高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版第三版下冊課后答案習(xí)題全(陳策提mai供huan)

1、習(xí)題七1. 在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,- 3,- 4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：點A在第I卦限；點 B在第n卦限；點 C在第忸卦限；點D在xOy面上；點 E在yOz面上；點F在x軸上.2. xOy坐標(biāo)面上的點的坐標(biāo)有什么特點？yOz面上的呢？ zOx面上的呢？答：在xOy面上的點，z=0;在yOz面上的點，x=0;在zOx面上的點，y=0.3. x軸上的點的坐標(biāo)有什么特點？y軸上的點呢？ z軸上的點呢？答：x軸上的點，y=z=0;y軸上的點，x=z=0;z車由上的點，x=y=0.4. 求下列各對點之間

2、的距離：(1)(0, 0, 0), (2, 3, 4)；(2)(0, 0, 0),(2, -3, -4)；(3)(-2, 3, -4), (1 , 0, 3)；(4)(4, -2, 3),(-2, 1, 3).解：(1) .v22 32 4229(2) s = 22 (-3)2 (-4)2 二.29(3) s = , (1 2)2 (0 - 3)2 (3 4)2 二、67(4) s (2 -4)2 (1 2)2 (3 -3)2 = 3.5 .5. 求點(4, -3, 5)到坐標(biāo)原點和各坐標(biāo)軸間的距離解：點(4,-3,5)到 x軸，y軸，z軸的垂足分別為(4,0, 0), (0 , -3 ,0)

3、,(0 ,0 ,5)故S0 h42( -325 - 5 2乞二、(4 -4)2( -3 -0)2(5 - 0)2 二34Sy = , 4廠(二3一3廠52 = 41sz = , 42 (-3)2 (5 -5)2 =5.6. 在z軸上，求與兩點 A (-4 , 1, 7 )和B ( 3 , 5 , -2)等距離的點.解：設(shè)此點為M ( 0 , 0 , z),貝U(-4)2 12 (7 -z)2 =32 52 (-2 -z)214解得 z =14即所求點為M ( 0, 0,).97試證：以三點 A (4, 1, 9), B (10,-1, 6) , C (2, 4, 3)為頂點的三角形是等腰直角

4、三角形證明：因為 AB|=|AC|=7且有AC|2+|ABf=49+49=98=| BC|1故厶ABC為等腰直角三角形8.驗證：(a b) c = a (be).證明：利用三角形法則得證 見圖7-1圖7-19.設(shè) u = a -"b 2c, v = -a 3b c.試用 a, b, c 表示 2u - 3v.解：2 u -3v = 2(a - b 2c) -3(-a 3b-c)=2a -2b 4c 3a -9b 3c二 5a -11b 7c10.把厶ABC的BC邊分成五等份，設(shè)分點依次為D1, D2, D3, D4,再把各分點與試以 AB =c, BC 二a 表示向量 D1A, D2

5、A,D3A和 D4A.D1,A連接,解:D1A = BA - BD11ca52ca5D3 A = BA - BD3D4A = BA - BD43 -ca54 -ca.511.設(shè)向量OM的模是4,它與投影軸的夾角是60 °，求這向量在該軸上的投影解：設(shè)M的投影為M ，貝UPrjuOM = OMcos60 =4 1 =2.12. 一向量的終點為點 B ( 2, -1, 7),它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4,-4和7,求這向量的起點A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點 A的坐標(biāo)A(x, y, z)，貝UTAB =4, -4,7 =2 -x, T-y,7 -z解得 x=- 2, y=3, z=0 故A

6、的坐標(biāo)為 A(-2, 3, 0).P2 ( 7, 1 , 3)，試求:13. 一向量的起點是 P1(4，0，5)，終點是(1) RP2在各坐標(biāo)軸上的投影;(2)RP2的模;(3) PP2的方向余弦；(4)ax 二 PrjxP1P2 =3,(4)pp2方向的單位向量解:ay =PrjyRP； =1,az =PrjzPP2 = 一2PP2(7匚4)2 (1一0)2 (3-5)2、T4coscos:cos :二ppPP214.三個力 F 1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), 弦解：F 3=(3,-4,5)同時作用于一點.求合力R的大小和方向余R=(1-2+3，2+3-4，3-4+5)=(

