華中師范大學(xué)隨機(jī)過程試題A卷附答案

1、華中師范大學(xué) 2012 2013 學(xué)年第 1學(xué)期期末考試試卷（A卷答案）課程名稱 應(yīng)用隨機(jī)過程 課程編號(hào) 83610101 任課教師 李波 題型一二三四五總分分值1026302410100得分得分評(píng)閱人一、判斷題：（共5題，每題2分） 1 隨機(jī)過程固定時(shí)可以看成是一個(gè)的函數(shù)，稱為過程的一個(gè)軌道。（ T ）2 泊松過程是連續(xù)時(shí)間馬氏鏈，是純生過程的一個(gè)特例。 （ T ）3 有限狀態(tài)的馬氏鏈狀態(tài)的一個(gè)狀態(tài)如果正常返就是遍歷。 （ F ）4 零均值獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和是鞅。 （ T ）5 設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 （ F ）得分評(píng)閱人二、證明題：（共3題，6 、7題8分 8題10分

2、，）6 14設(shè)和是分別具有參數(shù)和的相互獨(dú)立的泊松過程，證明（1）是具有參數(shù)+的泊松過程；（2）證明不是泊松過程。證明(1) 顯然是獨(dú)立增量過程，且=院（系）： 專業(yè)： 年級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： - 密 - 封 - 線 - = = =故服從參數(shù)的泊松過程。 5分（2） 由于，故不是泊松過程。 8分7 .設(shè) ，這里為上的均勻分布。證明是寬平穩(wěn)過程。 3分 只與有關(guān)。所以是寬平穩(wěn)過程。 8分8設(shè)為一串獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量， 記，試證為馬氏鏈，寫出的狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移矩陣。證明：獨(dú)立增量所以馬氏 狀態(tài)空間 5分轉(zhuǎn)移矩陣 8分 第 1 頁(yè)(共 3 頁(yè))得分評(píng)閱人三、計(jì)算題：（共3題，每題10分）9某網(wǎng)

3、站以顧客的接入時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)，每單位時(shí)間一元錢。假設(shè)顧客以強(qiáng)度l 的Poisson過程進(jìn)入該網(wǎng)站，進(jìn)入即開始計(jì)算使用時(shí)長(zhǎng)，試計(jì)算該網(wǎng)站收益的期望。解：由題意設(shè)顧客的到達(dá)時(shí)間為，則使用時(shí)長(zhǎng)為 總收費(fèi)為 由定理在 N(t)=n條件下n個(gè)的聯(lián)合分布等價(jià)與0,t上n個(gè)相互獨(dú)立服從均勻分布的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。所以可計(jì)算11 設(shè)河流每年的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次Markov鏈，狀態(tài)空間I=1，2，3，是按BOD濃度為低，中，高分別表示的，BOD濃度高時(shí)河流視為被污染，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣（以一年為單位）為P= 1）求該Markov鏈的平穩(wěn)分布2) 求河流再次達(dá)到污染的平均時(shí)間（即狀態(tài) 3 的平均返回時(shí)間）

4、。解： 1） 易知此Markov鏈?zhǔn)奖闅v的，則平穩(wěn)分布存在，由定理可得方程組 解上述方程組得平穩(wěn)分布為 - 密 - 封 - 線 -=0.5882 =0.23594 =0.17647 8分2） 狀態(tài)3的平均返回時(shí)間 =5.667年 10分11.分支過程中一個(gè)體產(chǎn)生后代的分布為初始為一個(gè)母體，試求第代個(gè)數(shù)的均值方差及全體消亡概率。解：= 5分, 解得消亡概率為 10分得分評(píng)閱人四、綜合題：（共2題，每題12分）12 機(jī)器維修問題。用狀態(tài)0表示機(jī)器正常工作，用狀態(tài)1表示機(jī)器出現(xiàn)故障。正常工作時(shí)間(壽命)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，維修時(shí)間同樣服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求Q矩陣，分別求向前向后方程，求初始正常5

5、時(shí)正常的概率，求該過程的平穩(wěn)分布。解：由題意有 第 2 頁(yè)(共 3 頁(yè))平穩(wěn)分布 則在t時(shí)刻13用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述布朗運(yùn)動(dòng)的主要性質(zhì)，并對(duì)一維布朗運(yùn)動(dòng)計(jì)算，解：布朗運(yùn)動(dòng)有很多好性質(zhì)比如布朗運(yùn)動(dòng)是時(shí)齊的獨(dú)立增量過程，也是時(shí)齊的馬氏過程。布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)增量，且的分布就是n維的正態(tài)分布 N (0, (t-s) I ).布朗運(yùn)動(dòng)是鞅 （需寫出鞅性的表達(dá)式）布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)字特征有 等。布朗運(yùn)動(dòng)平移變換尺度變換后仍然是布朗運(yùn)動(dòng)等布朗運(yùn)動(dòng)的幾乎每條樣本軌道是連續(xù)的但對(duì)幾乎每條樣本軌道上的任意一點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)幾乎處處不存在。等等 = - 密 - 封 - 線 -得分評(píng)閱人五、論述題：（共1題，一題10分，）14論述隨機(jī)過程遍歷性。可從依時(shí)間平均和依統(tǒng)計(jì)平均的概念、關(guān)系以及相等的條件入手。在此基礎(chǔ)上討論一兩個(gè)例題。如， 和（是方差大于零的隨機(jī)變量）的均值遍歷性1） 思路如下：1.隨機(jī)過程概念，一族隨機(jī)