統(tǒng)計學(xué)假設(shè)檢驗概念和方法

1、假設(shè)檢驗在統(tǒng)計方法中的地位統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計參數(shù)估計參數(shù)估計假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解假設(shè)檢驗的基本思想了解假設(shè)檢驗的基本思想 2. 掌握假設(shè)檢驗的步驟掌握假設(shè)檢驗的步驟3. 對實際問題作假設(shè)檢驗對實際問題作假設(shè)檢驗4. 利用置信區(qū)間進行假設(shè)檢驗利用置信區(qū)間進行假設(shè)檢驗5. 利用利用P - 值進行假設(shè)檢驗值進行假設(shè)檢驗6.1 假設(shè)檢驗的基本問題1假設(shè)問題的提出假設(shè)問題的提出2假設(shè)的表達式假設(shè)的表達式3兩類錯誤兩類錯誤4假設(shè)檢驗中的值假設(shè)檢驗中的值5假設(shè)檢驗的另一種方法假設(shè)檢驗的另一種方法6單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗讓我們先看一個例子讓我們先看一個例子.基本概念基本概

2、念 生產(chǎn)流水線上罐裝可生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱樂不斷地封裝，然后裝箱外運外運. 怎么知道怎么知道這批罐裝這批罐裝可樂的容量是否合格可樂的容量是否合格呢？呢？罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為355毫升毫升.基本概念基本概念 每隔一定時間，抽查若干罐每隔一定時間，抽查若干罐 . 如每隔如每隔1小時，小時，抽查抽查5罐，得罐，得5個容量的值個容量的值X1，X5，根，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.通常的辦法是進行抽樣檢查通常的辦法是進行抽樣檢查.基本概念基本概念根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個命題根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個命題是否正確是否

3、正確.這類問題稱作這類問題稱作假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗問題問題 .基本概念基本概念什么是假設(shè)?(hypothesis) 對總體參數(shù)的的數(shù)值所作的一種陳述 總體參數(shù)包括總體均值總體均值、比例比例、方差方差等 分析之前之前必需陳述什么是假設(shè)檢驗? (hypothesis testing)1. 事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否成立2. 有參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗3. 采用邏輯上的反證法，依據(jù)統(tǒng)計上的小概率原理假設(shè)檢驗的基本思想m m = 50假設(shè)檢驗的過程我認(rèn)為人口的平我認(rèn)為人口的平均年齡是均年齡是5050歲歲 拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)! 別無選擇別無選擇.提出原假設(shè)和備擇

4、假設(shè) 什么是原假設(shè)？什么是原假設(shè)？(null hypothesis)1. 待檢驗的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”2. 研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)3. 總是有等號 , 或 4. 表示為 H0H0：m 某一數(shù)值 指定為 = 號，即 或 例如, H0：m 3190（克）為什么叫為什么叫 0 假設(shè)？假設(shè)？之所以用零來修飾原假設(shè)，其原因是原假設(shè)的內(nèi)容總是沒有差異或沒有改變，或變量間沒有關(guān)系等等零假設(shè)總是一個與總體參數(shù)有關(guān)的問題，所以總是用希臘字母表示。關(guān)于樣本統(tǒng)計量如樣本均值或樣本均值之差的零假設(shè)是沒有意義的，因為樣本統(tǒng)計量是已知的，當(dāng)然能說出它們等于幾或是否相等 什么是備擇假設(shè)？什么是備擇假設(shè)？(alter

5、native hypothesis)1. 與原假設(shè)對立的假設(shè)，也稱“研究假設(shè)”2. 研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)總是有不等號: , 或 3. 表示為 H1H1：m 某一數(shù)值，或m 某一數(shù)值例如, H1：m 3910(克)，或m 3910(克) 什么檢驗統(tǒng)計量？什么檢驗統(tǒng)計量？1. 用于假設(shè)檢驗決策的統(tǒng)計量2. 選擇統(tǒng)計量的方法與參數(shù)估計相同，需考慮是大樣本還是小樣本總體方差已知還是未知3. 檢驗統(tǒng)計量的基本形式為規(guī)定顯著性水平(significant level) 什么顯著性水平？什么顯著性水平？1. 是一個概率值2. 原假設(shè)為真時，拒絕原假設(shè)的概率 被稱為抽樣分布的拒絕域3. 表示為 (a

