信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析第三章

1、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605001二元的信號(hào)檢測(cè)模型統(tǒng)計(jì)的基本步驟(1) 做出合理假設(shè)(2) 確定所要遵循的最佳準(zhǔn)則(3) 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲取所需的先驗(yàn)知識(shí)(4) 形成規(guī)則，劃分域(5) 設(shè)計(jì)最佳，計(jì)算統(tǒng)計(jì)性能3.2信號(hào)檢測(cè)模型檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虷0 :()0 t TH1 : x (t )二元通信系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虷0 : x ( ) = ()0 t TH1 : x (t ) =)3.1 引言幾個(gè)概念 假設(shè)：對(duì)檢驗(yàn)對(duì)象的所有可能的結(jié)果的陳述。 假設(shè)檢驗(yàn)：基于觀測(cè)信號(hào)在幾個(gè)假設(shè)中選取一個(gè)的判決。 先驗(yàn)知識(shí)：觀測(cè)者事先具備的知識(shí)。 后驗(yàn)知識(shí)：對(duì)觀測(cè)信號(hào)分析后

2、重新形成的關(guān)于信號(hào)的知識(shí)。本章內(nèi)容3.1 引言3.2 信號(hào)檢測(cè)模型3.3 統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則3.4 統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則的推廣3.5 白噪聲中已知信號(hào)的檢測(cè)3.6 色噪聲中已知信號(hào)的檢測(cè)3.7 隨機(jī)參量信號(hào)的檢測(cè)信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析第3章 噪聲中的信號(hào)檢測(cè)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050023.3.3最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則尋找合適的門(mén)限 th 使二元假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)平均錯(cuò)誤概率Pe = P ( H0 ) P (D1 H0 ) + P ( H1 ) P (D0 H1 )= P ( H ) f ( x( H ) th f ( x H ) dx0 th1 - 1達(dá)到最小。 dPf (th H1 ) P ( H

3、0 )即令得=dthf (th H 0 ) P ( H1l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 ) = th相應(yīng)的規(guī)則為f ( x H0 ) H0 P ( H )3.3.2最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虷0 : x = - A + nH : x = A + n 根據(jù)觀測(cè)樣本，選擇最可能產(chǎn)生這種觀測(cè)樣本的那個(gè)信號(hào)為信源輸出的信號(hào)。H1(| ) P ( H0 | x)H0 相應(yīng)的規(guī)則為l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 ) = thf ( x H0 ) H0 P ( H1 )例：目標(biāo)回波信號(hào) s (t ) = 1 ，噪聲 n (t ) % N (0,1

4、) ，利用單個(gè)觀測(cè)樣本進(jìn)行檢測(cè)。H0 : x = nH1 : x = 1+ nf ( x H )0f ( x H )1調(diào)整門(mén)限可以折衷考慮兩類(lèi)錯(cuò)誤概率x四類(lèi)概率3.3.1幾個(gè)基本概念 P (D1 H0 )（第一類(lèi)錯(cuò)誤概率，即虛警概率，用 Pfa 或a 表示）：H 0 為真但為 H1 P (D0 H1 )（第二類(lèi)錯(cuò)誤概率，即漏警概率，用 b 表 示）：H1 為真但為 H0 的概率 P (D0 H0 ) ：H0為 H0 的概率 P (D1 H1 ) （檢測(cè)概率，用 PD 表示）：H1判為 H1 的概率3.3 統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則3.3.1 幾個(gè)基本概念3.3.2 最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則3.3.3 最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)

5、則3.3.4 平均風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則3.3.5 極大極小準(zhǔn)則3.3.6 -準(zhǔn)則3.3.7 似然比檢驗(yàn)分類(lèi) 二元假設(shè)檢驗(yàn)二元簡(jiǎn)單假設(shè)檢驗(yàn)二元復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn) M 元假設(shè)檢驗(yàn) 連續(xù)信號(hào)的檢測(cè) 離散信號(hào)的檢測(cè) 多樣本檢測(cè)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605003當(dāng)先驗(yàn)概率 p 未知時(shí)，按照推 的先驗(yàn)概率( p1 ,1- p1 )來(lái)設(shè)計(jì)檢驗(yàn)，規(guī)則為 f ( x H1 ) H1 p (C - C ) 1 10 00 f ( x H0 ) H0 (1- p1 )(C01 - C11 )此時(shí)所付的平均代價(jià)C ( p, p1 ) = C00 p +( - ) ()( 1 )(1- p)設(shè)先驗(yàn)概率 P (

