二次型及應用問題1矩陣的等價相似合同辨析答兩個矩陣等

1、二次型及應用問題1:矩陣的等價、相似、合同辨析答：(1)兩個矩陣等價：A和B等價，即表示為A二B ； A和B是同型矩陣；滿 足，PAQ二B, P、Q可逆，即將A通過行初等變化和列初等變換后得到 B的矩 陣，其中 r(A) =r(B)。(2) 兩個矩陣相似：A和B相似，即表示為加斕；A和B是n階方陣；滿足，PAP=B ,P可逆， 即也A二B，其中，r(A)=r(B)、 A二 B(3) 兩個矩陣合同：A和B合同，即表示為A : B ； A和 B是n階方陣； 滿足，PTAP二B ,P可逆，即也A二B，其中，r(A) = r(B)問題2:通過正交變換或可逆變換得到的標準形一樣嗎？答：不同點：i) 正交

2、變換得到的實二次型的標準形：對角線元素是實對稱陣的特征值；且標準 形在不計特征值順序時是唯一的。ii) 可逆線性變換得到的實二次型的標準形：對角元素不一定是實對稱陣的特征 值，且其形式也不唯一。相同點：i) 平方項中非零項的個數(shù)相同ii) 平方項中正(負)項的個數(shù)相同問題3：判斷下面三個矩陣那些相似？哪些合同？-2 1-10 1 _-_1 0 01A =1、B =-2_1、C =-1 2-3 一1 '3 一1.2 2 一i. A是對角陣，A是上三角陣，且有3個互異特征值與A相同，所以B可以相似 對角陣為A。即A與B相似。ii. 因為A是對角陣，所以與A合同的矩陣必然是對稱陣，而B不是對

3、稱陣，A與B不合同。iii. 又因為E-C =0得人=-2,婦=1,扎3 =3，C是又實對稱矩陣,所以存在正交矩陣Q，使得q'cQ=QTCQ = A, C與A既相似又合同，在由傳遞性可知，C與B也相似。但C與B不合同，因為C是對稱陣，與對稱陣合同的矩陣必然是對稱陣，而 B不是對稱陣,所以C與B不是合同矩陣。問題4:設(shè)A是n階實對稱矩陣， AB BtA是正定矩陣，證明A可逆。證明：任意x=0，由于AB BTA正定，總有xtAB BtAx 二Axt Bx BxTAx 0因此，對任意x=0，恒有Ax=0，即齊次方程組 Ax=0只有零解，所以，A 可逆。問題5:用正交變換化二次型為標準形的步驟

4、及其正交變換矩陣，并舉例說明。 答：步驟：1、將二次型的矩陣表示；2、求出二次型矩陣A的特征值及其對應的特征向量。分別討論特征值對應的特征向量，將重根對應的特征向量正交化單位化， 將單根特征值對應的特征向量單位化，3 、由標準型中特征值的位置決定的，由2步中算出的單位正交向 量的列構(gòu)成矩陣P。4、寫出二次型在正交變換下化成的標準形。例：設(shè)二次型為 f 捲,x2, x3 = 4x； -3x3 4x2 - 4x3 8x2x3。解：1 二次型矩陣為：_0 2 -21A= 24424-3_2求出A所對應的特征值1 =1,鼻=6, =6,1 =1= r珂-2,0,1丁單位化得5二 =6二.二1,5,2T單位化得P2 =,3030 '3構(gòu)建以Pl, P2, P3為列向量的矩陣1.305.302 30. 6那么，ptap'I=A =6_6得正交變換X =