6、lpha) 常用的 值有0.01, 0.05, 0.104. 由研究者事先確定作出統(tǒng)計決策1. 計算檢驗的統(tǒng)計量2. 根據(jù)給定的顯著性水平，查表得出相應(yīng)的臨界值z或z/2， t或t/23. 將檢驗統(tǒng)計量的值與 水平的臨界值進行比較4. 得出拒絕或不拒絕原假設(shè)的結(jié)論假設(shè)檢驗中的小概率原理 什么小概率？什么小概率？1. 在一次試驗中，一個幾乎不可能發(fā)生的事件發(fā)生的概率2. 在一次試驗中小概率事件一旦發(fā)生，我們就有理由拒絕原假設(shè)3. 小概率由研究者事先確定什么是小概率什么是小概率？概率是從0到1之間的一個數(shù)，因此小概率就應(yīng)該是接近0的一個數(shù)著名的英國統(tǒng)計家Ronald Fisher 把20分之1作為

7、標(biāo)準(zhǔn)，這也就是0.05，從此0.05或比0.05小的概率都被認(rèn)為是小概率Fisher沒有任何深奧的理由解釋他為什么選擇0.05，只是說他忽然想起來的假設(shè)檢驗中的兩類錯誤1. 第一類錯誤（棄真錯誤）第一類錯誤（棄真錯誤） 原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè) 會產(chǎn)生一系列后果 第一類錯誤的概率為 被稱為顯著性水平2. 第二類錯誤（取偽錯誤）第二類錯誤（取偽錯誤） 原假設(shè)為假時接受原假設(shè) 第二類錯誤的概率為 (Beta)陪審團審判陪審團審判裁決裁決實際情況實際情況無罪無罪有罪有罪無罪無罪正確正確錯誤錯誤有罪有罪錯誤錯誤正確正確H0 檢驗檢驗決策決策實際情況實際情況H0為真為真H0為假為假接受接受H0正確決策正確

8、決策(1 )第二類錯第二類錯誤誤( ()拒絕拒絕H0第一類錯第一類錯誤誤( ()正確決策正確決策(1-(1-) 錯誤和 錯誤的關(guān)系你不能同時減你不能同時減少兩類錯誤少兩類錯誤!影響 錯誤的因素1. 總體參數(shù)的真值 隨著假設(shè)的總體參數(shù)的減少而增大2. 顯著性水平 當(dāng) 減少時增大3. 總體標(biāo)準(zhǔn)差 當(dāng) 增大時增大4. 樣本容量 n 當(dāng) n 減少時增大什么是P 值?(P-value)1. 是一個概率值2. 如果原假設(shè)為真，P-值是抽樣分布中大于或小于樣本統(tǒng)計量的概率左側(cè)檢驗時，P-值為曲線上方小于等于小于等于檢驗統(tǒng)計量部分的面積右側(cè)檢驗時，P-值為曲線上方大于等于大于等于檢驗統(tǒng)計量部分的面積3. 被稱

9、為觀察到的(或?qū)崪y的)顯著性水平H0 能被拒絕的的最小值雙側(cè)檢驗的P 值左側(cè)檢驗的P 值右側(cè)檢驗的P 值利用 P 值進行檢驗(決策準(zhǔn)則)1. 單側(cè)檢驗若p-值 ,不拒絕 H0若p-值 , 拒絕 H02. 雙側(cè)檢驗若p-值 /2, 不拒絕 H0若p-值 /2, 拒絕 H0雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗 (假設(shè)的形式)假設(shè)假設(shè)研究的問題研究的問題雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗左側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗右側(cè)檢驗H0m m = m m0 0m m m m0 0m m m m0 0H1m m m m0 0m m m m0 0雙側(cè)檢驗(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)1. 屬于決策中的假設(shè)檢驗決策中的假設(shè)檢驗2. 不論是拒絕H0還是不拒絕H