6、 H0 ) = p ，則規(guī)則為 f ( x H1 ) 1 p (C10 - C00f ( x H0 ) H0 (1- p )(C01 - C11 )代價(jià)為Cmin ( p) = pC00 1-a ( p) + C10a ( p)+(1- p)( ) + C11 1- b ( p)= C00 p + C11 (1- p) p)(1- p)3.3.5極小極大準(zhǔn)則 準(zhǔn)則要求已知先驗(yàn)概率和各種代價(jià)函數(shù)；極小 大準(zhǔn)則應(yīng)用于僅僅知道代價(jià)函數(shù)Cij (i, j = 0 ,1) ,而先驗(yàn)概率 P ( Hi ) (i = 0,1) 未知的情況。 極小極大準(zhǔn)則：把使最小平均代價(jià)（代價(jià)）取得最大值所對(duì)應(yīng)的概率當(dāng)作先

7、使用。令 dC = 0解得f (th H1 ) = P ( H0 )(C10 - C00 )dthf (th H )( )(C01 - C11 )則規(guī)則為l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 )(C10 - C00 ) = thf ( x H0 ) H0 P ( H1 )(C01 - C11 )另一種求解R = R0 U R13.3.4平均風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則是需要付出代價(jià)的，引入代價(jià)函數(shù)Cij (i, j = 0 ,1)一般 C10 C00 , C01 C11 則所付的平均代價(jià)為C = P(H0 ) C00 P(D0 H0 ) + C10 P(D1 H0 )+ P(H1 ) C

8、01P(D0 H1 ) + C P(D H )目標(biāo)：尋找合適的門(mén)限 th ，使平均代價(jià)達(dá)到最小。例二元通信系統(tǒng)，其單樣本的二元假設(shè)檢驗(yàn)為H0 : x =- A + n H1 : x = A + n其中A 0 ，噪聲 n % N (0,s 2 ) ，P ( H ) = P ( H ) = 1 2 10求基于最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則進(jìn)行的規(guī)則和最小錯(cuò)誤 概率。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050043.3.7似然比檢驗(yàn)前面幾種準(zhǔn)則下的規(guī)則都具有如下形式：l ( x ) = f ( x H1 ) H1 thf ( x H ) H0其中門(mén)限由具體的準(zhǔn)則來(lái)確定。 l ( x ) 與門(mén)限作比較的

9、變量稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H1 似然比檢驗(yàn)l ( x) thH0H1 似然比檢驗(yàn)的對(duì)數(shù)形式 ln l ( x) ln thH0例對(duì)于單樣本的檢測(cè)，有H0 : x = n H1 : x =1+ n其中噪聲 n % N (0,1) ，給定虛警概率 a = 10-3 。請(qǐng)求紐0曼-準(zhǔn)則的規(guī)則和檢測(cè)概率。采用日待定系數(shù)法L = P (D0 H1 ) + m P (D1 H0 )類(lèi)比平均代價(jià)，可得相應(yīng)的規(guī)則： f ( x H 1 ) H1( x H m = th0 ) H 0門(mén)限th 由 Pfa = a0 確定。3.3.6-準(zhǔn)則 -準(zhǔn)則是在先驗(yàn)概率和代價(jià)都難以確定的情況下處理假設(shè)檢驗(yàn)的有效準(zhǔn)則。 在保證虛警概率

10、小于等于某一給定值 (Pfa a0 ) 的約束條件下，使檢測(cè)概D 最大。其表示形式為max P ( D1 | H1 )s t. P ( D1 | H0 ) = a0推測(cè)值 p0 的求解 一曲C ( ) 取極大值： dCmin ( p)= 0mindpp= p 0 二 直線 C ( p, p ) 斜率等于零： C ( p, p1 )= 01pp1 = p0得10a ( p0 ) + 00 -a ( p0 ) = C01b ( p0 ) + C11 1- b ( p0 )（極小極大方程）Cmin 以及 C ( p, p1 ) 與 p 的曲線中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605005

