第三章第3講　用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

1、抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f(x)在在a，b上必有最大值上必有最大值與最小值與最小值(2)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在a，b上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小為函數(shù)的最小值，值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在在a，b上單調(diào)遞上單調(diào)遞減，則減，則f(a)為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值為函數(shù)的最小值1函數(shù)的最值函

2、數(shù)的最值抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在a，b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：上的最大值和最小值的步驟如下：(1)求求f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值；內(nèi)的極值；(2)求得的求得的f(x)的各極值與的各極值與_比較，其中最大的比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值一個是最大值，最小的一個是最小值f(a)，f(b)抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考求函數(shù)在某個區(qū)間的最值求函數(shù)在某個區(qū)間的最值根據(jù)最值定理，求在閉區(qū)間根據(jù)最值定理，求在

3、閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過程簡化，即不用判斷導(dǎo)數(shù)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過程簡化，即不用判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是極大值還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的為零的點(diǎn)是極大值還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大(小小)的函數(shù)值，就是最大的函數(shù)值，就是最大(小小)值對于開區(qū)間值對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)(定義域?yàn)殚_區(qū)間定義域?yàn)殚_區(qū)間或半開半閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間)求最值時(shí)，除求出函數(shù)的極大值，極小求最值時(shí)，除求出函數(shù)的極大值，極小值外，還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的極限值或畫出函數(shù)的值外，

4、還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的極限值或畫出函數(shù)的大致圖象，再判定函數(shù)的最大大致圖象，再判定函數(shù)的最大(小小)值，否則會犯錯誤值，否則會犯錯誤【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)自測考點(diǎn)自測抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考3若函數(shù)若函數(shù)y2x33x212xa在區(qū)間在區(qū)間0,2上的最大值為上的最大值為5，則，則a的值為的值為_ 答案答案5抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2012蘇州等五市三區(qū)期中考試蘇州等五市三區(qū)

5、期中考試)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)exeln x，則，則f(x)的最小值為的最小值為_ 答案答案e抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若曲線若曲線yf(x)與曲線與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有處具有公共切線，求公共切線，求a，b的值；的值；(2)當(dāng)當(dāng)a24b時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間間(，1上的最大值上的最大值考向一考向一利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【例例1】 (2012北京卷北京卷)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)ax21(a0)，g(x)x3 bx.抓住抓住2個個考

6、點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.曲線曲線yf(x)與曲線與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公處具有公共切線，共切線，f(1)g(1)，且，且f(1)g(1)即即a11b，且且2a3b.解得解得a3，b3.抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別求

7、解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)值與極值的區(qū)別求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)yf(x)在在a，b內(nèi)所有使內(nèi)所有使f(x)0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)所有使內(nèi)所有使f(x)0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得，也可利用函數(shù)的單調(diào)性求得即得，也可利用函數(shù)的單調(diào)性求得抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值上的最小值解解(1)f(x)(xk1)ex.令令f(x)0，得，得xk1.f(x)與與f(x)的變化情況如下：的變化情況如下

8、：【訓(xùn)練訓(xùn)練1】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間是是(k1，)抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)當(dāng)當(dāng)k10，即，即k1時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)在在0,1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值為上的最小值為f(0)k；當(dāng)當(dāng)0k11，即，即1k2時(shí)，時(shí)，由由(1)知知f(x)在在0，k1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，所以增，所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最

9、小值為上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)當(dāng)k111，即，即k2時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)在在0,1上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值為上的最小值為f(1)(1k)e.綜上所述綜上所述f(x)在在0,1上的最小值為上的最小值為抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若ke，試確定函數(shù)，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)若若k0，且對于任意，且對于任意xR，f(|x|)0恒成立，試確定實(shí)數(shù)恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍的取值范圍解解(1)由由ke，得，得f(x)exex，所以，所以f(x)exe.由由f(x)0，得，得x

10、1，即，即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為(1，)；由；由f(x)0，得，得x0對任意對任意x0恒成立恒成立即即f(x)min0(x0)由由f(x)exk0，得，得xln k.考向二考向二函數(shù)最值的應(yīng)用函數(shù)最值的應(yīng)用【例例2】 (2012江蘇徐州二模江蘇徐州二模)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)exkx，xR.抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考當(dāng)當(dāng)k(0,1時(shí)，時(shí)，f(x)exk1k0(x0)，此時(shí)此時(shí)f(x)在在0，)上單調(diào)遞增，故上單調(diào)遞增，故f(x)f(0)10，符合，符合題意題意當(dāng)當(dāng)k(1，)時(shí)，時(shí)，ln k0.當(dāng)當(dāng)0 xln k時(shí)，時(shí)，f(x)ln k時(shí)，

11、時(shí)，f(x)0，f(x)在在(ln k，)上單調(diào)遞增故當(dāng)上單調(diào)遞增故當(dāng)xln k時(shí)，時(shí)，f(x)取極小值，即為最小值取極小值，即為最小值f(ln k)由題意，得由題意，得f(ln k)kkln k0又又k1，所以，所以1k0.【示例示例】 (2012浙江卷浙江卷)已知已知a0，bR，函數(shù)，函數(shù)f(x)4ax32bxab.證明：當(dāng)證明：當(dāng)0 x1時(shí)時(shí)抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個個考點(diǎn)考點(diǎn)突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考點(diǎn)評點(diǎn)評 本題無論是求函數(shù)本題無論是求函數(shù)f(x)在在0,1上的最大值或證明上的最大值或證明f(x)|2ab|a0，都是導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值與最