2015人教A版本（文）（6.1 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法）一輪復(fù)習(xí)題

1、§6.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法1.數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.

2、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則an.1.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).(×)(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).()(3)數(shù)列：1,0,1,0,1,0，通項(xiàng)公式只能是an.(×)(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()(5)在數(shù)列an中，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，amnamn1，若a11，則a22.()(6)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫(xiě)出數(shù)列an的任何一項(xiàng).()2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A.15B.16C.49

3、D.64答案A解析Snn2，a1S11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.an2n1，a82×8115.3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：SnSmSnm，且a11，那么a10等于()A.1B.9C.10D.55答案A解析SnSmSnm，a11，S11.可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1.即當(dāng)n1時(shí)，an11，a101.4.(2013·課標(biāo)全國(guó))若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.當(dāng)n1時(shí)，也符合an(2)n1.綜上，an(2)n1.5.(20

4、13·安徽)如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，An，和B1，B2，Bn分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面積均相等.設(shè)OAnan，若a11，a22，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_.答案an由相似三角形面積比是相似比的平方知OAOA2OA，即aa2a，因此a為等差數(shù)列且aa3(n1)3n2，故an.題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)例1寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.思維啟迪先觀(guān)察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系.解(1)各項(xiàng)減

5、去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n·.也可寫(xiě)為an(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1).思維升華根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀(guān)察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征，應(yīng)

6、多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀(guān)察、歸納、聯(lián)想.(1)數(shù)列1,7，13,19，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.(2)數(shù)列an的前4項(xiàng)是，1，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.答案(1)(1)n·(6n5)(2)解析(1)符號(hào)問(wèn)題可通過(guò)(1)n或(1)n1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面的數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5).(2)數(shù)列an的前4項(xiàng)可變形為，故an.題型二由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求數(shù)列的通項(xiàng)例2已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.思維啟迪當(dāng)n1時(shí)，由a1S1，求a1； 當(dāng)n2時(shí)，由an

7、SnSn1消去Sn，得an1與an的關(guān)系.轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項(xiàng).解(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1. 當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式.當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式.當(dāng)b1時(shí)，an2·3n1；當(dāng)b1時(shí)，an思維升華數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時(shí)，a1若適合SnSn1，則n1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n1時(shí)，a1若不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，

8、則其通項(xiàng)公式為_(kāi).答案an解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿(mǎn)足上式.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例3(1)設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則通項(xiàng)an_.(2)數(shù)列an中，a11，an13an2，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an_.(3)在數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Snan.則an的通項(xiàng)公式為_(kāi).思維啟迪觀(guān)察遞推式的特點(diǎn)，可以利用累加(乘)或迭代法求通項(xiàng)公式.答案(1)1(2)2×3n11(3)an解析(1)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2

9、a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)方法一(累乘法)an13an2，即an113(an1)，即3，所以3，3，3，3.將這些等式兩邊分別相乘得3n.因?yàn)閍11，所以3n，即an12×3n1(n1)，所以an2×3n11(n2)，又a11也滿(mǎn)足上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2×3n11.方法二(迭代法) an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)2×3n(n1)，所以an2×3n11(n2)，又a11也滿(mǎn)足上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2&

10、#215;3n11.(3)由題設(shè)知，a11.當(dāng)n>1時(shí)，anSnSn1anan1.，3.以上n1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到，又a11，an.思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，用累乘法求解.(1)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，anan1(n2)，則an_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1(nN*)，則a5等于 ()A.16B.16C.31D.32答案(1)(2)B解析(1)anan1 (n2)，an1a

11、n2，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1····.(2)當(dāng)n1時(shí)，S12a11，a11.當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比數(shù)列且a11，q2，故a5a1×q42416.數(shù)列問(wèn)題中的函數(shù)思想典例：(12分)已知數(shù)列an.(1)若ann25n4，數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.(2)若ann2kn4且對(duì)于nN*，都有an1>an.求實(shí)數(shù)k的取值范圍.思維啟迪(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類(lèi)特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式

12、f(n)n2kn4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù).從二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸研究單調(diào)性.規(guī)范解答解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nN*，n2,3.數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3. 4分ann25n42的對(duì)稱(chēng)軸方程為n.又nN*，當(dāng)n2或n3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2a32. 8分(2)由an1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以<，即得k>3.12分溫馨提醒(1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸來(lái)研究其

13、單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問(wèn)題得到解決.(2)在利用二次函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸位置的選取.(3)易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k>2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù).方法與技巧1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀(guān)察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(1)n或(1)n1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系：an.3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有二種常見(jiàn)思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式

14、.失誤與防范1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列anf(n)和函數(shù)yf(x)的單調(diào)性是不同的.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1.數(shù)列0,1,0，1,0,1,0，1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于()A.B.cos C.cos D.cos 答案D解析令n1,2,3，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確.2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6等于()A.3×44B.3×441C.45D.451答案A解析當(dāng)n1時(shí)，an13Sn，則an23Sn1，an2an13Sn13Sn3a

15、n1，即an24an1，該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始是以4為公比的等比數(shù)列.又a23S13a13，an當(dāng)n6時(shí)，a63×4623×44.3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A.15B.12C.12D.15答案A解析由題意知，a1a2a1014710(1)10×(3×102)(14)(710)(1)9×(3×92)(1)10×(3×102)3×515.4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()n1()n1，則數(shù)列an()A.有最大項(xiàng)，沒(méi)有最小項(xiàng)B.有最小項(xiàng)，沒(méi)有最大項(xiàng)C.既有最大項(xiàng)又有

16、最小項(xiàng)D.既沒(méi)有最大項(xiàng)也沒(méi)有最小項(xiàng)答案C解析數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()n1()n1，令t()n1，t(0,1，t是減函數(shù)，則ant2t(t)2，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知an先遞增后遞減.故有最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，選C.5.若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn，則等于()A.B.C.D.30答案D解析當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，所以5×630.二、填空題6.已知數(shù)列，則0.98是它的第_項(xiàng).答案7解析0.98，n7.7.數(shù)列an中，a11，對(duì)于所有的n2，nN*，都有a1·a2·a3··ann2，則a3a5_.答案解析由題意知：a1·a2·

17、a3··an1(n1)2，an()2(n2)，a3a5()2()2.8.已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nN*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.答案(3，)解析方法一(定義法)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的nN*，都有an1>an，即(n1)2(n1)>n2n，整理，得2n1>0，即>(2n1).(*)因?yàn)閚1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需>3.方法二(函數(shù)法)設(shè)f(n)ann2n，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)n，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿(mǎn)足f(1)<f(2)，即>

18、;3.三、解答題9.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？解(1)當(dāng)n4時(shí)，a4424×766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).(3)令ann27n6>0，解得n>6或n<1(舍).故數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).10.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，試判斷此數(shù)列是否有最大項(xiàng)？若有，第幾項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是多少？若沒(méi)有，說(shuō)明理由.解an1an·，當(dāng)n<8時(shí)，an1an&

19、gt;0，即an1>an；當(dāng)n8時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>8時(shí)，an1an<0，即an1<an.則a1<a2<a3<<a8a9>a10>a11>，故數(shù)列an有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8a9.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)為()A.8種B.13種C.21種D.34種答案C解析設(shè)跳到第n個(gè)格子的方法種數(shù)有an，則到達(dá)第n個(gè)格子的方法有兩類(lèi)：向前跳1格到達(dá)第n個(gè)格子，方法種數(shù)為an1；向前跳2格到達(dá)第n個(gè)格子，方法種數(shù)為an2，則anan1an2，由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前8項(xiàng)分別是1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)是2