11、3.4.2 多樣本假設(shè)檢驗(yàn)多樣本假設(shè)檢H0 : xi = A0 + niH : x = A + ni = 1, 2, N1 i1i 記 x = N 。的目標(biāo)是將N維觀測(cè)空間T劃分為互斥的R0 , R1 兩個(gè)區(qū)域，使平均代價(jià) C 達(dá)到最小。 相應(yīng)的 H1 ) = (N H1 ) H1 = P ( H0 )(C10 - C00 )= thH0 )N H0 ) H0 P ( H1 )(C01 - C11 ) 令 Cii = 0, Cij 1 ，規(guī)則成最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則或最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則下的規(guī)則，即HiP (Hi x ) P (Hk x ), k = 0,1, M -1, k i 可進(jìn)一步表示成形式：l

12、 ( x) = f ( x H ) Hi P ( Hk ), j = 0,1, M -1, k i f ( x Hk )( i )得M -1C = P ( Hi )Cii + xR P (H j )(Cij - C jj ) f (x H j )dxi=0i =0i j =0, j i定義M -1Ii ( x) P (H j )( ijjj ) (x H j ) j =0, j i則Ri = x : I ( x) Ik ( x), k = 0,1, M -1, k i規(guī)則為HiIi ( x)Ik ( x ), k = 0,1, M -1, k i3.4.1元假設(shè)檢驗(yàn)M元假設(shè)下的 M 種假設(shè) H

13、0 ,H1 ,HM -1 ，先驗(yàn)概率 P( H0 ),P( H1 ),P( HM -1 )代價(jià)函數(shù) Cij (i, j = 0,1, M -1)，則統(tǒng)計(jì)付出的平均代價(jià)為：M -1 M -1(D H ) P Hij( j )i=0 j =0 M 元假設(shè)下的檢驗(yàn)就是根據(jù)使平均風(fēng)險(xiǎn)最小的準(zhǔn)測(cè)空間 R 劃分為互斥的 Ri (i = 0,1, M -1)。 當(dāng) x Ri ，則判 Hi 為真。3.4統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則的推廣3.4.1 M元假設(shè)檢驗(yàn)3.4.2 多樣本假設(shè)檢驗(yàn)3.4.3 序貫檢驗(yàn)3.4.4 復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)3.4.5 分集技術(shù)與多檢測(cè)器檢測(cè)數(shù)據(jù)融合幾種準(zhǔn)則的門(mén)限值 th 最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則/最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則：

14、th = P ( H0 ) P ( H1 ) 平均風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則： th = P ( H0 )(C - C00 )P ( H1 )(C01 - C11 ) 極小極大準(zhǔn)則：th = p0 (C10 - C00 ) (1- p0 )(C01 - C11 ) 準(zhǔn)則： th 由給定的虛警概率確定。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050063.4.3序貫檢測(cè) 序貫檢測(cè)：事先不規(guī)定樣本數(shù)而留待實(shí)驗(yàn)過(guò)程中確定的假設(shè)檢驗(yàn)。 二元序貫假設(shè)檢測(cè)：在虛警概率Pfa a 和漏警概率PD 1- b 的約束下，從所獲得的第一個(gè)數(shù)據(jù)序列開(kāi)始進(jìn)行似然比檢 驗(yàn)，若能做出明確，檢驗(yàn)結(jié)束；若不能做出，則采用新接收的數(shù)

15、據(jù)與前面已有的數(shù)據(jù)按照同樣的規(guī)則進(jìn)行，直至能做出為止。例對(duì)于4元多樣本檢測(cè)：H0 : xi =- H1 : xi = -1+ nii = 1, 2, NH2 : xi = 1+ niH3 : x = 2 + ni其中 n % N (0,s 2 ) 且相互，各種假設(shè)出現(xiàn)的概率彼此i相等。請(qǐng)分析基于最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則下的檢測(cè)性能。多樣本與單樣本下的性能比較f ( x H )0f ( x H )1f ( x H 0 )f ( x H )1漏警概率虛警概率門(mén)限增加觀測(cè)樣本數(shù)使得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中的信噪比增強(qiáng)， “累積”技術(shù)例對(duì)于二元通信系統(tǒng)中的多樣本檢測(cè)，有H0 : xi =- Ai = 1, 2, NH

