高考數(shù)學(xué)專題（四）數(shù)學(xué)開放性問題怎么解

1、'、了扎第如dr秤尺星柚乳盡我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel高三數(shù)學(xué)專題(四)數(shù)學(xué)開放性問題怎么解數(shù)學(xué)開放性問題是近年來高考命題的一個新方向，其解法靈活且具有一定的探索性，這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為 ：規(guī)律探索型，問題探究型，數(shù)學(xué)建模型，操作設(shè)計型，情景 研究型如果未知的是解題假設(shè)，那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標(biāo)，那么就稱 為結(jié)論開放題;如果未知的是解題推理，那么就稱為策略開放題當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)高考題中的 開放題其“開放度”是較弱的 ，如何解答這類問題，還是通過若干范例加以講解 例1設(shè)等比數(shù)列a 的公比為q ,前n項和為Sn，是否存在常數(shù)

2、c，使數(shù)列Sn - c也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)c ；若不存在，請明理由.講解存在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手，逐步深化解題進(jìn)程的.設(shè)存在常數(shù)c，使數(shù)列'Sn - cf成等比數(shù)列.2'(Sn c)(Sn 2 c)二(Sn 1 c)-Sn Sn 2 一 Sn 1 =c(2SnS Sn 2(i)當(dāng)q = 1時，Sn = nai代入上式得n(n +2) -印"n +1 f 丸印(a(n +1) -n (n + 2)】即a12=0 但印=0，于是不存在常數(shù)c，使怎飛?成等比數(shù)列.(ii)S =a(1-qn)1-q代入上式得2 n-a1 q(1-q)2(1-qnF(F

3、aq -1當(dāng)前第1頁共10頁'、了扎第如dr秤尺星柚乳盡我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤尺星柚乳盡我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel綜上可知，存在常數(shù)c = -a，使'Sn - c?成等比數(shù)列q 1當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類，極易忘記公比q = 1的情形，可不要忽視??！例2 某機(jī)床廠今年年初用 98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、

4、保養(yǎng)費(fèi)用 12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.(1) 寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利(盈利額為正值)；(3 ) 使用若干年后，對機(jī)床的處理方案有兩種：(i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該機(jī)床；(ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該機(jī)床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由講解 本例兼顧應(yīng)用性和開放性，是實際工作中經(jīng)常遇到的問題(1) y = 50x -12x耳 4 _ 982-2x2 40x - 98 .(2)解不等式

5、2x2 40x-98 > 0,得10 - .51 v xv 10.51.x N,故從第3年工廠開始盈利(3) (i)y = -2x 40 - 98 =40 -(2x 98) W 40-2.2 98 =12 xxx當(dāng)且僅當(dāng)2x 時，即x=7時，等號成立.12X 7+30=114 萬元.x到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利2 2(ii)y=-2x +40x-98= -2(x-10 )+102 ,當(dāng) x=10 時，ymax=102.故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具已知函數(shù)f(x)=(x

6、<-2)當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn 1(1) 求f (x)的反函數(shù)f (X)；求an;設(shè) a1=1, =-f-1(an)( n ",an +設(shè)S=a12+a22+, +an2, bn=S+1-S是否存在最小正整數(shù) m使得對任意n N有bn一 成25 立？若存在，求出 m的值；若不存在說明理由.講解本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問題，具有一定的典型性和探索性(1)T x<-2

7、, x=即 y=f-1(x)= -,41( x>o).丄=42an1an 12an 1 丄是公差為4的等差數(shù)列 an/ ai=i,12an4 +4( 41)=4a1n-3./ an>0 ,an=J4n -32(3)bn=S+1 - S=a4n十1由bn<,得2525n>對于n N成立.4n 1當(dāng)前第3頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn25< 5 ,4n 1 n>5,存在最小正數(shù) m=6,使得對任意n N有bn< m成立.251 1為了求an ,我們先求 冷，這是因為冷是等差數(shù)列，試

8、問：你能夠想到嗎？該題是 anan構(gòu)造等差數(shù)列的一個典范.例4已知數(shù)列an中,a1 = 1,且點(diǎn)P(an,an1)(n N)在直線x-y+1=o上.(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2)若函數(shù)f(n)1n a1+n a2+n a3+.1 (n N,且n 一 2), n an當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn求函數(shù)f(n)的最小值;設(shè)bn丄,Snan表示數(shù)列b n的前n項和.試問:是否存在關(guān)于n的整式g(n

