【步步高高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)】第四編三角函數(shù)及三角恒等變換

1、第四編 三角函數(shù)及三角恒等變換§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1.A=小于90°的角，B=第一象限的角，則AB等于 （ ）A.小于90°的角 B.0°90°的角C.第一象限的角 D.以上都不對(duì)答案 D2.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是 ( )A. B. C.- D.-答案 A3.已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ( )A.1 B.4 C.1或4 D.2或4答案 C4.已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2sin2,-2cos2)，則sin等于 （ ）A.sin2 B.-sin2 C

2、.cos2 D. -cos2答案 D 5.是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)，且cos=,則sin的值是 （ ）A. B. C. D.-答案 A例1 若是第二象限的角，試分別確定2, ,的終邊所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）k·180°+45° k·180&#

3、176;+90°（kZ），當(dāng)k=2n（nZ）時(shí)，n·360°+45°n·360°+90°；當(dāng)k=2n+1（nZ）時(shí)，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.（3）k·120°+30°k·120°+60°（kZ），當(dāng)k=3n（nZ）時(shí)，n·360°+30°n·360°+60°；當(dāng)k=3n+1（nZ）時(shí)，n·360

4、°+150°n·360°+180°；當(dāng)k=3n+2（nZ）時(shí)，n·360°+270°n·360°+300°.是第一或第二或第四象限的角.例2 （1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面積是多少？（2）一扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解 （1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是r,所以扇形的周長是2r+r.依題意，得2r+r=r,=-2=(-2)×1.142

5、5;57.30°65.44°65°26,扇形的面積為S=r2=（-2）r2.（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面積S=lr，將代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25.此時(shí)l=20-2×5=10,=2.所以當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值.例3 （12分）已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解 角的終邊在直線3x+4y=0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t) (t0),2分則x=4t,y=-3t,r

6、=, 4分當(dāng)t0時(shí)，r=5t,sin=,cos=,tan=; 8分當(dāng)t0時(shí)，r=-5t,sin=,cos=,tan=.10分綜上可知，t0時(shí)，sin=,cos=,tan=;t0時(shí)，sin=,cos=-,tan=.12分例4 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin;(2)cos.解 （1）作直線y=交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k+2k+，kZ .（2）作直線x=交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為.1.

7、已知是第三象限角，問是哪個(gè)象限的角？解 是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°（kZ），60°+k·120°90°+k·120°.當(dāng)k=3m(mZ)時(shí)，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的終邊在第一象限.當(dāng)k=3m+1 (mZ)時(shí)，可得180°+m·360°210°+m·360°（mZ).故的終邊在第三象限.當(dāng)k=3

8、m+2 （mZ）時(shí)，可得300°+m·360°330°+m·360°（mZ）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長為6,（1）求 的弧長；（2）求弓形OAB的面積.解 （1）=120°=rad，r=6， 的弧長為l=×6=4.(2)S扇形OAB=lr=×4×6=12，SABO=r2·sin=×62×=9，S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-9.3.已知角的終邊在y軸上，求sin、c

9、os、tan的值.解 角的終邊在y軸上，可在的終邊上任取一點(diǎn)（0,t)(t0),即x=0，y=t.r=|t|.當(dāng)t0時(shí)，r=t,sin=1,cos=0,tan=不存在；當(dāng)t0時(shí)，r=-t，sin=-1,cos=0,tan=不存在.綜上可知,sin=±1,cos=0,tan不存在.4.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解 （1）2cosx-10，cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如右圖陰影),x（k-,k+）（kZ).一、

10、選擇題1.已知cos·tan0,那么角是 （ ）A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角答案 C2.若0x，則下列命題中正確的是 （ ）A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>答案 D3.與610°角終邊相同的角表示為 （ ）A. k·360°+230°(kZ) B. k·360°+250°(kZ)C. k·360°+70°(kZ) D. k·360°+270°

11、(kZ)答案 B4.已知（）sin21,則所在象限為 （ ）A.第一或第二象限 B.第二或第四象限C.第二或第三象限 D.第一或第三象限答案 D5.已知點(diǎn)P（tan，cos）在第三象限，則角的終邊在第幾象限 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B6.（2009·德州模擬）已知且sin+cos=a，其中a(0，1），則關(guān)于tan的值，以下四個(gè)答案中，可能正確的是 （ ）A.-3 B.3或 C.- D.-3或-答案 C二、填空題7.已知角的終邊落在直線y=-3x (x0)上，則 .答案 28.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，