16、1 : xi = A + ni假定 P ( H ) = P ( H ) = 1 2 ，噪聲 n % N (0,s 2 ) 且相互。01i請(qǐng)分析基于最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則下的系統(tǒng)檢測(cè)性能。-準(zhǔn)則 max P ( D1 | H1 ) s.t. P ( D1 | H0 ) = a0即H1 ) H1 m = thH0 ) H0門(mén)限 th 由下式確定P ( D1 | H ) = th f (l (x) | H0 )dl = a0在N維觀測(cè)空間中有一系列面可以滿(mǎn)足虛警概率的約束條件，從眾多的面中找出一個(gè)使檢測(cè)概率達(dá)到最大值的。雙樣本檢測(cè)下二維觀測(cè)空間的域劃分示意圖面的方程式為： l (x) = th中國(guó)科學(xué)

17、技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050073.4.4 復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)信號(hào)檢測(cè)中除了由于噪聲對(duì)觀測(cè)樣本的影響使產(chǎn)生了不確定性以外，被檢測(cè)的信號(hào)的一些參量還可能是隨機(jī)的，稱(chēng)為隨機(jī)參量信號(hào)，對(duì)應(yīng)的檢測(cè)稱(chēng)為復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)。例二元假設(shè)檢驗(yàn)H0 : xi = niH : x = 2 + ni = 1, 2,1ii其中 n % N (0,1) 的白噪聲。先驗(yàn)概率 P ( H1 ) = P ( H0 ) ，虛警概率和漏警概率約束為 a0 = b0 = 0 05 。采用序貫似然比檢測(cè)，求結(jié)束所需的平均樣本數(shù)。結(jié)束所需的平均樣本數(shù)E N = E N H1P ( H1 ) + E N H0 P ( H0 )其中

18、E ln l (xN ) H0 a0 ln th1 + (1 - a0 )ln th0 E N H0E ln l ( x) H0E ln l (xN ) H1 (1- b0 )ln th1 + b0 ln th0 E N H1E ln l ( x) H1可以證明：當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)一定結(jié)束。序貫檢測(cè)的門(mén)限th 1- b0 或 ln th ln 1- b0 1a1 a 00 th b0 或 ln th ln b0 0 1- a0 1- a 00 規(guī)則為：ln l (x ) ln 1- b0 判為Hi a 1 0 b ln l (xi ) ln 0 判為H0 1- a0 b 1- b ln 0

19、 ln l (xi ) ln 接收下一個(gè)數(shù)據(jù) 1- a0 a0 序貫檢測(cè)的域序貫檢測(cè)的規(guī)則l (xi ) th1判為H1l (x ) th判為Hi00th l (x ) th 增加一個(gè)樣本，重新 0i1x i (i = 1, 2,) 為觀測(cè)樣本矢量，i為觀測(cè)樣本T數(shù)序號(hào)，隨著過(guò)程進(jìn)行不斷增加，直至做出為止；th0 ,th1 由給定的虛警概率a0和漏警概率b0 決定。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605008定義Ii (x) = P (H j )( f (x , H ( ( ) - C ( ) f ( )d1j )j jijjjjjjjj =0, j i基于準(zhǔn)則的規(guī)則：Ii (x

20、) Ik (x), k = 0,1, M -1, k i即R N = ), k = 0,1, M -1, k ikM元復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn) 與 Hi (i = 0,1,-1) 假設(shè)有隨機(jī)參量矢量為i ，先驗(yàn)概率密度函數(shù)為 f (i ) ，先驗(yàn)概率為 P ( Hi ) ，代價(jià)函數(shù)為 C j ( j ) 系統(tǒng)所付的平均代價(jià)：M -1 M -1C = P (H j ) ( ) Cij ( j ) P (Di j , H )f ( )d ji=0 j =0jM -1 M -1= P (H j ) ( ) f (x , H )C ( )dx f ( )d j xRnj j ij jjji =0 j =0i C0