7、2， 1， 4)175#| R h 22 12 4 /21cos 二 4.V212 R 1cos, cos =,V21x/21ea, eb, ec來表達(dá)15.求出向量a= i + j+k, b=2i- 3j+5k和c =-2i- j+2k的模，并分別用單位向量 向量a, b, c.解：| a |=、12一廠12 = .3| b F 22 (-3)2 52 = 38I c (-2)2 (-1)2 22 =3a =、3ea, b = 38eb, c = 3ec.16.設(shè) m=3 i+5j+8 k, n=2 i-4j-7 k, p=5i + j- 4k，求向量 a=4m+3 n- p 在 x 軸上的

8、投影及在 y 軸上的 分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2 i-4j-7k)- (5i +j-4k)=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=i3,在y軸上分向量為7j.417.解：設(shè)a二何，ay,az則有nc o s-3二 ax，aH 1- 1)177#求得ax設(shè)a在xoy面上的投影向量為b則有b=ax,ay,0ji貝y cos=4a b ''2 a G =ax2 ay22, ax2 ay2則ay求得ay又 a =1,則 ax +ay +從而求得a =1,1, _2 2aZ =1218.已知兩點 M1（ 2，5，-3），M2（3,-2，5），點 M 在線段 M1M2

9、上，且 M1M =3MM求向徑OM的坐標(biāo).解：設(shè)向徑OM = x, y, z#M1M 工x_2, y _5,z 3MM 2 二3 -x, -2 -y,5 -z因為,M1M =3MM2x -2 =3(3-x)所以，y-5=3(-2-y)=z 3=3(5-z)11x =411 1 故 OM =沖,3.19.已知點P到點A (0, 0, 12)的距離是乙OP的方向余弦是2 -，求點P的坐標(biāo).7772 2解：設(shè)P的坐標(biāo)為(X, y, z) , | PA| =xy22(z -12) =49cos又 cos：2-z 95 24 zZi = 6,Z257019z27Xi 二 2,X219049yX2 y2z

10、2285心 y249故點P的坐標(biāo)為P ( 2,3, 6)(190 285 570)' , , ).49 494920.已知a, b的夾角2n丁(2) (3 a-2b) =3, b= 4，計算:(a + 2 b).2冗1解: (1) a b = cos |a| |b| = cos3 43 4 = -632(1) a b;(3a-2b)(a2b)=3aa6ab-2ba-4bb=3|a |2 4a b-4|b|22= 3 34 (-6)-4 16»61.21. 已知 a =(4,- 2, 4), b=(6,- 3, 2),計算:(1)a b;(2) (2 a- 3b) (a + b

11、);(3)|a-b |2(2a-3b)=4 6 (-2) (-3) 4 2 =38(a b) =2a a 2a b-3a b -3b b=2|a |2 a b-3| bf-2 42 (-2)2 42 -38-362 (-3)2 22 =2 36 -38-3 49 二-1132 2 2 | a -b| =(a -b) (a -b)二 a a -2a b b b =| a| -2a b | b|= 36-2 38 49 = 922. 已知四點 A (1 , -2, 3), B (4, -4, - 3) , C (2, 4, 3), D (8, 6, 6),求向量 AB 在 向量CD上的投影.解：A

12、B=3 , -2, -6, CD=6 , 2, 3ABPrjCDAB 二D _ 3 6 (-2) 2 (-6) 34CDv 62223223.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.179#16a b-15 | b |2 = 0解：(a+3b) (7a-5b) = 7 |a |22 2(a-4b) (7a-2b) = 7| a | -30a b 8| b| = 02由及可得:a b a b 1(a b)1, , . ,2 2 2 2 | a | b |2| a | | b |41 2 宀a b1又 a b| b|0，所以 cost2| a | b

13、|21n故'-arccos.2 324. 設(shè)a=(-2,7,6),b=(4, - 3, - 8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線互相垂直證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a+ b,a b,且a+b=2,4, - 2a- b=-6,10,14又(a+ b) (a- b)= 2 x (-6)+4 x 10+(-2) x 14=0故(a+ b) _ (a- b).25. 已知 a =3i+2j - k, b = i-j +2 k,求:(1) a x b;(2) 2 a x 7 b; 7 bx 2a;(4) ax a.2 1-1 332解：(1) ab =i+j+