9、),使得當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cn當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/wn. txjy c». cnSS2SSn4 =(Sn -1) g(門)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，說明理由.講解從規(guī)律中發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)中探索.當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel；an - an 1 仁0”"” a<i a 2 +1 = 0,

10、a? _ a 3 1 = 0,an 丄 f an T = 0,以上各式相加，得aan - n -1 = 0, a a1 - n -1 二 n.f( n)=二丄n +1 n +22nf(n 1)=1 1 1+ + +2n 2n 1 2n 2f (n 1)-f(n)=2n 11 1+2n 2 n 11 1+2n 2 2n 2=0.f(n)是單調(diào)遞增的,故 f(n)的最小值是f (2 .12111；bnsn = 1,n2n1SnSn 丄二 (n 一 2),即 n Sn - (門一 1)SnJ SnJ 1,n(n -1)Sn-(n -2)Snd =Sn/1.2s2 - ® = S| 1,ns

11、n -® = $ 飛卷 川 snn -1,3s2丁'SnJ=nsn-n 二(sn-1)n(n _ 2),. g(n)二 n.故存在關(guān)于n的整式g(n)二n,使等式對于一切不小 2的自然數(shù)n恒成立.事實上，數(shù)列an是等差數(shù)列，你知道嗎？例5 深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車公司一一紅色出租 車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85唏口 15%據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色，并對證人的辨別能力作了測試， 測得他辨認(rèn)的正確率為 80%于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑.請問警察的認(rèn)定對紅色出租車公平

12、嗎？試說明理由.講解 設(shè)該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：證人所說的顏色(正確率80%真藍(lán)色紅色合計實藍(lán)色(85%680170850顏紅色（15%30120150色合計7102901000從表中可以看出，當(dāng)證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為120 .0 41,而它290是藍(lán)色的概率為170壯0 59.在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車顯290 ”然是不公平的本題的情景清新，涉及到新教材中概率的知識，上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性，在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見的例6向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六 年來的

13、規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個不同的信息圖：（A） 圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 2萬只雞；（B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個.請你根據(jù)提供的信息解答下列問題：（1 ）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？（2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？講解（1）設(shè)第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為 an，平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞 bn萬只,由圖（B）可知，印=30，a6 =10,且點(diǎn)（n,an）在一直線上，（n =1,2,3,4,5,6）,從而 an =34-4n, n = 1,2,3,4,5,6;由圖（A）可知,b =1,b6 =2,且點(diǎn)（

14、n,bn）在一直線上，（n =1,2,3,4,5,6）,n + 4于是bn,n =1,2,3,4,5,6;5a? =26（個）,b2=6 *2 （萬只），a2b2 -31.2 （萬只）5第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；（2）由 anbn =-2（ n-9）2311 ,當(dāng) n = 2時,（anbn） max 二 a2b2 二 31 .2 （萬只），544第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只.有時候我們需要畫出圖形，有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息，這正反映了一個事物的兩個方面.看來，讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.例7已知動圓過定點(diǎn) P（ 1，0），且

15、與定直線丨：X = -1相切，點(diǎn)C在I上.（1）求動圓圓心的軌跡 M的方程；（2） 設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為一的直線與曲線 M相交于A, B兩點(diǎn).（i ）問： ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；（ii ）當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，是解析幾何中的存在性問題.（1）由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，知曲線M的方程為y2=4x.當(dāng)前第7頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, celW ! I" 1 I （2）（ i

16、）由題意得，直線 AB的方程為y=r''3(X 1),由 <y 3 (X )，消 y 得 y2 =4x.2 13x2 -10x 3=0,解出 x1,x2 =3.曰A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1型）,3 3使厶ABC為正三角形，則假設(shè)存在點(diǎn)C （- 1, y）, 即有B(3-朋)，w諾|BC|=|AB| 且 |AC|=|AB| ,2j 216(3 也)+(y +2j3) =(§)1 i 2 丄2計)+(r16 216 2由得42 (y 2 3)2)2,因為y二4、3不符合，所以由，組成的方程組無解9故知直線I上不存在點(diǎn)C,使得 ABC是正三角形.（ii）設(shè)C （-

