實(shí)驗(yàn)四 三次樣條插值

1、實(shí)驗(yàn)四 三次樣條插值的應(yīng)用一、問題描述The upper portion of this noble beast is to be approximated using clamped cubic spline interpolants. The curve is drawn on a grid from which the table is constructed. Use Algorithm 3.5 to construct the three clamped cubic splines. 二、模型建立三次樣條插值給定一個(gè)列表顯示的函數(shù)yi=y(xi),i=0,1,2,.,N-1。特別注意

2、在xj和xj+1之間的一個(gè)特殊的區(qū)間。該區(qū)間的線性插值公式為：(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情況。因?yàn)樗?分段)線性的，(3.3.1)式在每一區(qū)間內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)為零，在橫坐標(biāo)為xj處的二階導(dǎo)數(shù)不定義或無限。三次樣條插值的目的就是要得到一個(gè)內(nèi)插公式，不論在區(qū)間內(nèi)亦或其邊界上，其一階導(dǎo)數(shù)平滑，二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。做一個(gè)與事實(shí)相反的個(gè)假設(shè)，除yi的列表值之外，我們還有函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)y的列表值，即一系列的yi值，則在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，可以在(3.3.1)式的右邊加上一個(gè)三次多項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù)從左邊的yj值線性變化到右邊的yj+1值，這么做便得到了所需的連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。如果還將

3、三次多項(xiàng)式構(gòu)造在xj和xj+1處為零，則不會(huì)破壞在終點(diǎn)xj和xj+1處與列表函數(shù)值yj和yj+1的一致性。進(jìn)行一些輔助計(jì)算便可知，僅有一種辦法才能進(jìn)行這種構(gòu)造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式對(duì)自變量x的依賴，是完全通過A和B對(duì)x的線性依賴，以及C和D(通過A和B)對(duì)x的三次依賴而實(shí)現(xiàn)。可以很容易地驗(yàn)證，y事實(shí)上是該插值多項(xiàng)式的二階導(dǎo)數(shù)。使用ABCD的定義對(duì)x求(3.3.3)式的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,結(jié)果為一階導(dǎo)數(shù)因?yàn)閤=xj是A=1，x=x(i+1)時(shí)A=0，而B正相反，則(3.3.6)式表明y恰為列表函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。而且該二階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)區(qū)間(

4、xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是連續(xù)的?，F(xiàn)在唯一的問題是，假設(shè)yj是已知的。而實(shí)際上并不知道。然而，仍不要求從(3.3.5)式算出的一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)區(qū)間的邊界處是連續(xù)的。三次樣條的關(guān)鍵思想就在于要求這種連續(xù)性，并用它求得等式的二階導(dǎo)數(shù)yi。設(shè)(3.3.5)式在區(qū)間(xj-1, xj)上對(duì)x=xj求得的值，等于同一等式在區(qū)間(xj,xj+1)上對(duì)x=xj求得的值，便可得到所求方程，是新整理得到(對(duì)j=1,.,N-2)這意味著有N-2個(gè)線性方程，但卻有N個(gè)未知數(shù)yi,i=0,.,N-1。因此，存在一個(gè)具有兩個(gè)參數(shù)的可能解集。為求得唯一解，需要給出兩個(gè)進(jìn)一步的條件，一般取x0和xn-1處的

5、邊界條件。最常見的做法有：1設(shè)y0和yn-1之一或兩個(gè)都為零，得到所謂的自然三次樣條函數(shù)，其一個(gè)或兩個(gè)邊界的二次導(dǎo)數(shù)為零。2設(shè)yn和yn-1為(3.3.5)式計(jì)算得到的值，使得該插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)一個(gè)或兩個(gè)邊界處有特定的值。三次樣條插值特別實(shí)用的原因之一在于，有兩個(gè)附加邊界條件的方程組(3.3.7)，它不僅是線性的，而且是三對(duì)角的。每個(gè)yj僅與其最鄰近的j+-1的值有關(guān)。因此，方程可以用三對(duì)角算法在O(N)次運(yùn)算內(nèi)求解。該算法非常簡(jiǎn)明，很容易正確地構(gòu)造出樣條計(jì)算的程序。但是這使得程序不像(3.3.7)式的實(shí)現(xiàn)那樣完全透明。三、模型求解借助Matlab軟件進(jìn)行編程求解，Matlab代碼如下X = 1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 17, 20, 23, 24, 25, 27, 27.7, 28, 29, 30;Y = 3.0, 3.7, 3.9, 4.2, 5.7, 6.6, 7.1, 6.7, 4.5, 7.0, 6.1, 5.6, 5.8, 5.2, 4.1, 4.3, 4.1, 3.0cs = csapi(X,Y); %三次樣條函數(shù)fnplt(cs);hold onplot(X,Y,o)legend(cubic spline,data)hold off最終生成的插值函數(shù)圖像為四、實(shí)驗(yàn)感悟三次樣條插值優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單