12、當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A、B兩點(diǎn)間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d= ,其中t0,60.答案 10sin三、解答題9.已知sin=,cos=,若是第二象限角，求實(shí)數(shù)a的值.解 是第二象限角，sin0,cos0,，解得0a.又sin2+cos2=1,解得a=或a=1(舍去），故實(shí)數(shù)a的值為.10.（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形圓心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解 設(shè)扇形半徑為R，中心角為，所對(duì)的弧長為l.（1）依題意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇

13、形的周長為40,+2R=40，S=lR=·2R.當(dāng)且僅當(dāng)=2R,即R=10,=2時(shí)面積取得最大值，最大值為100.11.設(shè)為第三象限角，試判斷的符號(hào).解 為第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ (kZ).當(dāng)k=2n (nZ)時(shí)，2n+,此時(shí)在第二象限.sin0,cos0.因此0.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí)，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ)此時(shí)在第四象限.sin0,cos0,因此0,綜上可知：0.12.角終邊上的點(diǎn)P與A（a，2a）關(guān)于x軸對(duì)稱（a0），角終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求sin·cos+sin·cos+tan

14、83;tan的值.解 由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,-2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2a，a）.sin=,cos=,tan=,sin=,cos=,tan=,故有sin·cos+sin·cos+tan·tan=-1.§4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)自測(cè)1.（2009·泰安模擬）sin2(+)-cos(+)·cos(-)+1的值為 （ ）A.1 B. C.0 D.2答案 D2.sin210°等于 （ ）A. B.- C. D.-答案 D3.已知tan=,且，則sin的值是 ( )A. B. C. D.答案 A4.若=2,則

15、sin(-5)·sin等于 （ ）A. B. C. D.-答案 C5.已知sin=，則sin4-cos4的值為( )A. B. C. D.答案 A例1 已知f()=;（1）化簡f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 （1）f（）=-cos. （2）cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.例2 （12分）已知-x0,sinx+cosx=.（1）求sinx-cosx的值；（2）求的值.解 （1）方法一 聯(lián)立方程： 2分由得sinx=-cosx,將其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.3分-x0,所以sinx-cosx=-.6分方法二 sinx+

16、cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.2分(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 4分又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0 由可知：sinx-cosx=-. 6分（2）由已知條件及（1）可知,解得, 8分tanx=-. 9分又= 11分=. 12分例3 已知tan=2,求下列各式的值：（1）;（2） ;（3）4sin2-3sincos-5cos2.解 （1）原式=.（2）.（3）sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.1.化簡.解 原式

17、=-1.2.已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根與系數(shù)的關(guān)系知，sin,cos是方程x2-x-=0的兩根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）(sin-cos)2=1-2sin·cos=1-2×=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.（3）sin3+co

18、s3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.3.已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:（1）;（2）sin2+cos2.解 由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.（2）sin2+cos2=.一、選擇題1.是第四象限角，tan=，則sin等于 （ ）A. B.- C. D.-答案 D2.（2008·浙江理，8）若cos+2sin=-,則tan等于 （ ）A. B. 2 C. D.-2答案 B3.（2008· 四川理，5）設(shè)02,若sincos,則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D

19、. 答案 C4.設(shè)0x2，且=sinx-cosx，則 （ ）A.0x B.C. D.答案C5.sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值為 （ ）A.1 B.2sin2 C.0 D.2答案 D6.若sin+cos=tan ，則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 答案 C二、填空題7.如果cos=,且是第四象限的角,那么cos = .答案 8.化簡:= .答案 1三、解答題9.已知cos(+)=-,且是第四象限角，計(jì)算：（1）sin(2-);（2） (nZ).解 cos(+)=-,-cos=-,cos=,又是第四象限角，sin=-.（1）sin(2-)=sin2+(-)=sin(-

20、)=-sin=.（2）=-4.10.化簡：.解 方法一 原式=.方法二 原式=11.設(shè)k為整數(shù)，化簡解 方法一 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2m (mZ),則原式=當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)k=2m+1(mZ),仿上可得，原式=-1.方法二 由(k+)+(k-)=2 k,(k-1)-+(k+1)+=2 k,得sin(k-)=-sin(k+),=-cos(k+),sin(k+1)+=-sin(k+).故原式=12.已知sin(-)-cos(+)=.求下列各式的值：（1）sin-cos;（2）解 由sin(-)-cos(+)=,得 將式兩邊平方，得1+2sin·cos=,故2sin·cos=-

