中值定理證明

1、中值定理首先我們來(lái)看看幾大定理：1、 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f()=C(a<<b).Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的取開(kāi)區(qū)間。 介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上有最大值M，最小值m,若mCM,則必存在a,b, 使得f()=C。（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多）Ps：當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或

2、者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、 零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b)<0,那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f()=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開(kāi)區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、 羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(<a<b),使得f(x)=0;4、 拉格

3、朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(<a<b),使得f(b)-f(a)=f().(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、對(duì)任一x(a<x<b),g(x)0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得Ps：對(duì)于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開(kāi)開(kāi)區(qū)間內(nèi)取值。6、 積分中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開(kāi)區(qū)

4、間上也是滿足的，下面我們來(lái)證明下其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得證明：設(shè)，因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上連續(xù)且在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)（導(dǎo)函數(shù)即為）。則對(duì)由拉格朗日中值定理有：使得而所以使得。在每次使用積分中值定理的時(shí)候，如果想在開(kāi)區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理來(lái)證明下使其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬(wàn)不可直接運(yùn)用，因?yàn)檎n本給的定理是閉區(qū)間。定理運(yùn)用：1、設(shè)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且.證明：(1)使 (2)使證明：先看第一小問(wèn)題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來(lái)了，但有個(gè)問(wèn)題就是積分中值定理是針對(duì)閉區(qū)間的。有的人明知

5、這樣還硬是這樣做，最后只能是0分。具體證明方法在上面已經(jīng)說(shuō)到，如果要在開(kāi)區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來(lái)構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)符合。（1）、令則由題意可知內(nèi)可導(dǎo).則對(duì)由拉格朗日中值定理有：(2)、對(duì)于證明題而言，特別是真題第一問(wèn)證明出來(lái)的結(jié)論，往往在第二問(wèn)中都會(huì)有運(yùn)用，在做第二問(wèn)的時(shí)候我們不要忘記了第一問(wèn)證明出來(lái)的東西，我們要時(shí)刻注意下如何將第一問(wèn)的東西在第二問(wèn)中進(jìn)行運(yùn)用：第二問(wèn)是要證明存在點(diǎn)使得函數(shù)二階倒數(shù)為0，這個(gè)很容易想到羅爾定理來(lái)證明零點(diǎn)問(wèn)題，如果有三個(gè)函數(shù)值相等，運(yùn)用兩次羅爾定理那不就解決問(wèn)題啦，并且第一問(wèn)證明出來(lái)了一個(gè)等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么問(wèn)

6、題就解決了。第一問(wèn)中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點(diǎn)，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點(diǎn)滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，看到這個(gè)很多人會(huì)覺(jué)得熟悉的，和介值定理很像，下面就來(lái)證明：上連續(xù)，則在上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值，分別設(shè)為M,m;則從而，那么由介值定理就有：則有羅爾定理可知：，Ps：本題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識(shí)點(diǎn)蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理，最值定理，羅而定理，思路清楚就會(huì)很容易做出來(lái)。2、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1.證明: 本題第一問(wèn)較簡(jiǎn)單，用零點(diǎn)定理證明即可。（1）、首先構(gòu)造函數(shù)： 由零點(diǎn)定理

7、知：(2)、初看本問(wèn)貌似無(wú)從下手，但是我們始終要注意，對(duì)于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的設(shè)問(wèn)是一問(wèn)緊接一問(wèn)，第一問(wèn)中的結(jié)論或多或少總會(huì)在第二問(wèn)中起到作用。在想想高數(shù)定理中的就這么些定理，第一問(wèn)用到的零點(diǎn)定理，從第二問(wèn)的結(jié)論來(lái)看，也更本不涉及什么積分問(wèn)題，證明此問(wèn)題也只可能從三大中值定理出發(fā)，具體是哪個(gè)定理，得看自己的情況，做題有時(shí)候就是慢慢試，一種方法行不通，就換令一種方法，有想法才是最重要的，對(duì)于一道題，你沒(méi)想法，便無(wú)從下手。另外在說(shuō)一點(diǎn)，在歷年證明題中，柯西中值定理考的最少。本題結(jié)論都涉及一階倒數(shù)，乘積之后為常數(shù)，很可能是消去了變?yōu)?（你題目做多了，肯定就知道事實(shí)就是這樣）.并且第一問(wèn)中0與1之

