代數(shù)變形中常用的技巧

1、代數(shù)變形中常用的技巧云南電大省直分校 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 毛里安摘要：代數(shù)變形是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識，當(dāng)然存在著技巧和方法，也就需要人們在學(xué)習(xí)代數(shù)的實踐中反復(fù)操練才能把握，乃至靈活應(yīng)用。代數(shù)變形技巧是學(xué)習(xí)掌握代數(shù)的重要基礎(chǔ)，這種變形能力的強(qiáng)弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。本文就初等代數(shù)變形中的解題技巧，作一些論述。兩個代數(shù)式A、B，如果對于其中所含字母的一切允許值它們對應(yīng)的值都相等，則稱這兩個代數(shù)式恒等，記作AB或A=B，把一個代數(shù)式換成另一個和它恒等的代數(shù)式，叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等變形是代數(shù)的最基本知識，是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

2、，恒等變形的理論依據(jù)是運算律和運算法則，所以，恒等變形必須遵循各運算法則，并按各運算法則在其定義域內(nèi)進(jìn)行變形。代數(shù)恒等變形技巧是學(xué)習(xí)與掌握代數(shù)的重要基礎(chǔ),這種變形能力的強(qiáng)弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。代數(shù)恒等變形實質(zhì)上是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識，當(dāng)然存在著技巧和方法，也就需要人們在學(xué)習(xí)代數(shù)的實踐中反復(fù)操練才能把握，乃至靈活與綜合應(yīng)用。中學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中不善于積累和總結(jié)變形經(jīng)驗，在稍復(fù)雜的問題面前常因變形方向不清，而導(dǎo)致常規(guī)的化歸、轉(zhuǎn)化工作難以實施，甚至失敗，其后果直接影響著應(yīng)試的能力及效率。代數(shù)的恒等變形包括的內(nèi)容較多，本文著重闡

3、述代數(shù)運算和解題中常見的變形技巧及應(yīng)用。一、整式變形整式變形包括整式的加減、乘除、因式分解等知識。這些知識都是代數(shù)中的最基礎(chǔ)的知識。有關(guān)整式的運算與化簡求值，常用到整式的變形。例1：化簡(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此題若按常規(guī)方法先去括號，再合并類項來進(jìn)行恒等變形的話，計算會繁雜。而通過觀察發(fā)現(xiàn)此題是一個輪換對稱多項式，就其特點而言，若用換元法會使變形簡單，從而也說明了換元法是變形的一種重要方法。解：設(shè)y-z=a, z-x=b, x-y=c,則a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+

4、y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2=-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc=-(a+b+c)2=0例2：分解因式 (1-x2)(1-y2)-4xy x4+y4+ x2y2分析：本題的兩個小題，若按通則變形，則困難重重，不知從何下手，但從其含平方的項來研究，考慮應(yīng)用配方法會使變形迎刃而解。題先將括號展開，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分組就可以配成完全平方式。題用添項、減項法加上x2y2再減去x2y2，即可配方，然后再進(jìn)行變形分解。解：原式=

5、 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2) =(1-xy)2-(x+y)2 =(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)原式= x4+y4+ x2y2+x2y2-x2y2=(x2+y2)2-x2y2=( x2+y2+xy) ( x2+y2-xy)以上兩例充分說明了，配方法、因式分解法、換元法都是恒等變形的方法與基礎(chǔ)，它們都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有力工具，是解決數(shù)學(xué)問題的武器。因此，這些變形技巧必須熟練掌握。二、分式變形眾所周知，對學(xué)生而言，分式的變形較為復(fù)雜，也很講究技巧。通分化簡是常規(guī)方法，但很多涉及分式的問題僅此而已是不夠的，還需按既定的目標(biāo)逆向

6、變通，這時將分式分解成部分分式、分離常數(shù)、分子變位等便成了特殊的技巧，靈活應(yīng)用這些變形技巧便會使問題迎刃而解。有關(guān)分式的計算、化簡、求值、證明，常常采用分式的變形技巧。（一）將已知條件變形，再直接代入例：已知=a, =b, =c, 且x+y+z0, 試求+的值。分析：此題若按常規(guī)方法，把已知條件直接代入所求進(jìn)行計算，計算會很復(fù)雜，也不容易求得正確答案。通過觀察已知和未知的式子，考慮將已知條件進(jìn)行變形，再整改代入未知中去，計算起來比較簡單。因此，對已知條件進(jìn)行變形也是非常必要的。解：由已知得1+a=1+=所以=，同理=，=所以原式=+=1（二）應(yīng)用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形例：已知=，求的值。解