21、,又，0，0.0.（1）. （2） = =§4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)自測(cè)1.在下列函數(shù)中，同時(shí)滿足：在（0,）上遞減；以2為周期；是奇函數(shù). （ ）A.y=tanx B.y=cosx C.y=-sinx D.y=sinxcosx答案C2.下列函數(shù)中，周期為的是 （ ）A.y=sin B.y=sin2x C.y=cos D.y=cos4x答案D3.設(shè)函數(shù)y=acosx+b（a、b為常數(shù))的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 ( )A.1 B.4 C.5 D.7答案 C4.函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 （ ）A. B. C. D. 答案 C5

22、.（2008·全國理，8）若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為（ ）A.1 B. C. D.2答案 B 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=lgsin(cosx);（2）=.解 （1）要使函數(shù)有意義，必須使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函數(shù)的簡圖得知定義域?yàn)閤|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上，其定義域?yàn)?（2）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx0.方法一 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上y=sinx和

23、y=cosx的圖象，如圖所示.在0，2內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域?yàn)?方法二 利用三角函數(shù)線，如圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinxcosx,即MNOM，則x（在0，2內(nèi)）.定義域?yàn)?方法三 sinx-cosx=sin0，將x-視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定義域?yàn)?例2 求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得ymax=4,但c

24、osx1,y4，且ymin=-,當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-時(shí)取得.故函數(shù)值域?yàn)?（2）令t=sinx+cosx,則有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),從而知：f(-1)yf(),即-1y+.即函數(shù)的值域?yàn)?（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1該函數(shù)值域?yàn)?2，2.例3（12分）求函數(shù)y=2sin的單調(diào)區(qū)間.解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的遞增、遞減區(qū)間分別為（kZ), (k

25、Z), 3分函數(shù)y=-2sin的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定2k+x-2k+（kZ),即2k+x2k+（kZ),2k-x-2k+（kZ),即2k-x2k+（kZ). 11分函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞減區(qū)間、單調(diào)遞增區(qū)間分別為（kZ),（kZ). 12分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu與u=復(fù)合而成的. 1分又u=為減函數(shù)，由2k-u2k+（kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即（kZ）為y=2sin的遞減區(qū)間.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k-x-2k- (kZ),即（kZ)為y=2sin的遞增區(qū)間.11分綜上可知：y=2sin的遞增區(qū)間為（

26、kZ）；遞減區(qū)間為（kZ）. 12分 1.求f(x)=的定義域和值域.解 由函數(shù)1-cos0,得sinx,利用單位圓或三角函數(shù)的圖象，易得所求函數(shù)的定義域是Z .當(dāng)sinx=cos=時(shí)，ymin=0;當(dāng)sinx=cos=-1時(shí)，ymax=.所以函數(shù)的值域?yàn)?，.2.已知函數(shù)f(x)=,求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性.解 由題意知cos2x0，得2xk+，解得x（kZ）.所以f(x）的定義域?yàn)?又f（x)= =cos2x-1=-sin2x.又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)是偶函數(shù).顯然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函數(shù)的值域?yàn)?3.（1）求函數(shù)y=sin的單調(diào)遞減區(qū)

27、間；（2）求y=3tan的周期及單調(diào)區(qū)間.解 （1）方法一 令u=,y=sinu利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性.由2k-2x+2k+(kZ),得2k-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (kZ).方法二 由已知函數(shù)y=-sin,欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期為4.由k-k+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的單調(diào)增區(qū)間是(kZ）y=3tan的單調(diào)遞減區(qū)間是 (kZ).一、選

28、擇題1.已知函數(shù)y=tanx在內(nèi)是減函數(shù),則 （ ）A.01 B.-10 C.1 D.-1答案B2.（2009·連云港模擬）若函數(shù)y=的最小正周期為4，且當(dāng)x=2時(shí)y取得最小值,則的一個(gè)可能值是（ )A. B. C. D.答案 C3.函數(shù)f(x)=tanx (0)的圖象的相鄰的兩支截直線y=所得線段長為,則f()的值是 ( )A.0 B.1 C.-1 D.答案 A4.函數(shù)y=2sin（-2x）(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是 ( )A. B. C. D. 答案 C5.函數(shù)f(x)=lg(sin2x+cos2x-1)的定義域是 ( ) A. B.C. D. 答案 A6.給出下列命題：函數(shù)y=

29、cos是奇函數(shù)；存在實(shí)數(shù),使得sin+cos=;若是第一象限角且,則tantan;x=是函數(shù)y=sin的一條對(duì)稱軸方程；函數(shù)y=sin的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.其中正確的序號(hào)為 （ ）A. B. C. D. 答案 C二、填空題7.(2008·江蘇，1)f(x)=cos(x-)最小正周期為，其中0，則= .答案 108.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin（2x+）（xR），有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y= f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-)；y= f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱；y= f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱.其中正確的命題的序