10、0，都必需采取相應(yīng)的行動措施3. 例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗)大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立4. 建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為 H0: m m 10 H1: m m 10雙側(cè)檢驗(顯著性水平與拒絕域 ) /2 雙側(cè)檢驗(顯著性水平與拒絕域) /2 雙側(cè)檢驗 (顯著性水平與拒絕域) /2 雙側(cè)檢驗 (顯著性水平與拒絕域) /2 單側(cè)檢驗(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)1.將研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)作為備擇假設(shè)H1例如,一個研究者總是想證明自己的研究結(jié)論是正確的一個銷售商總是想正確供貨商的說法是不正確的備擇假設(shè)的方向與

11、想要證明其正確性的方向一致2.將研究者想收集證據(jù)證明其不正確的假設(shè)作為原假設(shè)H03.先確立備擇假設(shè)H1單側(cè)檢驗 (原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)q 一項研究表明，采用新技術(shù)生產(chǎn)后，將會使產(chǎn)品的使用壽命明顯延長到1500小時以上。檢驗這一結(jié)論是否成立研究者總是想證明自己的研究結(jié)論(壽命延長)是正確的備擇假設(shè)的方向為“”(壽命延長)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為 H0: m m 1500 H1: m m 1500單側(cè)檢驗 (原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)q 一項研究表明，改進生產(chǎn)工藝后，會使產(chǎn)品的廢品率降低到2%以下。檢驗這一結(jié)論是否成立研究者總是想證明自己的研究結(jié)論(廢品率降低)是正確的備擇假設(shè)的方向為“”(廢

12、品率降低)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為 H0: m m 2% H1: m m 2%單側(cè)檢驗 (原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)q 某燈泡制造商聲稱，該企業(yè)所生產(chǎn)的燈泡的平均使用壽命在1000小時以上。如果你準(zhǔn)備進一批貨，怎樣進行檢驗檢驗權(quán)在銷售商一方作為銷售商，你總是想收集證據(jù)證明生產(chǎn)商的說法(壽命在1000小時以上)是不是正確的 備擇假設(shè)的方向為“ 1020 = 0.05n = 16臨界值臨界值(s):2 未知大樣本均值的檢驗 (例題分析)【例【例】某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本

13、，測得平均使用壽命1245小時，標(biāo)準(zhǔn)差300小時。能否說該廠生產(chǎn)的電子元件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？ (0.05)2 未知大樣本均值的檢驗 (例題分析)H0: m m 1200H1: m m 1200 = 0.05n = 100臨界值臨界值(s):總體均值的檢驗 (2未知小樣本)1. 假定條件 總體為正態(tài)分布 2未知，且小樣本2. 使用t 統(tǒng)計量2 未知小樣本均值的檢驗 (例題分析)【例【例】某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊肥皂為樣本，測得平均厚度為5.3cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設(shè)。 2 未知小樣本均值的檢驗

14、(例題分析)H0: m m = 5H1: m m 5 = 0.05df = 10 - 1 = 9臨界值臨界值(s):2 未知小樣本均值的檢驗 (P 值的計算與應(yīng)用)第1步：進入Excel表格界面，選擇“插入”下拉菜單第2步：選擇“函數(shù)”點擊，并在函數(shù)分類中點擊“統(tǒng) 計” ，然后，在函數(shù)名的菜單中選擇字符 “TDIST”，確定第3步：在彈出的X欄中錄入計算出的t值3.16 在自由度(Deg-freedom)欄中錄入9 在Tails欄中錄入2，表明是雙側(cè)檢驗(單測 檢驗則在該欄內(nèi)錄入1) P值的結(jié)果為0.011550.025，拒絕H02 未知小樣本均值的檢驗 (例題分析)【例【例】一個汽車輪胎制造