8、間夾了個(gè)，如果我們?cè)?與，與1上對(duì)運(yùn)用拉格朗日中值定理似乎有些線索。寫一些簡(jiǎn)單步驟，具體詳細(xì)步驟就不多寫了：將第一問(wèn)中代入即可。Ps：本題是05年數(shù)一的一道真題，第一問(wèn)是基本問(wèn)題，送分的，第二問(wèn)有一定區(qū)分度，對(duì)定理熟練的會(huì)容易想到拉格朗日定理，不熟練的可能難以想到方法。做任何題，最重要的不是你一下子就能把題目搞出來(lái)，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改變思路，尋求新的解法，如果你沒(méi)想法，你就根本無(wú)從下手。3、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1/3.證明：對(duì)于這道題的結(jié)論比較有意思，比較對(duì)稱，另

9、外一個(gè)就是結(jié)論的條件，為何要把放在兩個(gè)范圍內(nèi)，不像上一題中直接來(lái)個(gè)，這個(gè)分界點(diǎn)1/2 的作用是干嗎的。很可能也是把1 /2當(dāng)做某一個(gè)點(diǎn)就像上一題中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，這是我們的一個(gè)想法。那具體的函數(shù)如何來(lái)構(gòu)造呢，這個(gè)得從結(jié)論出發(fā)，我們把等式變一下：，這個(gè)不就是關(guān)于的導(dǎo)數(shù)（而且題目中f(1)=1/3,貌似這樣有點(diǎn)想法了），本題會(huì)不會(huì)也像上一題那樣，運(yùn)用拉格朗日中值定理后相互消掉變?yōu)?呢，有了這些 想法我們就要開(kāi)始往下走了：先來(lái)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：剛好證明出來(lái)。Ps：本題是近幾年數(shù)二的一道真題，只有一問(wèn)，有比較大區(qū)分度的，得從條件結(jié)論互相出發(fā)，如何構(gòu)造出函數(shù)是關(guān)鍵。做出來(lái)之后我們反過(guò)來(lái)看這

10、個(gè)1/2的作用就知道了，如果只給，那就更難了 得自己找這個(gè)點(diǎn)，既然題中給了這個(gè)點(diǎn)，并且把兩個(gè)變量分開(kāi)在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，我們就對(duì)這兩個(gè)變量在對(duì)應(yīng)區(qū)間用相應(yīng)定理。說(shuō)明真題出的還是很有技巧的。一般設(shè)計(jì)難一點(diǎn)的中值定理證明，往往得用拉格朗日定理來(lái)證明，兩個(gè)變量，都涉及到導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，這是因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ項(xiàng)l件要少些，只需連續(xù)，可導(dǎo)即可，不像羅爾定理得有式子相等才可進(jìn)一步運(yùn)用。4.設(shè)f(x)在區(qū)間-a,a(a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0 (1)、寫出f(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式 (2)、證明在-a,a上至少存在一點(diǎn)使得第一問(wèn)課本上記住了寫出來(lái)就行，考的很基礎(chǔ)（1）、(2)、第二問(wèn)

11、先將第一問(wèn)的式子f(x)代入看看有什么結(jié)果出來(lái)，此處不能直接拿到積分號(hào)外面，因?yàn)樗皇桥cx無(wú)關(guān)的數(shù)。做到這兒，我們想辦法把他弄到積分號(hào)外面似乎就能出來(lái)，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說(shuō)道f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說(shuō)呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最小值，往往會(huì)接著和介值定理一起運(yùn)用。所以有：因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以存在最大值和最小值，設(shè)為M,m則對(duì)于區(qū)間-a,a，所以由介值定理有結(jié)論成立。Ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運(yùn)用。題目中說(shuō)的很明白的，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特別是對(duì)于導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的，我們總得注意下他有最大值，

12、最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運(yùn)用。5、設(shè)f(x)在上連續(xù)，且.證明：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同點(diǎn)本題看似很簡(jiǎn)潔，但做起來(lái)去不容易。結(jié)論是證明等式成立且為0，很容易讓我們想到羅爾定理，我們?nèi)绻苷业饺齻€(gè)點(diǎn)處函數(shù)值相等，那么是不是就能有些思路了呢。令：，似乎只需在找出一點(diǎn)F(c)=0即可。，如果一切如我們所想，證明也就完成了。似乎已經(jīng)找到這個(gè)點(diǎn)了。但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間，如果要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理來(lái)證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成立。構(gòu)造函數(shù)具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到所以有：接下來(lái)的證明就和第一題中第二小問(wèn)一樣了，具體就不去證明了，自己證，關(guān)鍵掌握方法，思路。Ps：