14、k = 3i_7j_5k-1 22 11-12a7b= 14(ab)=42 i- 98 j - 70 k7b2a = 14(ba)=T4(a b)=42i98j 70k a a 二 0.26.已知向量a和b互相垂直，且| a |=3, |b|=4.計算：(1) |(a+ b) x (a b)|;(2) |(3a+ b) x (a 2b)|.(1) |(a b) (a-b)=|a aa b b a-b b|=|-2(a b) |n=2|a | |b| sin24 |(3 a b) (a- 2b)|=|3a a- 6a b b a- 2b b|=|7(b a) |n=：7 3 4 sin 8422

15、7. 求垂直于向量 3i-4j-k和2i-j +k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦解:-4 axb =-132j-4-1 5 j+ 5k與a b平行的單位向量(亠j k)3| a b |I a | | b|5、32662618128. 一平行四邊形以向量 a =(2,1, 1)和b=(1, - 2,1)為鄰邊，求其對角線夾角的正弦 解：兩對角線向量為屛=a b = 3 i - j , 12 = a -b=i 3 j - 2k因為 111 l2 h|2i 6 j 10k |140,|1上帀|l 2卜14所以sin.|h|l 2|、140一帀、14#即為所求對角線間夾角的正弦.29. 已知三點

16、 A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，點 M , N , P 分別是 AB, BC, CA 的中點，證1 明：MN MP (AC BC).4證明：中點M , N , P的坐標(biāo)分別為3 1M(1,1,2), N(1,3,?), P(0,1,3)MN 二-2,2, -2MP =-1,0,|#AC =_4,4, -4#BC 珂-2,0,3#'22-2-2-2 23i +3j +0 -1-1 022MN MP 二k=3i 5 j 2k4 -4-44-4 4i +j +k= 12i + 20 i+ 8k0 33-2-2 0T TAC BC =MN MPBC).430.

17、 (1 )解： a b =azbzi j ax ay bx by=(aybz-azby)i+ (ajbx-ajbz)+ (axby-aybx)k則(a b) C= (aybz-azby) Cx+ (azbx-axbjCy +(axby-aybx) CaxbxCxaybyCyazbzCz若a,b,C共面，則有a b后與C是垂直的.從而(a b) C =0反之亦成立.(a b) C =axbxaybyazbzCx Cy Cz(b C)片bxa= CxbybzCy CzCxCyjy(C a) b =axaybxby由行列式性質(zhì)可得：axayazbxbxbybz=CxCxCyCzaxax ay az故

18、bybzCxCyCzCyCz=axayazayazbxbybzCzazbz7(a b) C = (b C) a =?C a) b31.四面體的頂點在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積 解：設(shè)四頂點依次取為A, B, C, D.AB =0,1,2, AD = 2, -2,13 .5則由A, B, D三點所確定三角形的面積為S J|AB AD|J|5i 4 j 2 k U 楚2 2 21同理可求其他三個三角形的面積依次為八2, . 3.2故四面體的表面積 S=1亠-2亠' 3 " 3 52 232解：設(shè)四面體的底為BCD，1VS BC

19、D h，3從A點到底面 BCD的高為h，則1831T14+BC XBD =_Vi _ j +8k22而 SBCD又二BCD所在的平面方程為：4x y-8zT5 = 04+18+15則 h= fJ16+1 +6433. 已知三點 A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，證：此三點共線證明：AB 二1,3,4 ,AC 二2,6,8顯然AC =2ABAB AC =AB 2AB =2(AB AB)=0故A，B，C三點共線.34. 一動點與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,- 4)垂直，求動點的軌跡方程解：設(shè)動點為M(x, y, z)IM0M 二x1,y -1,z-1因

20、 M0M _ n,故 M0M n =0.即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-仁0即為動點M的軌跡方程.35. 求通過下列兩已知點的直線方程：(1) ( 1，-2，1)，( 3,1,-1);( 2)( 3, -1，0)，( 1，0, -3) 解：(1)兩點所確立的一個向量為s=3 -1, 1+2 , -1-1=2 , 3, -2故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x -1 y 2z -1 亠 x -3y -1 z 123 一2 一23- 2(2) 直線方向向量可取為s=1 -3，0+1，- 3-0= -2，1，-3故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x-3 y 1 z 亠 x -1y z