7、：由已知條件知a0，b0，把已知條件中的等式變形并利用等比性質(zhì)消去b，得=1 a=3b原式=（三）利用倒數(shù)知識進(jìn)行恒等變形例：已知a、b、c為實數(shù)，且=，=，=，求的值。解：顯然a、b、c均不為零，故將三個條件分式兩邊分別取倒數(shù)，得：=3，=4，=5再逆用分式加法法則變形得：+=3，+=4，+=5三式相加，得+=6，再通分變形得=6，兩邊取倒數(shù)得=， 原式=本題多次應(yīng)用了通分，逆用通分，取倒數(shù)等恒等變形，使問題得到了解決，說明這些方法都是代數(shù)變形的重要方法，這些技巧應(yīng)理解掌握。（四）利用常值代換進(jìn)行恒等變形例：已知abc=1,求+的值。解： abc=1原式=+=1本題的解法很巧，若將所求通分化

8、簡，再代入已知或?qū)⒁阎冃卧俅胨蠖疾灰浊蟪鼋Y(jié)果。習(xí)慣上是將字母代換成數(shù)，而此題是將數(shù)代換成字母，反而收效較好。因此，常值代換也是恒等變形的重要技巧。（五）利用設(shè)比例系數(shù)進(jìn)行恒等變形例：已知=，求的值。解：設(shè)=k(k0),則x=(a-b)k，y=(b-c)k，z=(c-a)k原式=0此變形是解有關(guān)等比問題的重要技巧。（六）利用添項拆項進(jìn)行恒等變形例：已知abc0，a+b+c=0，求a(+)+b(+)+c(+)的值。解：由abc0，知+=3，故原式=a(+)+b(+)+c(+)-3=(a+b+c)(+)-3=-3（七）利用運算定律進(jìn)行恒等變形例：求值(+)+(+)+(+)+(+)=解：原式=+

9、(+)+(+)+(+) =+=（1+2+3+59） =×=885（八）利用整體代換思想進(jìn)行變形例：已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3 =3的值。分析：此題若用常規(guī)方法先求出x的值，再代入x3+1/x3 =3中進(jìn)行計算是很繁的，如果注意到運用立方和公式及整體代換進(jìn)行變形，問題就很簡單了。解：由x2-3x+1=0，可知x+=3，故原式=(x+)( x+)2-3=3(32-3)=18本題還運用了配方，等式兩邊除以同一個不為零的數(shù)的變形技巧，這樣做的目的是使已知條件與所求式之間的關(guān)系更加明朗化，便于代入，使運算更簡便。（九）利用逆用通分進(jìn)行恒等變形例：化簡+分析：這類問題在通常情況下是

10、整體通分，但本題這樣做顯然很繁，若在每個分式中逆用通分進(jìn)行“裂項”的恒等變形，則十分簡捷。解：原式=-+-+- =-=（十）利用分離常數(shù)的方法進(jìn)行恒等變形例：解方程+=+分析：如果按照常規(guī)思路整體去分母，顯然運算很繁雜，若采用分段化簡，分離常數(shù)，可化繁為簡。解：原方程可化為1+1+=1+1+即+=+再進(jìn)行變形得-=-= x=8（十一）利用換元再約簡的方法進(jìn)行恒等變形約分是分式化簡的重要手段之一。這種變形技巧貫穿整個分式的學(xué)習(xí)過程中。例：化簡解：設(shè)=x，則原式=（十二）利用主元代入及消元思想進(jìn)行恒等變形例：若4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0,則等于（ ）（A） （B） （C）-15 （

11、D）-134x-3y=6zx+2y=7z解：以x、y為主元，由已知得 利用消元變形求得x=3z，y=2z 原式=13 故選（D）由以上的論述可知：分式的變形一般有三種思路，先變形條件，以便運用；先化簡待求式，這是為了利用條件；將條件和待求式同時變形，容易看出二者的關(guān)系。也就更容易找到變形技巧，使變形簡單明了，更具可操作性。三、根式變形有關(guān)根式的計算、比較大小、化簡、求值等，經(jīng)常應(yīng)用到根式的變形技巧，特別是二次根式的運算，它是中學(xué)代數(shù)中的一個難點，不少題目用常規(guī)方法去解比較繁瑣，所以解題中要根據(jù)題目的特點，巧用一些運算技巧，才能達(dá)到事半功倍的效果。（一）巧用運算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形例：計算(+)20

