二次函數(shù)綜合問題例談

1、二次函數(shù)綜合問題例談 北京中國人民大學(xué)附中 梁麗平 陜西省咸陽市永壽中學(xué) 安振平二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解

2、析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題. 1. 代數(shù)推理由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時(shí)，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì). 1.1 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù). 例1已知，滿足1且，求的取值范圍.分析：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)

3、該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以把1和當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件，先用和來表示. 解：由，可解得： （*）將以上二式代入，并整理得, .又，, .例2 設(shè)，若，, 試證明：對(duì)于任意，有.分析：同上題，可以用來表示.解： , , . 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，問題獲證. 1.2 利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式例設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知., , 當(dāng)時(shí)，.又, ,綜上可知，所給問題獲證. 1.3 緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱

4、軸、最值、判別式顯合力例4 已知函數(shù)。（1）將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：(1)(2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以 ，于是 即 （3）.設(shè)，則.問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立. 即 對(duì)恒成立. （*）故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證（*）成立.），此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問題等價(jià)于，即，解之得：.此時(shí)，故在取得最小值滿足條件.2. 數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、

5、單調(diào)性、凹凸性等. 結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易.，形象直觀.2.1 二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱， 特別關(guān)系也反映了二次函數(shù)的一種對(duì)稱性. 例5 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.解：由題意 .由方程的兩個(gè)根滿足, 可得且, ，即 ，故 .2.2 二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 所以存在實(shí)數(shù)使得且在區(qū)間上，必存在的唯一的實(shí)數(shù)根. 例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征

6、去等價(jià)轉(zhuǎn)化. 解：設(shè)，則的二根為和.（1）由及，可得 ，即，即 兩式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同號(hào). ，等價(jià)于或,即 或解之得 或.2.3 因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得. 例7 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的. 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，