21、3或 _-21-3-21-32x 3y z 4 = 036. 求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程、3x -5y +2z +1 =0解：所給直線的方向向量為3-5另取xo=O代入直線一般方程可解得 yo=7,zo=17 于是直線過點(0, 7，17)，因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x y -7 z _171 一 -7 - -19且直線的參數(shù)方程為：x =ty =7-7tIz =17 -19t37. 求過點(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x- 2y+6z=11平行故 n=3,-2,6，又過點(4,1,-2)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6( z+2

22、)=0即 3x-2y+6z+2=0.38. 求過點M°(1,7,-3)，且與連接坐標(biāo)原點到點M0的線段OM。垂直的平面方程解：所求平面的法向量可取為n= OM 0二1,7, -故平面方程為：x- 1+7(y- 7)- 3(z +3)=0即 x+7y- 3z- 59=039. 設(shè)平面過點(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為 z =12bb 2b又(1,2,-1)在平面上，則有12-112b b2b得 b=2.故所求平面方程為-=142440.求過（1,1,-1）, （-2,-2,2）和（1,-1,

23、2）三點的平面方程 解：由平面的三點式方程知X K|y %Z Z1X? z2 _z1=0X3 x1、3乂z3 _z1X1y-1z+1代入三已知點，有-212-12+1=01-1一1 一12+1化簡得x-3y-2z=0即為所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并畫出其圖形:（1）y =0;（2） 3x-仁0; 2x-3y-6=0; x -y =0; 2x- 3y+4z=0.解：y =0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）3x-仁0表示垂直于x軸的平面.（如圖7-3）185#圖7-2圖7-3x=3和y =-2的平面.（如圖7-4）（3）2x- 3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分

24、別為x -=0表示過z軸的平面（如圖 7-5）2x- 3y+4z=0表示過原點的平面（如圖7-6）.#圖7-4圖7-5圖7-642. 通過兩點（1, 1, 1 ,）和（2, 2, 2）作垂直于平面 x+y-z=0的平面. 解：設(shè)平面方程為 Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n =A,B,C 已知平面法向量為 叫=1,1,-1 過已知兩點的向量 l=1,1,1由題知 n ni=o, n 1=0即A+ 0 = c =0, A=B.A B C = 0所求平面方程變?yōu)?Ax-Ay+D=0又點（1, 1, 1）在平面上，所以有 D=0故平面方程為x- y=0.43. 決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2

25、z=9適合下列條件:（1）經(jīng)過點（5，-4，6）；n(2) 與平面2x- 3y+z=0成 的角.4解：（1）因平面過點（5，-4, 6）故有 5-4k-2 X 6=9得 k=-4.（2）兩平面的法向量分別為n1=1,k,-2n 2=2,-3,1且co»上亠Im肌|n 42二 cos-42187#解得k二44. 確定下列方程中的I和m: (1)平面 2x+ly+3z-5=0 和平面 mx-6y-z+2=0 平行;(2)平面 3x-5y+lz- 3=0 和平面 x+3y+2z+5=0 垂直. 解：(1) n 1=2, l,3,n2= m,-6,-1=182 l 32m ,l m-6-13

26、(2) n 1=3, -5, l ,n 2=1,3,2#E _ n2=3 1-5 3 l 2 = 0=丨=6.#45. 通過點（1, -1, 1）作垂直于兩平面解：設(shè)所求平面方程為 Ax+By+ Cz+ D=0 其法向量n=A,B,Cx-y+z-仁0和2x+y+z+仁0的平面.#aS CR-CBI 3n1=1,-1,1,n2=2,1,1n_m= A-B C=0 n _ 亞=2A B C =0又（1,- 1, 1）在所求平面上，故 A- B+C+D=0，得 D=0 故所求平面方程為2 cCx y Cz = 03 3即 2x-y- 3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-

27、j+2k的單位向量 解：ni=3, -1,7,n2=1, -1,2.n _ 厲，n _ n 2-1-1-1-1 " 5ij 2k則打5i j -2k).47.求下列直線與平面的交點：X-1y 1z(1)1,2x+3y+z-仁0;-26x 2y -1z -3,x+2y- 2z+6=0.2 一 3 一 2x =1 t解：（1 ）直線參數(shù)方程為*y = -1-2tz =6t代入平面方程得t=1 故交點為（2，-3，6）x - -2 2t(2)直線參數(shù)方程為y =1 3tz = 3 2t代入平面方程解得t=0.故交點為（-2, 1，3）求下列直線的夾角：#(1)5x-3y303x2y z T