17、1，丫）使厶ABC成鈍角三角形，y=4x-2 3)乙33由 y 3(x J),得 $ =2. 3. x 7即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（一1, 2 3 ）時，三點(diǎn)A, B, C共線，故y = 2、. 3.21、2 z 2 3、2|AC| =(-1-3)()2843y2=十 y ?93(i)| BC |2=(3 1)2 (y 2.3)216 2256|AB匕)盲(ii)(iii)=284.3y y2 ,當(dāng) |BC|2 | AC |2 | AB|2 ,即 28 4 3y y2284 32y y256. ,92、3時，/CAB為鈍角9當(dāng) | AC |2 |BC|2| AB |2一加時CBA為鈍角.當(dāng) | AB

18、|2 | AC|2 -1 BC |2，即 2:一43_2 2 y y :>28 +43y + y 3256,9，即 2569譽(yù)子 y2 28 4，y y2，當(dāng)前第9頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel即y2十¥；3y十纟0 (y+三)2 £0.該不等式無解，所以/ ACB不可能為鈍角.3 '3',3故當(dāng) ABC為鈍角三角形時，點(diǎn) C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是103十 2晶一c匚、y 3 或y(y 2 .3).需要提及的是，當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時，鈍角的位置可能有三個，需要我們進(jìn)行一一 探

19、討例8已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)， 且對于任意的a, b R都滿足關(guān)系式f (a b) = af (b) bf (a).(1 )求 f (0), f (1)的值；(2) 判斷f (x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3) 若 f(2) =2,Un 二 f (2)(n N )，求數(shù)列-的前 n 項的和 S.n講解本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧(1 )在 f (a af (b) bf (a)中,令 a = b = 0,得f (0) = f(0 0) =0 f(0) 0 f(0) =0.在 f (a b)二 af (b) bf (a)中,令 a = b

20、= 1,得f (1 f (1 11 f (1)1 f (1)，有 f(1) =0.(2) f (x)是奇函數(shù)，這需要我們進(jìn)一步探索.事實上f(1) f 1)2 f(1) f (1)=0,f(-1)=0,f (-x) = f ( -1 x) = - f (x) xf ( -1) = - f (x),故f(x)為奇函數(shù).(2) 從規(guī)律中進(jìn)行探究，進(jìn)而提出猜想.由f(a2) =af(a) af(a) =2af(a),f(a3) =a2f(a) af(a2) =3a2f(a),5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5猜測f (an)二 nan 4 f (a).于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.1

21、 ° 當(dāng) n=1 時，f (a1) =1 Q0 f (a)，公式成立；kk 1°假設(shè)當(dāng)n=k時，f(a ) = ka f (a)成立，那么當(dāng)n=k+1時，當(dāng)前第11頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel當(dāng)前第#頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, celf(ak41) =akf (a) +af(ak)k) = ak f(a) kak f (a) = (k 1)ak f (a)，公式仍然成立.綜上可知，對任意n N, f (an)=nan - f (a

22、)成立.從而=d)n 丄.fd).2 2一 1 f (2) =2,f (1) = f(2 ) =2f 2Un 二丄(2) =-!42冷口-故 Sn =2吩)n1 1()f(2) =0,2 2Un 二(-丄)(1)n(nN),.2 21J-1(nN).例 9 若 a10 、 a12an (n = 1,2,.,)1 an(1)求證：a n 1 = a n ；令a12，寫出 a 2、a 3、a4、a 5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式an ；證明:存在不等于零的常數(shù) P，使an P是等比數(shù)列，并求出公比q的值.講解從而a n故an 1a1an(1)采用反證法.若an -an，即2an1 an解得

23、 an =0,，.0,1與題設(shè)a10 ,a11相矛盾,(3)因為所以(2a n成立.a32n 4 1 an 1 P _ (2a3a41617p)an2 ana n -1亠，P - 2q)an p(1 - 2q) =0 ,因為上式是關(guān)于變量 an的恒等式，故可解得=-1 .我們證明相等的問題太多了 ，似乎很少見到證明不相等的問題例10如圖，已知圓 A、圓B的方程分別是 x 2 2 y2,是這樣嗎？哼 X，y2當(dāng)前第13頁共10頁'、了扎第如dr秤元M貳犀刪施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：xua'a1 i.I2丿1(1) 求圓P的軌跡方程，并證明：當(dāng) a 時，點(diǎn)p到點(diǎn)b的距離與到定直線I距離2的比為定值；(2) 延長PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn) Q求PQ的最小值；(3) 如果存在某一位置，使得 PQ的中點(diǎn)R在I上的射影C,滿足PC _ QC,求a的 取值范圍.51