2015人教A版本（文）（5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示）一輪復(fù)習(xí)題

1、§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)

2、，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底(×)(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.(×)(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.(×)(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，則等于45°.(×)2已知點(diǎn)A(6,2)，B(1,

3、14)，則與共線的單位向量為()A(，)或(，)B(，)C(，)或(，)D(，)答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，與共線的單位向量為±±(5,12)±(，)3已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，|OC|2，且AOC，設(shè) (R)，則的值為()A1 B. C. D.答案D解析過C作CEx軸于點(diǎn)E(圖略)由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)5在平面直角坐標(biāo)系中

4、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足，則_.答案解析，()，.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1在ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又t，試求t的值思維啟迪根據(jù)題意可選擇，為一組基底，將，線性表示出來，通過t建立關(guān)于t的方程組，從而求出t的值解，32，即22，2，即P為AB的一個三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，如圖所示A，M，Q三點(diǎn)共線，設(shè)x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思維升華平面向量基本定理表明，平面內(nèi)的任意一個向量都可用一組基底唯一表示，題中將同一向量用同一組基底的兩種形式表示出來，因此根據(jù)表示的“唯一性”可建立方程組求解如圖

5、，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析設(shè)|y，|x，則，×y×x得，令，得yx，代入得m.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)設(shè)3，2，求及M、N點(diǎn)的坐標(biāo)思維啟迪(1)直接計(jì)算、的坐標(biāo)，然后運(yùn)算；(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)相等列方程求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6)(2)3，2，2323，由A、B

6、、C、D點(diǎn)坐標(biāo)可得(3,2)(1，2)(2,4)2(1,1)3(2,4)(4,10)設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)又3，3()，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xM3，yM10，M(3，10)又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0)思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的

7、坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.思維啟迪(1)根據(jù)向量共線列式求相

8、關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)根據(jù)向量共線求參數(shù)答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)(2)依題意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思維升華(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零

9、時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則等于()A. B. C1 D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_答案(1)B(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因?yàn)?3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線時，有，解得m，故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時實(shí)數(shù)m滿足的條件是m.忽視平行

10、四邊形的多樣性致誤典例：(12分)已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)易錯分析此題極易出現(xiàn)思維定勢，認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)漏解實(shí)際上，題目條件中只給出平行四邊形的三個頂點(diǎn)，并沒有規(guī)定順序，可能有三種情形規(guī)范解答解如圖所示，設(shè)A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)2分 若四邊形ABCD1為平行四邊形，則，而(x1，y)，(2，5)由，得D1(3，5)5分若四邊形ACD2B為平行四邊形，則2.而(4,0)，(x1，y5)D2(5，5)8分若四邊形ACBD3為平行四邊形，則.而(x1，y)，(2,5)，D3(1

11、,5)11分綜上所述，平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，5)或(5，5)或(1,5)12分溫馨提醒(1)本題考查向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算，難度中等，但錯誤率較高，典型錯誤是忽視了分類討論此外，有的學(xué)生不知道運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，找不到解決問題的切入口(2)向量本身就具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，所以在解決此類問題時，要注意畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.方法與技巧1平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵2平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是ab，這與

12、x1y2x2y10在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同(2)三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定失誤與防范1要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1(2012·廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則等于()A(2，4) B(2,4)C(6,10) D(6，10)答案A解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4

13、，7)(2，4)2在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)答案B解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)3設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，則“a(4,2)”是“ab”成立的()A充要條件 B必要不充分條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析若a(4,2)，則|a|2，且ab都成立；因ab，設(shè)ab(2，)，由|a|2，知42220，24，±2，a(4,2)或a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件4已知a(1,1)，b(1，1)

14、，c(1,2)，則c等于()Aab B.abCab Dab答案B解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.5.如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2，則()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y答案A解析由題意知，又2，所以()，所以x，y.二、填空題6已知A(3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且AOC30°，則實(shí)數(shù)的值為_答案1解析由題意知(3,0)，(0，)，則(3，)，由AOC30°知以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，tan 150°，即，1.7已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，

15、v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值為_答案解析因?yàn)閍(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因?yàn)閡v，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.8ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.答案60°解析因?yàn)閜q，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，結(jié)合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，C60°.三、解答題9已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A

16、、B、C三點(diǎn)共線，求a、b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)A、B、C三點(diǎn)共線，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)10 如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線(1)設(shè)，將用，表示；(2)設(shè)x，y，證明：是定值(1)解()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共線，由，得解得3(定值)B組專項(xiàng)能力提升1已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為()

17、A2 B1C1 D1答案D解析A、B、C三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，滿足t，即abtatb，又a，b是不共線的向量，1.2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是()A. B. C3 D0答案D解析，.又rs，r，s，rs0，故選D.3已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析設(shè)C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3)又C在直線yax上，3a·3，a2.4 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示， 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B(，)，設(shè)AOC(0，)，則C(cos ，sin )，由xy，得，所