2021年必修正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、V正弦定理和余弦定理要點(diǎn)梳理1.正弦定理sin Absin B = 2/? sin C其中R是三角形外接圓半徑.由正弦定理可以變形為：(1) a : b : c=sin A : sin B ： sin C；(2) a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C；(3) sinA=畫，sinB=磊，sinC=占等形式，以解決不同三角形問題.2. 三角形面積公式1abe iSa ABC=2absin C=/bcsin A=icsin B=)斤=a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3. 余弦定理：a2=b2+c22bccos A, b2=a2+c22accos

2、 B, c2=a2+b22abcos C.余弦定理可以變形為：b2 +c2 -a2a2 +c2 -b2a2 + b2 -c2cos A=, cos B= -, cos C=Z-；.2bc2ac2ab4. 在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其他邊或角；(2)已知兩邊及一邊對(duì)角，求其他邊或角.狀況中成果也許有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)別.余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角問題；已知三邊問題.基本自測(cè)1. 在厶 ABC 中，若 b=l, c=<3, C=y,貝J a= 1.2. 已知 ABC內(nèi)角A, B, C對(duì)邊分別為a, b, c,若c

3、=逗,b=心,B=120°,貝J a=邁3. 在aABC 中，若 AB=&, AC=5,且 cosC=需，則 BC= 4 或 5 4.已知圓半徑為4, a. b、c為該圓內(nèi)接三角形三邊，若abc=16V2,則三角形面積為(C )A. 22 B. 82C.羽D.*題型分類深度剖析題型一運(yùn)用正弦定理求解三角形例1 在磁中.b=f29 5=45° 求角人6和邊C思維啟迪已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊,可運(yùn)用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解判斷解：由正弦定理得冊(cè)r島，計(jì)件二五備,sin A 二辱Va>b , :.A = 60?；駻 = 120°.當(dāng) A=

4、60cW, C=180°-45o-60o=75°fbsin C V6+a/2sin B 2；當(dāng) A=120°時(shí),C= 180°-45°-120° = 15°, cbsin C a/6/2=sin B =2探究提高(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，運(yùn)用正弦定理求另一邊對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.變式訓(xùn)練1已知a, b, c分別是ZUBC三個(gè)內(nèi)角A, B. (7所對(duì)邊，若« = b b=9 A+C=2B,則人=解析:A +

5、 C = 2Bf ：.B = j.由正弦定理知sin A二竺瀘詁.題型二 運(yùn)用余弦定理求解三角形cos R b例2在AABC中，a、b、c分別是角A、B. C對(duì)邊，且亦尼=一石二(1) 求角B大小；(2) 若方=伍，a+c=4,求AABC面積.a2 + c2 - b2解(1)由余弦定理知:cosB =2ac嚴(yán)得:2a+ca2 + b2 c2cos R將上式代入課a2 + c2 b2 2abMea2 + b2 c? 2a+ ca2 + c2 - b2 - ac j整頓得：以+以，二皿 AcosB =血一二二亍為三角形內(nèi)角，B二.將 b=y13, a+c=4, J=|n 代入 t>=a +c

6、a2accos B,得 (a+c)'2ac2accos B, 13=16探究提高(D依照所給等式構(gòu)造特點(diǎn)運(yùn)用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題核心.(2)純熟運(yùn)用余弦定理及其推論，同步還要注意整體思想、方程思想在解題過程中運(yùn)用.變式訓(xùn)練2已知A、B、(7為ZUBC三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)邊分別為a、b、c,且2COS嶺+COS A=0.求角A值；(2)若a=2羽，b+c=4,求ZUBC面積.A解 (1)由 2cos' +cos A=0 .得 1 + cosA +cos A = 0 f 即 cos A 二孑222ttV0<4<n/(2)由余弦定理得，a2 = b2 + c

7、1 2Zfccos A , A 二警，則 a2 = (b+ c)2 be ,又“二2羽 f b+c = 4 ,W 12 = 42 bc,貝! bc = 4f 故 Sa ABC 二 gbesin A 二羽.題型三正、余弦定理綜合應(yīng)用例 3.在A4BC 中，a、b、c 分別是角 A、B C對(duì)邊已知 2血(sir? A-sin2C) = (“ )sinB,AABC外接圓半徑為x/2 .(1)求角c大?。?(2)求AABC面積最大值.解：(1) V AABC 外接圓半徑為 VL 且 2>/2(sin2 A - sin2 C) = (a - )sin B ,即(2>/2sinA)2 -(2&