15、商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標(biāo)準(zhǔn)差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數(shù)服從正態(tài)分布，我們能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出結(jié)論，該制造商的產(chǎn)品同他所說的標(biāo)準(zhǔn)相符？( = 0.05)均值的單尾 t 檢驗 (計算結(jié)果) H0: m m 40000H1: m m 40000 = 0.05df = 20 - 1 = 19臨界值臨界值(s):總體比例的檢驗(Z 檢驗)適用的數(shù)據(jù)類型離散數(shù)據(jù)離散數(shù)據(jù) 連續(xù)數(shù)據(jù)連續(xù)數(shù)據(jù)數(shù)值型數(shù)據(jù)數(shù)值型數(shù)據(jù)數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)品質(zhì)數(shù)據(jù)品質(zhì)數(shù)據(jù)一個總體比例檢驗1. 假定條件有兩

16、類結(jié)果總體服從二項分布可用正態(tài)分布來近似2. 比例檢驗的 Z 統(tǒng)計量一個總體比例的檢驗 (例題分析)【例【例】一項統(tǒng)計結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）的比重為14.7%，該市老年人口研究會為了檢驗該項統(tǒng)計是否可靠，隨機抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比重為14.7%的看法？( = 0.05)一個總體比例的檢驗 (例題分析)H0: = 14.7%H1: 14.7% = 0.05n = 400臨界值臨界值(s):方差的卡方 (2) 檢驗1. 檢驗一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布3. 檢驗統(tǒng)計量方差的卡方 (2) 檢驗(

17、例題分析)【例【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機器，按設(shè)計要求，該機器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過1cm3。如果達到設(shè)計要求，表明機器的穩(wěn)定性非常好。現(xiàn)從該機器裝完的產(chǎn)品中隨機抽取25瓶，分 別 進 行 測 定 ( 用 樣 本 減1000cm3)，得到如下結(jié)果。檢驗該機器的性能是否達到設(shè)計要求 ( =0.05)0.3-0.4 -0.71.4-0.6-0.3 -1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5 -0.2 -1.9-0.51-0.2 -0.61.1方差的卡方 (2) 檢驗(例題分析)H0: 2 = 1H1: 2 1 = 0.05df

18、 = 25 - 1 = 24臨界值臨界值(s):6.3 兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗1檢驗統(tǒng)計量的確定檢驗統(tǒng)計量的確定2兩個總體均值之差的檢驗兩個總體均值之差的檢驗3兩個總體比例之差的檢驗兩個總體比例之差的檢驗4兩個總體方差比的檢驗兩個總體方差比的檢驗5檢驗中的匹配樣本檢驗中的匹配樣本兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗兩個總體的檢驗兩個總體的檢驗Z 檢驗檢驗(大樣本大樣本)t 檢驗檢驗(小樣本小樣本)t 檢驗檢驗(小樣本小樣本)Z 檢驗檢驗F 檢驗檢驗均值均值比例比例方差方差獨立樣本總體均值之差的檢驗兩個獨立樣本之差的抽樣分布 m m1 1總體總體1 2 m m2總體總體2抽取簡單隨機樣抽取簡單隨機樣樣本容量樣

19、本容量 n1計算計算X1抽取簡單隨機樣抽取簡單隨機樣樣本容量樣本容量 n2計算計算X2計算每一對樣本計算每一對樣本的的X1-X2所有可能樣本所有可能樣本的的X1-X2m m1- 1- m m2 2兩個總體均值之差的檢驗 (12、 22 已知)1.假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和 n230)2.檢驗統(tǒng)計量為兩個總體均值之差的檢驗 (假設(shè)的形式)假設(shè)假設(shè)研究的問題研究的問題沒有差異沒有差異有差異有差異均值均值1 1 均值均值2 2均值均值1 1 均值均值2 2H0m m 1 m m2 = 0m m 1 m m2 0m m 1 m