28、 = 02x 2y - z 23 = 03x 8y z -1 8 = 0#(2)x2y _3 z -1-123y-3 _ z-8-1-2x =1#解：（1）兩直線的方向向量分別為:ijkS1=5, - 3,3 X3, - 2,1=5-33=3,4, - 13-21ijkS2=2,2, - 1 X 3,8,1=22-1=10, - 5,10381189由 Si S2=3 X10+4 ><-5)+( - 1) 10=0 知 S1 丄 S2n從而兩直線垂直，夾角為2（2）直線x -2y -3-12z -1二的方向向量為3y _3 z_8Si=4, - 12,3,直線 _1- -2的方程可

29、變x =1亠 2y _z 2=0、，為，可求得其方向向量 S2=0,2, - 1 <1,0,0=0, - 1, - 2,于是x仁0cos - S 今6= 0.2064|s| 囘135二 78 548. 求滿足下列各組條件的直線方程：（1）經(jīng)過點（2，-3，4），且與平面 3x-y+2z-4=0垂直；（2）過點（0, 2，4），且與兩平面 x+2z=1和y- 3z=2平行；（3）過點（-1, 2，1），且與直線彳=士蟲=匕!平行.2-13解：（1 ）可取直線的方向向量為sf3， -1， 2故過點（2，-3，4）的直線方程為x -2 y 3 z -43 一 -1 一 2（2） 所求直線平行兩

30、已知平面，且兩平面的法向量叫與n2不平行，故所求直線平行于兩 平面的交線，于是直線方向向量i jks = m 52=102=-2,3,101-3故過點（0，2，4）的直線方程為x y -2 z -4-2 一 3 一 1（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s=2， -1， 3故過點（-1，2，1）的直線方程為x 1 y _2 z _12 _ -1 _ 3 .49. 試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：（1）二以二 Z 和 4x-2y-2z=3;-2-73x y z（2）和 3x-2y+7z=8;3-2 7(3)x-23y 2Tz-34禾口 x+y+z=3.解：平行而不包含因為直線

31、的方向向量為s=-2, -7, 3平面的法向量n =4 , -2, -2，所以s n = (-2) 4 (-7) (-2) 3 (-2) =0于是直線與平面平行又因為直線上的點Mo (-3，-4，0)代入平面方程有 4 (-3)-2 (-4)_2 0 = 4 = 3.故直線不在平面上(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面 直線在平面上，因為 3111，(-4) 1=0,而直線上的點(2，-2，3)在平面上50. 求過點(1， -2， 1)，且垂直于直線X2yz_3 =x y -z 3 = 0的平面方程ijk解：直線的方向向量為1-21 =i + 2j + 3k ,11-1取平

32、面法向量為1，2，3，故所求平面方程為1 (1) 2(y 2)3(z -1 0即 x+2y+3z=0.51. 求過點(1，-2，3)和兩平面 2x-3y+z=3, x+3y+2z+仁0的交線的平面方程解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為2x-3y z-3/.(x 3y 2z *1)=0其中入為待定常數(shù)，又因為所求平面過點(1，-2，3)故 2 1-3 (一2) 3-3 ( 3 (-2) 2 3 1)=0解得入=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=052. 求點(-1，2，0)在平面x+2y- z+仁0上的投影.解：過點(-1，2，0)作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平

33、面的法向 量，即卩s=n=1，2，-1"x = T +t所以垂線的參數(shù)方程為y = 2 2tz 二-1將其代入平面方程可得 (-1+t)+2(2+2 t)-(-1)+仁0（-3,3自得-3 于是所求點（-1, 2, 0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點x + y z+1=0 砧口匚*53. 求點（3, - 1 , 2）到直線的距離.2x-y 十 z-4 =0解：過點（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量1 jk即 n=s = 11 一1= -3 j - 3k2 -11故過已知點的平面方程為y+z=1.x y - z 1 = 0I聯(lián)立方程組 2x-y

