第2章 2.3 2.3.1 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、.2.3雙曲線(xiàn)2.3.1雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目的：1.理解雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程難點(diǎn)2.理解雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，能求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程重點(diǎn)、難點(diǎn)3.能用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程處理簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知教材整理雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P39P40例1以上部分，完成以下問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)方程1a>0，b>01a>0，b>0焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1c,0，F(xiàn)2c,0F10，c，F(xiàn)20，ca，b，c之間的關(guān)系c2a2b2判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a0，b0且ab.2在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b和焦點(diǎn)F2c

2、,0滿(mǎn)足a2b2c2.3雙曲線(xiàn)y2x21的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上4在雙曲線(xiàn)1中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±5,0解析1方程1中，a>0，b>0.ab時(shí)也是雙曲線(xiàn)，故不正確；2在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a2b2c2.故不正確3根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)，正確4在1中，c，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，±答案1×2×34×合 作 探 究·攻 重 難求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)以下條件，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q；2c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,2，焦點(diǎn)在x軸上. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392073】精彩點(diǎn)撥解答1可分情況設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組求解，從而得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)

3、方程也可以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2ny21mn<0的形式，將兩點(diǎn)代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程解答2利用待定系數(shù)法自主解答1法一：假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1a>0，b>0，點(diǎn)P和Q在雙曲線(xiàn)上，解得舍去假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1a>0，b>0，將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得解得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2ny21mn<0P，Q兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，解得所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2法一：依題意可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為1a>0，b>0依題設(shè)有解得所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二：焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為1其中0<<6雙曲線(xiàn)

4、經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,2，1，5或30舍去所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.名師指津1用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的一般步驟2求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)1定位：“定位是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在“標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；2定量：“定量是指確定a2，b2的詳細(xì)數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解再練一題1雙曲線(xiàn)與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，4，求雙曲線(xiàn)的方程解橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F10，3，F(xiàn)20，3，故可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1.由題意，知解得故雙曲線(xiàn)的方程為1.雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的討論1假如方程1表示雙曲線(xiàn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_2 “ab<0是“方程ax2by2c表示雙曲線(xiàn)的_條件

5、填“必要不充分、“充分不必要、“充要和“既不充分也不必要3假設(shè)方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392074】精彩點(diǎn)撥根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式組求解自主解答1由題意知2m1m0，解得2m1.故m的取值范圍是2，12假設(shè)ax2by2c表示雙曲線(xiàn)，即1表示雙曲線(xiàn)，那么<0，這就是說(shuō)“ab<0是必要條件，然而假設(shè)ab<0，c等于0時(shí)不表示雙曲線(xiàn)，即“ab<0不是充分條件答案12，12必要不充分3由方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，得解得m>5.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是5，名師指津方程表示雙曲線(xiàn)的條件及參數(shù)范圍的求法1對(duì)于方程1，當(dāng)m

6、n0時(shí)表示雙曲線(xiàn).進(jìn)一步，當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).2對(duì)于方程1，那么當(dāng)mn0時(shí)表示雙曲線(xiàn).且當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).3方程所代表的曲線(xiàn)，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式組求解參數(shù)的取值范圍.再練一題2討論1表示何種圓錐曲線(xiàn)？它們有何共同特征？解由于k9，k25，那么k的取值范圍為k<9,9<k<25，k>25，分別進(jìn)展討論1當(dāng)k<9時(shí)，25k>0,9k>0，所給方程表示橢圓

7、，此時(shí)，a225k，b29k，a2b216，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)4,0，4,02當(dāng)9<k<25時(shí)，25k>0,9k<0，所給方程表示雙曲線(xiàn)，此時(shí)，a225k，b2k9，c2a2b216，這些雙曲線(xiàn)也有共同的焦點(diǎn)4,0，4,03當(dāng)k>25時(shí)，所給方程沒(méi)有軌跡.雙曲線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形探究問(wèn)題1雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)M與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，其中MF1，MF2，F(xiàn)1F2為三角形的三邊，在焦點(diǎn)三角形中，常用的關(guān)系式有哪些？提示焦點(diǎn)三角形中，常用的關(guān)系式有：1MF1MF2±2a；2SMF1·MF2·sinF1MF2；3F1F

8、MFMF2MF1·MF2·cosF1MF2.2在雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形中，如何確定它的面積？隨著F1PF2的變化，F(xiàn)1PF2的面積將怎樣變化？提示由公式SPF1·PF2sinF1PF2，cosF1PF21，PF1·PF2.從而得SF1PF20<<，0<<，在內(nèi)，是單調(diào)遞減的，當(dāng)增大時(shí)，S減小設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上且滿(mǎn)足F1PF290°，求F1PF2的周長(zhǎng)及F1PF2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392075】精彩點(diǎn)撥由雙曲線(xiàn)定義、勾股定理建立方程組，求出PF1與PF2的長(zhǎng)，或利用整體代入法先求PF1PF2

9、與PF1·PF2，再求周長(zhǎng)與面積自主解答法一：點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)1上，|PF1PF2|4，F(xiàn)1F24.又F1PF290°，F(xiàn)1PF2為直角三角形，PFPFF1F32.列方程組解得或F1PF2的周長(zhǎng)為PF1PF2F1F244，F(xiàn)1PF2的面積為PF1·PF222224.法二：同解法一得|PF1PF2|4，F(xiàn)1F24，PFPF32.|PF1PF2|2PFPF2PF1·PF2，即16322PF1·PF2，PF1·PF28.PF1PF22PFPF2PF1·PF2321648，PF1PF24.F1PF2的周長(zhǎng)為PF1PF2F1F244，F(xiàn)1

10、PF2的面積為PF1·PF2×84.名師指津在雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線(xiàn)的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)，另外，還經(jīng)常結(jié)合PF1PF2±2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與PF1·PF2的聯(lián)絡(luò)，表達(dá)了數(shù)學(xué)中的一種整體思想.再練一題3F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF12PF2，那么cosF1PF2_.解析由雙曲線(xiàn)方程得a，b，那么c2.因?yàn)镻F1PF22，且PF12PF2，所以PF14，PF22，而F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2.答案當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1假設(shè)kR，方程1表示雙曲線(xiàn)，那么k的取值范圍是_解析據(jù)題意知k3k20，解得3k2.答案3，22平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F15,0和F25,0，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1PF2|6，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_解析由條件可知，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，且a3，c5，那么b2c2a216，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1.答案13橢圓1與雙曲線(xiàn)1有一樣的焦點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a_.解析由條件可得4a2a2，解得a1.答案14雙曲線(xiàn)8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)為0,3，那么實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)解析方程可化為1.由條件可知9，解得k1.答案15根據(jù)以下條件，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程1以橢圓1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)；2與雙曲線(xiàn)1有一樣的焦點(diǎn)