20、 m2 0H1m m 1 m m2 0m m 1 m m2 0兩個總體均值之差的檢驗 (例題分析) 兩個總體均值之差的檢驗 (例題分析)H0: m m1 1- m m2 2 = 0H1: m m1 1- m m2 2 0 = 0.05n1 = 32，n2 = 40臨界值臨界值(s):兩個總體均值之差的檢驗 (12、 22 未知且不相等,小樣本)1.檢驗具有不等方差的兩個總體的均值2.假定條件 兩個樣本是獨立的隨機樣本 兩個總體都是正態(tài)分布 兩個總體方差未知且不相等12 223.檢驗統(tǒng)計量兩個總體均值之差的檢驗 (12、 22 未知但相等,小樣本)1.檢驗具有等方差的兩個總體的均值2.假定條件

21、兩個樣本是獨立的隨機樣本 兩個總體都是正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等12 223.檢驗統(tǒng)計量兩個總體均值之差的檢驗 (例題分析)兩個總體均值之差的檢驗 (例題分析用統(tǒng)計量進行檢驗)H0: m m1 1- m m2 2 0H1: m m1 1- m m2 2 0 = 0.05n1 = 15，n2 = 20臨界值臨界值(s):兩個總體均值之差的檢驗 (例題分析用R進行檢驗)第1步：選擇“工具”下拉菜單，并選擇“數(shù)據(jù)分析”選項第2步：選擇“t檢驗，雙樣本異方差假設(shè)檢驗，雙樣本異方差假設(shè)”第3步：當(dāng)出現(xiàn)對話框后 在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)區(qū)域 在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)區(qū)域 在“假設(shè)平均

22、差”的方框內(nèi)鍵入0 在“”框內(nèi)鍵入0.05 在“輸出選項”中選擇輸出區(qū)域 選擇確定 兩個總體均值之差的檢驗(匹配樣本的 t 檢驗)1. 檢驗兩個總體的均值 配對或匹配 重復(fù)測量 (前/后)2. 假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 如果不服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分布來近似 (n1 30 , n2 30 )匹配樣本的 t 檢驗 (假設(shè)的形式)假設(shè)假設(shè)研究的問題研究的問題沒有差異沒有差異有差異有差異總體總體1 1 總體總體2 2總體總體1 1 總體總體2 2H0m mD = 0m mD 0m mD 0H1m mD 0m mD 0匹配樣本的 t 檢驗 (數(shù)據(jù)形式) 觀察序號觀察序號樣本樣本1 1樣本樣本2

23、 2差值差值1x 11x 21D1 = x 11 - x 212x 12x 22D1 = x 12 - x 22M MM MM MM Mix 1ix 2iD1 = x 1i - x 2iM MM MM MM Mnx 1nx 2nD1 = x 1n- x 2n匹配樣本的 t 檢驗(檢驗統(tǒng)計量)【例【例】一個以減肥為主要目標(biāo)的健美俱樂部聲稱，參加其訓(xùn)練班至少可以使減肥者平均體重減重8.5kg以上。為了驗證該宣稱是否可信，調(diào)查人員隨機抽取了10名參加者，得到他們的體重記錄如下表：匹配樣本的 t 檢驗 (例題分析)訓(xùn)練前訓(xùn)練前94.5101110103.59788.596.5101104116.5訓(xùn)練后訓(xùn)練后8589.5101.5968680.58793.593102樣本差值計算表樣本差值計算表訓(xùn)練前訓(xùn)練前訓(xùn)練后訓(xùn)練后差值差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合計合計98.5配對樣本的 t 檢驗(例題分析)配對樣本的 t 檢驗 (例題分析)H0: m m1 m m2 8.5H1: m m1 m m2 8.5 = 0.05df = 10 - 1 = 9臨界值臨界值