34、，z-4=0y z =1解得 x = 1, y =-132,z _21 3即（幻為平面與直線的垂足于是點到直線的距離為d = , (1 -3)2 (-1 1)2 (3 -2)2V2254. 求點（1，2，1）到平面 x+2y+2z-10=0 距離.解：過點（1，2，1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n =1，2，2x =1 t所以垂線的參數(shù)方程為 * y = 2 + 2tZ=1+2t1將其代入平面方程得t .3故垂足為（4,8,5），且與點（1，2，1 ）的距離為d =（丄）2+（2）2+（?）2 =13 3 3 333即為點到平面的距離.55. 建立以點（1，3，-2）為中心，

35、且通過坐標(biāo)原點的球面方程.解：球的半徑為 R =閒2 3 （-2）2= 14.設(shè)（x,y,z ）為球面上任一點，則（x- 1）2+（y-3）2+（z+2）2=14即x2+y2+z2- 2x- 6y+4z=0為所求球面方程.56. 一動點離點（2，0，-3）的距離與離點（4，-6，6）的距離之比為 3，求此動點的軌跡 方程.解：設(shè)該動點為 M(x,y,z)，由題意知2)1-91(-3)3.J(x-4)2+(y+6)2+(z 6)2化簡得：8x2+8 y2+8 z2- 68x+108y- 114z+779=0即為動點的軌跡方程57. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：（1）&弓

36、)2 y =(a)2；2 2(3)x-1;2（4） y -z94(5)2 x-y2 =0;2 2（6）x y解：(1)母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.=0；(2)母線平行于z軸的雙曲柱面，如圖7-8.2 2圖7-7圖7-8(3) 母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖 7-9.(4) 母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10.(5) 母線平行于z軸的兩平面，如圖 7-11.(6) z 軸，如圖 7-12.圖 7-11圖 7-1219558. 指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形:(1)x22 2 丄三=1;492 2(2) 36x2 9y2 -4z =36;(3)x2z22 22 y z(4)

37、x211 ;49#圖 7-13 以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖 單葉雙曲面，如圖 7-16.z軸，如圖7-17.60. 作出下列曲面所圍成的立體的圖形:(1) x2+y2+z2=a2 與 z=0,z= (a>0);22 z=4-x , x=0, y=0, z=0 及 2x+y=4;(2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;22(4) z=6- (x +y ),x=0, y=0, z=0 及 x+y=1.解：(1)半軸分別為1, 2, 3的橢球面，如圖7-13.(2) 頂點在(0，0，-9)的橢圓拋物面，如圖7-14.圖 7-147-15.圖 7-15 頂點在坐

38、標(biāo)原點的圓錐面，其中心軸是197解：(1) (2) ( 3) (4)分別如圖 7-18, 7-19, 7-20, 7-21 所示.圖 7-18#(1)蘭工蘭/與口二口 =三二81 36 93-642 2£ . y_1692三=1與丄4 4-3解：(1)直線的參數(shù)方程為x = 3 3ty = 4 - 6tz = -2 4t代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點坐標(biāo)為（3，4，-2），（6，-2, 2）（2）直線的參數(shù)方程為x =4t1 y = -3tz = 2 +4t代入曲面方程可解得t=1,得交點坐標(biāo)為（4，-3，2）.62.設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3,且位于距離xOy平面

39、5個單位的平面上，試建立這個圓的方程解：設(shè)（x, y, z）為圓上任一點，依題意有廠22小X +y =9z = 5即為所求圓的方程22263.試考察曲面1在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程9 254（1）平面 x=2;平面y=5;平面y=0;平面z=2.解：（1）截線方程為J + z2（5.5）2（2 .5）2x = 2=1其形狀為x=2平面上的雙曲線-2 2區(qū)+2（2）截線方程為 94）=0為xOz面上的一個橢圓.2x 截線方程為 （3、2）2（22）z22 二1y =5為平面y=5上的一個橢圓.'2 20（4）截線方程為925Z=2為平面z=2上的兩條直線.64.求曲線x2+

40、y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為2 2 .65.建立曲線x +y =z, z=x+1在xOy平面上的投影方程 解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為2 21 225x +y =x+1 即（x ） y .24-|-1 225故曲線在xOy平面上的投影方程為(x ) y ：24z = 0習(xí)題八1. 判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點 集和邊界：(1) ( x, y)|xz 0;2 2(x, y)|1 < x+y <4;2( x, y)|