21、0 = C11 = 0，C10 = C01 = 1 ，則基于最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則和最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則的規(guī)則： ( f (x , H1 ) f1 () d H1 P ( H )l (x) =)0 f (x , H1 ) f0 () d H0 P ( H1 )( ) C00 = C11 = 0 ，P ( H1 )C01 = 1 ，P ( H0 )C10 = th ，則基于-皮爾遜準(zhǔn)則的規(guī)則：( f (x , H1 ) f1 () dl (x) =) th()1 0 ) d H0基于準(zhǔn)則的規(guī)則： C01 () - C11 () f (x , H1 ) f1 () d H1 P ( H )l (x) = (

22、 )0 = th C10 () - C00 () f (x , H0 ) f0 () d H0 P ( H1 )( ) 若各類(lèi)代價(jià)函數(shù)與隨機(jī)參量矢量 和 無(wú)關(guān)，則 ( f (x , H1 ) f1 () d H1) ( H )l (x) =)0 = th( f (x , H0 ) f0 () d H0) ( H1 ) 似然比為平均似然比 系統(tǒng)所付的 均代價(jià)：C = P ( H0 ) () C00 () P (D0 , H0 ) + C10 () P (D1 , H0 ) f0 () d+ P ( H1 ) () C01 () P (D0 , H1 ) + C11 () P (D1 , H1 )

23、 f1 () d= P ( H0 ) ( C00 () f0 ()d + P ( H1 ) C01 () f1 () d)() + xRN P ( H0 ) C10 () - C00 () f (x , H0 ) f0 () ddx1 ( ) - xRN ( P ( H1 ) C01 () - C11 () f (x , H ) f () ddx1) 二元復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn) 與 H 假設(shè)有隨機(jī)參量矢量為 = f ,f ,f T ，先01 2m驗(yàn)概率密度函數(shù)為 f0 ()，先驗(yàn)概率為 P ( H0 ) ，代價(jià)函數(shù)為C00 (), C10 () 。 與H 假設(shè)有隨機(jī)參量矢量為 = q ,q ,q T ，

24、先11 2n驗(yàn)概率密度函數(shù)為 f1 () ，先驗(yàn)概率為 P ( H1 ) ，代價(jià)函數(shù)為 C11 (), C01 () 。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605009適合于連續(xù)信號(hào)檢測(cè)的最佳在 Hi 假設(shè)下的似然函數(shù)2 f (x (t ) Hi ) = F exp x (t ) - si (t ) dt N 0連續(xù)信號(hào)的似然比規(guī)則TH10 s1 (t ) - s0 (t ) x (t ) dt thH0其中s2 (t ) - s2 (t ) dt210相關(guān)(a)(b)當(dāng)假設(shè)為 Hi (i = 0,1) 時(shí)，樣本 xk 的似然函數(shù)為：1 ( x - s )2 f ( x H ) =e

25、xp - k ik k i2ps2s 2n此時(shí)樣本矢量的似然函 1 N 2 N ( x - s )2 x H ) =f ( x H exp - k ik ik 2ps 2 2s 2 nk =1n 似然比規(guī)則為：) H1(th) + 1 ()s 2 lnsT s - sT s = th1 0n1 1 0 0 H02其中 s = s , s , s T , s = s , s , s T111 121N001 020 N記 x = T ，其似然比檢驗(yàn)為Nl (x) = f (N H1 ) H1 thfN H0 ) H0如果這N個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)，則N f ( xk H1 ) Hl ( ) = k =1 1

26、 thN f ( x H ) H0k0k =13.5.1 最佳二元假設(shè)檢驗(yàn)：(t ) = s( )H : x (t ) =)0t T其中 s0 (t ) s1 (t ) 是確知信號(hào)，n (t ) 是均值為零、功率譜密度為 N0 2 的 白噪聲。在 0,T 內(nèi)對(duì)接收信號(hào)采樣， 獲得N個(gè)觀測(cè)樣本：k = s0k + nkH : x = s + nk = 1, 2, N1 k1kk3.5白噪聲中已知信號(hào)的檢測(cè)3.5.1 最佳3.5.2 通收機(jī)的性能3.5.3 系統(tǒng)的最佳性能3.5.4 匹配濾波器3.5.5 M元通信系統(tǒng)3.5.6 已知信號(hào)的分集接收中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 006605

