二次函數(shù)講義

1、章節(jié)第三章課題第14課時(shí)二次函數(shù)(一)教學(xué)重點(diǎn)二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；二次函數(shù)解析式的確定。教學(xué)難點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線的平移規(guī)律；教學(xué)過程一：【課前預(yù)習(xí)】（一）、【知識梳理】1二次函數(shù)的定義：形如（ ）的函數(shù)為二次函數(shù)2二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：（1）二次函數(shù)的圖象是一條 他的圖像與性質(zhì)如下表格： a值函 數(shù) 的 圖 象 與 性 質(zhì)a>0、開口_ ，并且_；、對稱軸是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)（_,_）；、當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)取得最小值_；、函數(shù)增減性：_a<0、開口_ ，并且_；、對稱軸是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)（_,_）；、當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)取得最大值_；、函數(shù)增減性：_ _3二次函數(shù)表達(dá)式的求

2、法：（1）若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得；（2）若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可采用頂點(diǎn)式： 其中頂點(diǎn)為(h，k)對稱軸為直線x=h；（3）若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用兩根式：,其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）（二）、【課前練習(xí)】1下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（ ）A B C； D 2. 函數(shù)的圖象是(3，2）為頂點(diǎn)的拋物線，則這個(gè)函數(shù)的解析式是（ ） A B C D3. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸分別是（ ） A頂點(diǎn)（1，4）， 對稱軸 x=1 B頂點(diǎn)（1，4），對稱軸x=1 C頂點(diǎn)（1，4）， 對稱軸 x=4 D頂點(diǎn)（1，4），對稱軸x

3、=44.把二次函數(shù)化成的形式為，圖象的開口向 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ；當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x= 時(shí), 函數(shù)有 值，其 值是 ；若將該函數(shù)經(jīng)過 的平移可以得到函數(shù)的圖象。5直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 。二：【經(jīng)典考題剖析】1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ 2. 已知拋物線過三點(diǎn)（1，1）、（0，2）、（1，l）。 （1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）這個(gè)函數(shù)有最大值還是最小值？ 這個(gè)值是多少？3. 當(dāng) x=4時(shí)，函數(shù)的最小值為8，拋物線過點(diǎn)（6，0）。求：（1）函數(shù)的表達(dá)式；（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)和對

4、稱軸；（3）x取什么值時(shí)，y隨x的增大而增大；x取什么值時(shí)，y隨x增大而減小。4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，試判斷的符號。5. 已知拋物線 (n為常數(shù))。(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個(gè)動點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作ABx軸于B，DCx軸于C.當(dāng)BC=1時(shí)，求矩形ABCD的周長；試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。三：【課后訓(xùn)練】1把拋物線y=（x2）21經(jīng)平移得到（ ） A向右平移2

5、個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；B向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位 C向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；D向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位2某公司的生產(chǎn)利潤原來是a元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達(dá)到了y萬元，如果每年增長的百分?jǐn)?shù)都是x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ） Ay=x2+a； By= a（x1）2； Cy=a（1x）2； Dya（l+x）23設(shè)直線 y=2x3，拋物線 y=x22x，點(diǎn)P（1，1），那么點(diǎn)P（1，1）（ ） A在直線上，但不在拋物線上； B在拋物線上，但不在直線上 C既在直線上，又在拋物線上； D既不在直線上，又不在拋物線上4二次函數(shù) y=2（x3）2+5的圖象的開口方向、對稱軸

6、和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（ ） A開口向下，對稱軸x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5） B開口向下，對稱軸x3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5） C開口向上，對稱軸x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5) D開口向上，對稱軸x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5）5已知是二次函數(shù)；當(dāng)a_時(shí)，它的圖象是開口向上的拋物線，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 。 6拋物線如圖所示，則它關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式是 7求下列函數(shù)的解析式（1）已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且經(jīng)過點(diǎn)（l，1），（4，0）兩點(diǎn)6題（2）已知拋物線與 x軸交于點(diǎn)（1，0）和(2，0)且過點(diǎn) (3，4)，8已知函數(shù)（1）用配方法將解析式化成頂點(diǎn)式。（2）寫出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐

7、標(biāo)；（3）x取什么值時(shí)，y隨x的增大而增大；x取什么值時(shí)，y隨x增大而減?。?）求出函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。9閱讀材料：當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時(shí)，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)也將發(fā)生變化 例如：由拋物線，有y=，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m1），即當(dāng)m的值變化時(shí)，x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化，將代人，得y=2x1可見，不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x都滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x1，回答問題：（1）在上述過程中，由到所用的數(shù)學(xué)方法是_，其中運(yùn)用了_公式，由得到所用的數(shù)學(xué)方法是_；（2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫

8、坐標(biāo)x之間的關(guān)系式 .四：【課后小結(jié)】布置作業(yè)見探究在線教后記課時(shí)15.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)習(xí)題課【課前熱身】1（10 濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A3B2C1D0yOx132（10金華）若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，另一個(gè)解 。3. （10 天津）已知二次函數(shù) ()的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 。4已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函數(shù)的關(guān)系式是 。如果y隨x的增大而減少，那么自變量x的變化范圍是_。若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值_【考點(diǎn)鏈接】1 二次函數(shù)的解析