41、y<x ;(4) ( x, y)|(x-1)2+y2w 1 U (x, y)|(x+1)2+y2w 1.解：開集、無界集，聚點集：R2，邊界：(x, y)|x=0.(2) 既非開集又非閉集，有界集，聚點集：(x, y)|1< x2+y2< 4,1112222邊界：(x, y)|x +y =1 U (x, y)| x +y =4.(3) 開集、區(qū)域、無界集，聚點集：(x, y)|yw x2,邊界：(x, y)| y=x2.(4) 閉集、有界集，聚點集即是其本身，邊界：(x, y)|(x-1)2+y2=1 u (x, y)|(x+1)2+y2=1.22 x2. 已知 f(x, y

42、)=x +y -xytan ,試求 f (tx,ty).ytx解：f (tx,ty) =(tx)2(ty)tx tytant2 f (x, y).ty3. 已知 f (u, v,w)二 uw wu v,試求 f (x y, x- y, xy).解: f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函數(shù)的定義域：2 1 1(1) z=ln(y -2x 1);(2)z；(x+y (x_ y201#(4)u 二(5)z 二(6)z = ln( y -x)#(7) u = arcco=.Jx2 +y2解：(1

43、)D 二(x,y)|y2 -2x 1 0.(2) D 二(x, y)|x y O,x-y 0.7. D =( x, y) |4x - y2 _0,1 -x2 - y2 0,x2 y2 D ( x, y,z) | x 0, y 0,z0.2(5) D 二( x, y) |x 0, y 一 0,x 一 y.2 22 y2 =0,x2 y2 -z2 _0.(6) D =( x, y) | y - x 0, x _ 0, x y : 1. D =( x, y, z) | x厶/ =°,x5. 求下列各極限:(1)l!m1y 0ln(x ey)x2 y21(2)lim -2;x >

44、76; x2 v2 y_”0 '203#xy1-1'譏y0sin xyJx2 2(6)lim i°S(xy )y )0(x2y2)e" 'y22- .xy 4 xy ;#解：原式晉e?皿(2)原式=+ s(3)原式=limUxy(2+Vx丙)xy( vxy 1 1) cxy 1-1原式=lim2.Ty e原式=訕沁廠1 0=0.xy#原式=叫yT2(x2 y2)2(x2 y2)ex2 y2limX0y )0x2 y22e(x2 "2)#6. 判斷下列函數(shù)在原點0(0, 0)處是否連續(xù):205#x2 y2 = 0,Isin (x3y3)(1)

45、z= x2y2#0,22小x y 0;工 sin (x3 y3-(2)z = <3)33x y0,x3y3x3y3-0,=0;#2 2(3) (2)z = x y +(x y)0,x2y2 =0;解：由于o空sin(x3 y3)x2y2又 lim( x y) = 0，且 limx_0x_0y0sin(X;0 y j0故 lim z = 0 二 z(0,0).x 0y j0x3y3x2y233、X y )x3y3sin(x3 y3)x3y3空(x y)sin u=lim1u Q usin (x3 +y3)x3y3#故函數(shù)在0(0,0)處連續(xù). lim zRimy二00 U十 z(0,0)

46、=0#故0(0,0)是z的間斷點.(3)若P(x,y)沿直線y=x趨于(0，0)點，則y 02 2=1,#若點P(x,y)沿直線y=-x趨于(0，0)點，則limx0 y -_x0z = limx02 2X (-x)2 2 2x (-x)4x二 limx )0x2-0# f (x,y)=y2 2xy2 -2x故lim z不存在故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).x )0y)07. 指出下列函數(shù)在向外間斷：2x 一 y(1) f (x,y)= 33；x十y#x22 2(3) f (x,y)=ln(1 - x - y );(4)f (x,y)=0,廠0,y =0.#解：因為當(dāng)y=-x時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點處間斷，而在其余點處均連續(xù).因為當(dāng)y2=2x時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在拋物線 y=2x上的所有點處間斷而在其余各點 處均連續(xù)因為當(dāng)x2+y2=1時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點處間斷而在其余各點 處均連續(xù)因為點P(x,y)沿直線y=x趨于0(0,0)時.x Jlim f (x, y) = lim 2 e v0jo x2y =x0故(0，0)是函數(shù)的間斷點，而在其余各點處均連續(xù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):-：x207-：x#2 x(1)z = x