12、04(-)2004 (-)分析：逆用運算性質(zhì)，再用平方差公式解：原式=(+)2004(-)2004 (-)=(+)(-)2004 (-)=(6-5)2004(-)=-（二）巧用因式分解進(jìn)行恒等變形例：計算(+)(+-)解：原式=(+)·· (+-)=·(+)2-8=·=30（三）利用分母有理化進(jìn)行恒等變形例：計算解：原式=（四）巧用平方進(jìn)行恒等變形例：化簡解： ()2=2又>0=（五）利用拆項技巧進(jìn)行恒等變形例：計算解：原式=（六）利用換元技巧進(jìn)行恒等變形例：化簡解：設(shè)，則原式=3（七）利用配方法進(jìn)行恒等變形例：化簡分析：本題若采用分母有理化，計算

13、會很復(fù)雜，若采用將分子配方，再分解因式后，與分母約分的方法會很簡單。解：原式= =（八）利用分子有理化進(jìn)行恒等變形例：不求根式的值，比較與的大小。解： =>>0<<以上所述的這些二次根式的變形技巧，在解決二次根式的問題時，有很大的用處，因此，它作為一種代數(shù)變形技巧應(yīng)被很好的掌握。四、指數(shù)變形有關(guān)指數(shù)的變形，一般都是利用冪運算法則進(jìn)行較簡便，而對一些比較大小的題目，就更講究變形的技巧，主要是將底數(shù)變了相同，或?qū)⒅笖?shù)變了相同。（一）放縮變形例：設(shè)a=19,b=(999991),則a-b是（ ）（A）不大于-1的數(shù) （B）不小于1的數(shù)（C）絕對值大于0且小于1的數(shù) （D）0解

14、：b=(999991)<(19×8)=192a=1991=1976·1915 a-b>1976(1915-257)> 1976(1615-257)= 1976(260-257)=1976·260(8-1)>1故選（B）（二）利用開方進(jìn)行變形例：350，440，530的大小關(guān)系為（ ）（A）350<440<530 （B）530<350<440（C）530<440< 350 （D）440<530<350解：=35=243，=44=256，=53=125<< 530<350<

15、440故選（B）（三）利用乘方進(jìn)行變形例：設(shè)m=()，n=()，p=()，則m、n、p的大小關(guān)系是（ ）（A）m<n<p （B）m<p<n （C）n<p<m （D）p<n<m解： m20=()= p20=()= m20> p20 m>p又 p12=()= n12=()= p12> n12 p>n m>p>n（四）利用求商進(jìn)行變形例：已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（ ）（A）a>b>c>d （B）a>b>d>c （C）b

16、>a>c>d （D）a>d>b>c解：=()=()>1=()=()>1=()=()>1故選（A）上述四例充分說明了，指數(shù)變形技巧在解題中的作用和地位，離開了這些變形技巧，解題思路就會受阻，解題無從下手，因此變形技巧在解題中起著無足輕重的作用。五、對數(shù)變形在對數(shù)式的恒等變形中，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)間的相互關(guān)系，靈活利用運算法則進(jìn)行化簡和計算。對數(shù)的變形主要考慮換底和底數(shù)的選擇。例：討論函數(shù)f(x)=log ax(bx)(b>a>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。分析：直接利用單調(diào)性的定義進(jìn)行探索，變形極易受阻，所以，利用對數(shù)換底

17、公式進(jìn)行變形，可供選擇的底數(shù)有a、b和10，但a、b未完全具備對數(shù)底數(shù)的資格，故選擇以10為底進(jìn)行變形。解： f(x)=1+據(jù)lgb-lga>0及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則知，原函數(shù)在區(qū)間(0，)和區(qū)間(，+)上均為減函數(shù)。由此便可知本例的答案。六、復(fù)數(shù)變形復(fù)數(shù)的變形技巧對解題的繁簡有著決定的作用，比較典型的有三角變形，代數(shù)變形，運用模與共軛的性質(zhì)進(jìn)行變形，運用±i虛根進(jìn)行變形。例：已知Z1，Z2是兩個不相等的非零復(fù)數(shù)，設(shè)= Z1+Z2，= Z1-Z2。（1）若是純虛數(shù)，求證：|Z1|=|Z2|（2）若|+()=0，試判斷|與|的大小關(guān)系。證明：（1）是純虛數(shù)，即將= Z1+Z2，= Z1-Z2代入便可變形出|Z1|=|Z2|。（2）由|+()=0得，+=0 Z1，Z2非零，所以=0，從而|2=同理可得|2=，故|=|代數(shù)恒等變形必須根據(jù)運算法則和運算律進(jìn)行，必須遵循運算法則，并按運算法則在其定義域內(nèi)進(jìn)行。變形要保證正確合