8、gt;/2sinC)2 = («-/?)2>/2 sin B , A 由 正弦定 理得：a2 -c2 = (a-b)h,即lab 2+b2 c2 = ab ,由余弦定理得：cosC= =-= , C e (0,C =探究提高 在已知關(guān)系式中，若既具有邊又具有角.普通思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合 正、余弦定理即可求角.變式訓(xùn)練3在AABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a, b, c.(1) 若c=2, C=p且AABC面積為伍 求a, 0值；(2) 若 sin C+sin(B-A)=sin24,試判斷AABC 形狀.解(l)-：c = 2tC = jt/.由余

9、弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcos Ca2 + b2 ab = 4又 AABC 面積為© #詁sin C 詡 5二4.聯(lián)立方程組a2+ b2 ab 二 4 ,由 sin C + sin(B A)二 sin 24 # 得 sin(A +B) + sin(B A) = 2sin Acos A ,即 2sin Bcos A = 2sin A cos Acos A(sin A sin B) = 0 #A cos A 二 0 或 sin A sin B = 0 #當(dāng) cosA = 0 時(shí)，*：0<A<n , AA=j / AABC 為 角三角形;當(dāng)sin Asin

10、B二0時(shí)，得sin B = sin A #由正弦定理得a=b ,即zMBC為等腰三角形A AABC為等腰三角形或直角三角形思想辦法感悟提高辦法與技巧1正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課重點(diǎn)，運(yùn)用三角形內(nèi)角和、邊、角之間關(guān)系，三角函數(shù)變形 公式去判斷三角形形狀，求解三角形,以及運(yùn)用它們解決某些實(shí)際問題.2 應(yīng)純熟掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A+B + C二冗，今+敦手二井互補(bǔ)和互余狀況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減 少角種數(shù)3正、余弦定理公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A = sin2B + sin2C - 2sin B sin C-cos A,可以逬行化簡(jiǎn)或證明4 依照所給條件擬定三角形形

11、狀，重要有兩種途徑：（1）化邊為角：（2）化角為邊，并慣用正弦（余弦）定理 實(shí)彳亍邊、角轉(zhuǎn)換失誤與防范在運(yùn)用正弦定理解已知三角形兩邊和其中一邊對(duì)角求另一邊對(duì)角，逬而求岀其她邊和角時(shí)，有時(shí)也許浮現(xiàn)解、兩解或無解，因此要進(jìn)行分類討論.過關(guān)精練一、選取題1. 在AABC 中，A =60。，a=4y/3, b=Ayi,則等于（）A. 45?；?35。B. 135° C. 45° D.以上答案都不對(duì)2. ZUBC中，若/+滬+聲=力2（02+滬），則角f度數(shù)是（）A. 60° B. 45°或 135。C. 120° D. 30°3. 在AABC

12、中，枕=2O,Smc=5J3,AABC外接圓半徑為石，則°=（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 224. 在MBC中，已知b =運(yùn),c = l,B = 45°,則"等于（）A.、區(qū)_'込B.C. a/2 + 1 D. 3-V22 25.在 A4BC41 ab = 2,|AC| = 3,BA 走=3,則 Z4等于（）A. 120°B. 60°C. 30°D. 150°6.在44BC中，a:b:c = 3:5:7 9則這個(gè)三角形最大角為（）A. 30° B. 90° C. 120° D.

13、 60°7.在ZkABC 中,已知三邊之比d：b:c = 2：3:4,則sinA-2sinB =() sin2CA. 1 B. 2 C. -2 D丄2& AABC中，邊a hc對(duì)角分別為 A.C,且 A=2B, a = -b, cosB=()2A. L B. 1 C. ? D. 22334二、填空題9.在厶ABC中，已知2sinAcosB=slnC,那么 ABC形狀是三角形10. 在銳角MBC中，心b9 c分別為角A, B, (7所對(duì)邊，且壓=2csin£則角C=11. 在AABC 中，邊 a, b, c 對(duì)角分別為 As B、C,且sin2 A + siir C-si