27、0010相干頻移鍵控系統(tǒng)（CFSK） 在內(nèi)可能發(fā)射信號(hào)s0 (t ) = Asin w0ts (t ) = Asin w t0 t T11 規(guī)則TH10 s1 (t ) - s0 (t ) x (t ) dt 0H0 平均錯(cuò)誤概率Pe = 1- F( E N0 ) = 1- F( E1 N0 )相干相移鍵控系統(tǒng)（CPSK） 在 0,T 內(nèi)可能發(fā)射信號(hào)s0 (t ) = Asin wct0 t Ts1 (t ) = Asin (wct + p ) = - Asin wct 規(guī)則HT10 x (t ) s1 (t ) dt 0H0 平均錯(cuò)誤概率Pe = 1- F ( 2E N0 ) = 1- F

28、( 2E1 N0 )假定通信源的先驗(yàn)概率近似相等，即 P ( H ) = P ( H ) = 1 ，01 2則二元通信系統(tǒng)的平均錯(cuò)誤概率為：Pe = exp - dx = 1- F ( (1- r ) E N0 ) 1 x2 a 2 2p 2 最佳二元通信系統(tǒng)定義參數(shù)：E = 1 ( E + E ) = 1 T s2 (t ) dt + T s2 (t ) dt 2 012 0 00 1E0 和 E1 分別表示信號(hào)s0 (t ) 和s1 (t ) 的能量，E 表示信號(hào)s (t ) 和 s1 (t ) 的平均能量；r = 1 T s (t ) s (t ) dt E 0 01r 表示s0 (t

29、) 和s1 (t ) 的時(shí)間互相數(shù)。可證明： r 13.5.2通收機(jī)的性能 通收機(jī)性能通常用平均錯(cuò)誤概率來(lái)衡量，設(shè)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TT P ( H )G = s (t ) - s (t ) x (t ) dt + 1 s2 (t ) - s2 (t ) dt H1 N0 ln0 0 10 2 0 01 2 P ( H ) H01 條件下E G | H =- 1 T s (t ) - s (t )2 dt, Var G | H = N0 T s (t ) - s (t )2 dt02 0 01 02 0 01 H1 條件下E G H = 1 T s (t ) - s (t )2 dt,G H = V

30、ar G H 1 2 0 01 10相關(guān)（a）（b）中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050011定義系統(tǒng)輸出的峰值信噪比為 1 22S (w ) H ( jw ) e jwt0 dwSNR = so (t0 ) = 2p -o E n2 (t )N H ( jw ) 2 dwo0 4p -利用不等式222- F (t )Q (t ) dt F (t ) dt - Q (t ) dt（只有當(dāng) F (t ) = CQ* (t ) ，C為任意，上式等式才成立）3.5.4 匹配濾波器 匹配濾波器是基于最大輸出信噪比準(zhǔn)則的最佳 最大輸出信噪比準(zhǔn)則就是輸出信號(hào)峰值的瞬時(shí)功率與噪聲的平均功率

31、之比為最大的準(zhǔn)則 線性濾波器的輸入輸出模型輸入： x (t )輸出： y (t )(o )其中 s (t ) 是確知信號(hào)，n (t ) 是功率譜密度為 N 2 的廣義0平穩(wěn)白噪聲。工作特性（ROC） 虛警概率= 1 - x2 = - F (h ) = aPfa h 2p exp 2 dx 1 檢測(cè)概率1 x2 PD = h - 2 E Nexp - dx = 1- F(h - 2E1 N0 )1 0 2p2 檢測(cè)概率與各參量間3.5.3系統(tǒng)的最佳性能兩種假設(shè)H0 : ()H : x (t ) s)0 t T1其中 n (t ) 是零均值，功率譜密度為 N0 2 的白噪聲。 規(guī)則TH10 s (