30、號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）答案 三、解答題9.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，試求參數(shù)m的取值范圍.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函數(shù)y=cosx的圖象（如圖所示），由圖象可得1,解得m-3.10.設(shè)a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）已知常數(shù)0，若y=f()在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（3）設(shè)集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 （1）f(x)=sin2·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=

31、4sinx·+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x)的增區(qū)間是,kZ.f（x）在上是增函數(shù)，.-且,.（3）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，當(dāng)x時(shí)，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f(x)max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.11.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x時(shí)，f(x)=sinx.（1）求

32、當(dāng)x-，0時(shí)，f(x)的解析式；（2）畫出函數(shù)f(x)在-，上的函數(shù)簡圖；（3）求當(dāng)f(x)時(shí)，x的取值范圍.解 （1）f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=f(x).而當(dāng)x時(shí)，f(x)=sinx.當(dāng)x時(shí)，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又當(dāng)x時(shí)，x+，f(x)的周期為，f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sinx.當(dāng)x-,0時(shí)，f(x)=-sinx.（2）如圖（3）由于f(x）的最小正周期為,因此先在-，0上來研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，當(dāng)x,kZ時(shí)，f(x).12.已知a0，函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x時(shí)，-5f(x)1.（1）求

33、常數(shù)a,b的值；（2）設(shè)g(x)=f且lgg(x)0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.解 （1）x，2x+.sin，-2asin-2a,a.f(x)b,3a+b,又-5f(x)1,b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（2）由（1）知a=2,b=-5,f（x）=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lgg(x)0得g(x)1,4sin-11,sin,2k+2x+2k+,kZ.由2k+2x+2k+(kZ),得g(x)的單調(diào)增區(qū)間為：（kZ）由2k+2x+2k+,得g(x)的單調(diào)減區(qū)間為（kZ）.§4.4 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 基

34、礎(chǔ)自測(cè)1.（2008·天津理，3）設(shè)函數(shù)f（x）=sin，xR，則f（x）是 ( )A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)答案 B2.（2008· 浙江理，5）在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=cos (x0,2)的圖象和直線y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 C3.為了得到函數(shù)y=2sin，xR的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx，xR的圖象上所有的點(diǎn) （ ）A.向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）B.向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)

35、不變） C.向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變） D.向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）答案C4.下面有五個(gè)命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是|=,kZ.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).把函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象向右平移得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.函數(shù)y=sin(x-)在0,上是減函數(shù).其中，真命題的編號(hào)是 . 答案 5.已知函數(shù)f(x)=2sinx(0)在區(qū)間上的最小值是-2，則的最小值等于 .答案 例1 已知函數(shù)y=2sin,(1)求

36、它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說明y=2sin的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,則y=2sin=2sinX.列表，并描點(diǎn)畫出圖象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一 把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin的圖象，再把y=sin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin的圖象，最后把y=sin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.方法二 將

37、y=sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位；得到y(tǒng)=sin2=sin的圖象；再將y=sin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=2sin的圖象.例2 如圖為y=Asin(x+)的圖象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N為第一個(gè)零點(diǎn)，則A=-，T=2=，=2，此時(shí)解析式為y=-sin（2x+）.點(diǎn)N，-×2+=0，=，所求解析式為y=-sin.方法二 由圖象知A=，以M為第一個(gè)零點(diǎn)，P為第二個(gè)零點(diǎn).列方程組 解之得.所求解析式為y=sin.例3（12分）已知函數(shù)f(x)=-

38、 cos(2x+2) (A0, 0,0),且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰 兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）.（1）求;(2)計(jì)算f(1)+f(2)+f(2 008).解 （1）y=- cos(2x+2),且y=f(x)的最大值為2，A0,+=2,A=2.又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,0,=2, =. 2分f(x)= -cos=1-cos.y=f(x)過(1,2)點(diǎn)，cos=-1. 4分=2k+,kZ.=k+,kZ.又0，=. 6分(2)=,f(x)=1-cos=1+sin.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 9分又y=f(x)的周期為4，2 008=4×502,f（1）+f（2）+f（2 008）=4×502=2 008. 12分1.已知函數(shù)y=3sin（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象；（2）說明此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的；（3）求此函數(shù)的振幅、周期和初相；（4）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程、對(duì)稱