( x )ù û+Fé ë y ( x ) , d y ( x )ù û gmax d y ( x ) d y ( x) ® 0

2、 其中 F é ë y ( x ) , d y ( x )ù û 是 d y ( x ) 的同階或高階小量，即當(dāng) max d y ( x ) ® 0 ，而且 F é 時， ë y ( x ) , d y ( x )ù û 也接近于零，于是上式 中泛函的增量對于 d y ( x ) 來說是線性的那一部分，即 Lé ë y ( x ) + d y ( x )ù û ，它叫做泛函的變分，用dP 表示。 經(jīng)典變分問題 最速落徑問題 在垂直平面內(nèi)，兩點p1、p2間確定一滑槽，使一物體在 自重作用下，以最短時間由p1下降到p2。 最短線程問題 給定曲面g(x,y,z上確定一條曲線，使其在曲面上的兩 點之間的長度最短。 等周問題 在所有的封閉平面曲線中，若這些曲線有固定長度L， 確定一條曲線，使其所圍成的面積A最大。 變分原理在力學(xué)中的應(yīng)用 變分原理在物理學(xué)中尤其是在力學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如著名 的虛功原理、最小位能原理、余能原理和哈密頓原理等。 在當(dāng)代變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)，而廣義變分 原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中 ，通常很少能求出精確的解析解，因此大

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