9、式：（1）一般式： ；（2）頂點(diǎn)式： ； （3）交點(diǎn)式： 。2頂點(diǎn)式的幾種特殊形式. ， ， ，（4） . 3拋物線與軸的交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上） 沒有交點(diǎn) 拋物線與軸兩交點(diǎn)：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，x的范圍_時(shí)，x的范圍_ 時(shí)，x的范圍_時(shí)，x的范圍_【典例精析】例1已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A(0,5)求m的值，并寫出二次函數(shù)的關(guān)系式求二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸以及與x軸的交 點(diǎn)坐標(biāo)畫出圖像示意圖，根據(jù)圖像說明，x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，？例2如圖所示，求二次函數(shù)的關(guān)系式。例3已知一元二次方程的一根為 2 （1）求q關(guān)于p的關(guān)系式； （2）求證：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)； （

10、3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 M，且與 x 軸相交于A（，0）、B（，0）兩點(diǎn)，求使AMB 面積最小時(shí)的拋物線的解析式 【當(dāng)堂反饋】1（10蚌埠）已知函數(shù)，并且是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系可能是 A B C D2（10 三明）拋物線的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）A B C D3已知拋物線對稱軸是直線x2，且經(jīng)過(3，1)和(0，5)兩點(diǎn)，求二次函數(shù)的關(guān)系式?！菊n后精練】1已知拋物線的頂點(diǎn)是(2，4)，它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求函數(shù)的關(guān)系式。2（10紅河）做出二次函數(shù)的圖像，并將此圖像向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位。（1）畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖像，并寫出函數(shù)的解析式；

11、（2）求經(jīng)過兩次平移后的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，指出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值大于0？3（10益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（6，0），C（0，3）。(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作CD平行于軸交拋物線于點(diǎn)D，寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并求AD、BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若拋物線的頂點(diǎn)為，連結(jié)C、D，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由.4中考復(fù)習(xí)指南P56 18教學(xué)目標(biāo)（知識、能力、教育）1.理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；2.會結(jié)合方程根的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式，判定拋物線與軸的交點(diǎn)情況；3.會利用韋達(dá)定理解決有關(guān)二次

12、函數(shù)的問題。4.會利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)幾何問題。教學(xué)重點(diǎn)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用教學(xué)過程一：【課前預(yù)習(xí)】（一）、【知識梳理】1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況。（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根。（3）當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程y=

13、ax2+bx+c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yax2+ bx+c的圖象與 x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程y=ax2+bx+c沒有實(shí)數(shù)根。2.二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（?。┲?；（2）二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最大（?。┲?。3.解決實(shí)際問題時(shí)的基本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利

14、用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；（5）檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等。（二）、【課前練習(xí)】1. 直線y=3x3與拋物線y=x2 x+1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D不能確定2. 函數(shù)的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程的根情況是（ ） A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； B有兩個(gè)異號實(shí)數(shù)根 C有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根； D無實(shí)數(shù)根3. 不論m為何實(shí)數(shù)，拋物線y=x2mxm2（ ） A在x軸上方； B與x軸只有一個(gè)交點(diǎn) C與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)； D在x軸下方4. 已知二次函數(shù)y =x2x6（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2x6=0的解；（4）求二

15、次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積。二：【經(jīng)典考題剖析】1. 已知二次函數(shù)y=x26x+8，求： （1）拋物線與x軸J軸相交的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （3）畫出此拋物線圖象，利用圖象回答下列問題： 方程x2 6x8=0的解是什么？ x取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0？ x取什么值時(shí)，函數(shù)值小于0？ 2. 已知拋物線yx22x8， （1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積3.如圖所示，直線y=-2x+2與軸、軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角ABC，BAC=90o，過C作CD軸

16、，垂足為D（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和AD的長（2）求過B 、A、D三點(diǎn)的拋物線的解析式4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，回答下列問題：（1）設(shè)運(yùn)動后開始第t（單位：s）時(shí)，五邊形APQCD的面積為S（單位：cm2），寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍（2）t為何值時(shí)S最?。壳蟪鯯的最小值5. 如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、P、O（原點(diǎn)）。（1）求過A、P、O的拋物線解析式；（2）在（1）中所得到的拋物線

17、上，是否存在一點(diǎn)Q，使QAO450，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。三：【課后訓(xùn)練】1.已知拋物線與軸兩交點(diǎn)在軸同側(cè)，它們的距離的平方等于，則的值為（ ） A.2 B.12 C.24 D.2或242.已知二次函數(shù)（0）與一次函數(shù)（0）的圖像交于點(diǎn)A（2，4），B（8，2），如圖所示，則能使成立的的取值范圍是（ ） A. B. C. D.或 3.如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，則下列關(guān)系：；其中正確的有（ ） A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)4.設(shè)函數(shù)的圖像如圖所示，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，線段OA與OB的比為13，則的值為

18、（ ） A.或2 B. C.1 D.25.已知二次函數(shù)的最大值是2，它的圖像交軸于A、B兩點(diǎn)，交 軸于C點(diǎn)，則 。6.如圖，某大學(xué)的校門是一拋物線形狀的水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各有一個(gè)掛校名的橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高度為 。（精確到0.1米）7.已知二次函數(shù)（0）的圖像過點(diǎn)E（2，3），對稱軸為，它的圖像與軸交于兩點(diǎn)A（，0），B（，0），且，。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)P，使POA的面積等于EOB的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。8.已知拋物線與軸交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且，若點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D。（1）求過點(diǎn)C、B、D的拋物線解析式；（2）若P是（1）中所求拋物線的頂點(diǎn)，H是這條拋物線上異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)，且HBD與CBD的面積相等，