32、t ) x ( ) H0其中s2 (t ) dt22開(kāi)關(guān)載波鍵控系統(tǒng)（OOK） 在 0,T 內(nèi)可能發(fā)射信號(hào)s0 (t) = 00 t Ts1 (t) = Bsinwct 規(guī)則T x (t ) s (t ) dt 1 1 E0110 平均錯(cuò)誤概率Pe = 1- ()- F ( E1 2N0 )中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050012匹配濾波器相關(guān)3.5.5 M元通信系統(tǒng) M元假設(shè)檢驗(yàn)Hi x (t ) = s (), 0 t T , i = 0,1, M -1其中 n (t ) 是均值為0、功率譜密度為N 2 的白噪聲0T1 i = jrij = 0 si (t ) s j

33、(t ) dt = dij Edij = 0 i j 基于最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則的規(guī)則為T(mén)Hi T0 si (t ) x (t ) dt 0 s j (t ) x (t ) dt, j = 0,1, M -1, j i性質(zhì) 在所有的線性濾波器中，匹配濾波器輸出信噪比最大，SNRo max = E ( N0 2)。 H ( jw ) = S (w ) (w ) = -j (w ) - wtjhs0 輸出信噪比達(dá)到最大的時(shí)刻 t0 T 與 s(t) 匹配的濾波器對(duì) s1 (t ) = As (t -t ) 同樣匹配 匹配濾波器對(duì)頻移信號(hào)不再匹配 匹配濾波器的輸出信號(hào)是輸入信號(hào)的時(shí)間自相關(guān)函數(shù) 匹配濾波器

34、和相關(guān)器的等效性匹配濾波器的時(shí)域特性h (t ) = F -1 ( jw ) = 1 S* (w ) e jw(t -t0 )dw = s* (t - t )2p -0 對(duì)于實(shí)信號(hào) s (t ) ，有 h (t ) = s (t0 - t )可得信噪比 1 2 dwSNR 2p -= E = 2EoN 2N 2 N000傳輸函數(shù)設(shè)計(jì)為H ( jw ) = CS* (w )e- jwto 且取 C = 1 時(shí)，E系統(tǒng)輸出達(dá)到最大信噪比為 N 2 。0S (w )中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050013工作特性（ROC） 選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為M TG = 0 xi (t ) si

35、(t ) dti =1 虛警概率和檢測(cè)概率分別為：= 1 - x2 = - F (h ) Pfa h2p exp 2 dx 11 x2 PD = h - 2 E Nexp - dx = 1- F (h - 2ET N0 )T 0 2p 2 其中h = th 2 N0 ET相關(guān)考慮一個(gè)多站系統(tǒng)，M部特性一致的在觀察時(shí)間T內(nèi)接收信號(hào)，記為 x1 (t ), x2 (t ), xM (t ) ，對(duì)應(yīng)的二元假設(shè)檢驗(yàn)H1 : xi (t ) = s (i )H : x)0 t T , i = 1, 2, M0i 似然比規(guī)則為M TH1 xi (t ) si (t ) dt thi=1 0H0 N01 M

36、其中th =ln th + Ei 。22 i=13.5.6已知信號(hào)的分集接收利用分集技術(shù)可以信號(hào)檢測(cè)的性能 時(shí)間分集 頻率分集 空間分集 極化分集M元系統(tǒng)的檢測(cè)性能 以第i個(gè)相關(guān)器輸出作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TGi = 0 ( ) sit, i = 0,1, M -1 推導(dǎo)得平均錯(cuò)誤概M -1Pe = Pe (H j ) P (H j ) j =022M -1= - 1 - z z 2 E N 1 - u1e 2 0e 2 du dz- 2p -2p 平均錯(cuò)誤概率與各參量間中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050014令Q (w ) = S (w ) e jwt0 , F (w ) = S

37、n (w )H ( jw )2p Sn (w )2p2SNR 1 dwo 2p - S (w )nS* (w )當(dāng) H ( jw ) = ce- jwt0 時(shí)，等式成立。Sn (w ) 廣義匹配濾波器等價(jià)于白化濾波器和匹配濾波器的級(jí)聯(lián)。S (w )3.6.3 廣義匹配濾波假定在 t = t0 時(shí)刻輸出信號(hào)達(dá)到峰值，此時(shí)濾波器輸出的信噪比為 1 22S (w ) H ( jw ) e jwt0 dwSNR = so (t0 ) = 2p -o E n2 (t ) 1 S (w ) H ( jw ) 2 dwon2p -利用不等式222- F (t )Q (t ) dt - F (t ) dt -