13、本題是02年左右的數(shù)一一道證明題，看看題目很簡(jiǎn)潔，但具體來(lái)做，如果對(duì)定理的運(yùn)用不熟練，還是不好弄出來(lái)。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對(duì)于閉區(qū)間而言，而我們要用到開(kāi)區(qū)間，只能自己構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成立，如果在實(shí)際做題的時(shí)候你不證明直接用，估計(jì)一半的分都沒(méi)了。本題關(guān)鍵的就是尋找這個(gè)點(diǎn)C，找出來(lái)了其他的都不是問(wèn)題，既然是關(guān)鍵點(diǎn)，那得分點(diǎn)也肯定最多了，你不證明這個(gè)點(diǎn)，直接套用課本中定理（如果用的話，得分類討論了），硬是說(shuō)C點(diǎn)就成立，那估計(jì)一半的分都沒(méi)了。對(duì)于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會(huì)下，多做些題，

14、多思考。下面來(lái)講講對(duì)于證明題中的，函數(shù)如何來(lái)構(gòu)造：基本上都是從結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用求導(dǎo)或是積分，或是求微分方程，解出來(lái)也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家交流下：首先我們來(lái)看看一些構(gòu)造函數(shù)基本方法：一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：一般都會(huì)構(gòu)造出1、如果只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有 可以構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造這個(gè)也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)先將其變形下：左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造：右邊可以看成是也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：從而要構(gòu)造的函數(shù)就是：2、如果還涉及到變量X，想想構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造3、另外還可以解微分方程來(lái)構(gòu)造函數(shù)：如二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)

15、之間關(guān)系構(gòu)造帶有如何構(gòu)造如下：對(duì)于此式子，你會(huì)不會(huì)有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)（只不過(guò)原函數(shù)是）之間關(guān)系，從而等式左邊可以構(gòu)造等式右邊可以構(gòu)造總的構(gòu)造出來(lái)函數(shù)為：另：如果這樣變形：構(gòu)造函數(shù)如下：，可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)造的。從而對(duì)于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。如果題目給了為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，如果題目給了，則可以考慮第二種構(gòu)造方法。先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系這個(gè)函數(shù)確實(shí)不好構(gòu)造，如果用微分方程來(lái)求會(huì)遇到復(fù)數(shù)根。實(shí)際做的時(shí)候還得看題目是否給了的一些條件，如果在某個(gè)

16、開(kāi)區(qū)間內(nèi)不為0，而構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)取值相等，便可用羅而定理來(lái)證明。具體來(lái)看看題目：1、 設(shè)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1證明：（1）、存在（2）、存在（1）、對(duì)一問(wèn)直接構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理：具體詳細(xì)步驟就不寫了。（2）、該問(wèn)主要問(wèn)題是如何構(gòu)造函數(shù)：如果熟練的話用上面所講方法來(lái)構(gòu)造：先變形另：用微分方程求解法來(lái)求出要構(gòu)造的函數(shù)把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)函數(shù)構(gòu)造出來(lái)了，具體步驟自己去做。2、設(shè)在a,b上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,證明：（1）存在 （2）存在（1）、第一問(wèn)中的函數(shù)構(gòu)造：（2）、第二問(wèn)中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說(shuō)道了我們?cè)谶@用第一種原因在于第一問(wèn)中=0符合此題構(gòu)造。具體詳細(xì)步驟自己去寫寫。3、設(shè)奇函數(shù)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,證明：(1) 存在(2) 存在第一問(wèn)中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點(diǎn)本題很容易想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來(lái)求，因?yàn)樯婕暗搅藢?dǎo)函數(shù)（1）、，題目中提到奇函數(shù)，f(0)=0有F(0)=F(1)=0從而用羅爾定理就出來(lái)了。（2）、第二問(wèn)中的結(jié)論出發(fā)來(lái)構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來(lái)看，直接就可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)先變形下：函數(shù)構(gòu)造