38、 Q (t ) dt 選取 H (w ) = 1 ，此時(shí) S (w ) = S (w ) H (w ) 2 = 11S (w )n1n1n 該白化濾波器 h1 (t ) 是實(shí)現(xiàn)的 噪聲白化之后，再對(duì)信號(hào) s1 (t ) 進(jìn)行匹配濾波。匹配濾波器的傳輸函數(shù)為：S* (w )H (w ) = S * (w ) e- jwT =e- jwT2s1S - (w )n 整個(gè)系統(tǒng)傳輸函數(shù)為：S * (w )H (w ) = H (w ) H (w ) =e- jwT 12S (w )n預(yù)白化濾波器h1 (t)的構(gòu)造 要使n (t ) 為白噪聲，要求 H (w ) 2 = 11 1Sn (w ) 若噪聲的功

39、率譜密度Sn (w ) 滿(mǎn)足-條件，即- 12 dw +則 S (s) = S (s) S - (s)nnn其中 S (s), S - (s) 分別表示所有零極點(diǎn)都在 s 平面的左半nn平面（對(duì)應(yīng)正時(shí)間函數(shù)）和右半平面（對(duì)應(yīng)負(fù)時(shí)間函數(shù)）。 有 S (w ) = S - (-w )nnln Sn (w )3.6.1 預(yù)白化 將接收信號(hào)通過(guò)沖激響應(yīng)為 h1(t) 的白化濾波器。 轉(zhuǎn)化為白噪聲中已知信號(hào) s1 (t ) 的檢測(cè)，可用相關(guān)或匹配濾波器完成。 檢測(cè)過(guò)程如下圖所示3.6色噪中的已知信號(hào)的檢測(cè)3.6.1 預(yù)白化3.5.2 卡亨南-展開(kāi)3.6.3 廣義匹配濾波3.6.4 色噪聲中已知信號(hào)的檢測(cè)

40、3.6.5 性能分析中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生課程信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析 0066050015采用K-L展開(kāi)系數(shù)作為接收信號(hào)樣本:x (t ) = x f (t ), x = T x (t ) f (t ) dtk kk 0kk其中 0 n (t -t ) fk (t ) dt = k k (t ), 0 t T此時(shí)的似然比檢驗(yàn)為：l ( x (t ) = lim l (x) = lim f (N H1 ) 1 thHN fN 0 ) 03.6.4色噪聲中已知信號(hào)的檢測(cè)二元假設(shè)檢驗(yàn)：H0 : x (t ) = s ()0 t TH1 : x (t ) = s)其中s0 (t ) 和 s1 (t ) 是已知信

41、號(hào)， n (t ) 是均值為零、自相關(guān)函數(shù)為Rn (t ) 的色噪聲。性質(zhì) 齊次方程，核函數(shù)，本征值，本征函數(shù)， 核，對(duì)稱(chēng)核，(半)正定核 厄核對(duì)應(yīng)的本征值是實(shí)數(shù) 實(shí)對(duì)稱(chēng)核對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是個(gè)實(shí)函數(shù) 正定核對(duì)應(yīng)的本征值是個(gè)正數(shù)T 反核 0 Rn ( 1 - t2 ) n (t2 - t3 ) dt2 d ( 1 3 ), 0 t1, t3 T卡亨南-展開(kāi)系數(shù) xk k2,) 的獲?。ㄏ嚓P(guān)器 接收信號(hào)x (t ) = ()其中 n t 為零均值相關(guān)函數(shù)為 Rn (t ) 的廣義平穩(wěn)聲。 將x 在完備的歸一化正交函數(shù)集上展開(kāi)x (t ) = x f (t ), x = T x (t ) f * (t ) dtk kk 0kk 系數(shù) xk 是隨量，若它們 不相關(guān)（即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立），可將它們視為觀測(cè)樣本進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)。T 條件0 Rn (t1 - t2 ) f j (t2 ) dt2 = lj f j (t1 ), 0 t1 T3.5.2 卡亨南-（K-L）展開(kāi) 歸一化正交函數(shù)集：定義域?yàn)?,T 的函數(shù)集T f (t )