第3章 3.3 冪函數(shù)

1、.3.3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目的：1.掌握冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)重點(diǎn)2.熟悉1,2,3，1時(shí)的五類(lèi)冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其特點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)3.能利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決綜合問(wèn)題難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yxR叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)考慮：冪函數(shù)yx與指數(shù)函數(shù)yaxa>0且a1有什么樣的區(qū)別？提示冪函數(shù)yx的底數(shù)為自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，指數(shù)函數(shù)yax中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量2冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象3­3­1：圖3­3­12五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)性質(zhì) yxyxyx2yx3

2、yx1定義域R0，RR，00，值域R0，0，R，00，奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調(diào)性R上增0，上增，0上減0，上增R上增，0上減0，上減公共點(diǎn)1,1 根底自測(cè)1考慮辨析1函數(shù)yx是冪函數(shù)2函數(shù)y2x是冪函數(shù)3冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限解析1.函數(shù)yx符合冪函數(shù)的定義，所以是冪函數(shù)2×.冪函數(shù)中自變量x是底數(shù)，而不是指數(shù)，所以y2x不是冪函數(shù)3×.冪函數(shù)yx2過(guò)第二象限答案12×3×2以下所給函數(shù)中，是冪函數(shù)的是Ayx3By3xCyxDyx21C冪函數(shù)的形式為yx，只有C符合3以下函數(shù)中，在，0上是增函數(shù)的是Ayx3Byx2CyDyxA結(jié)合函數(shù)圖象，易知

3、yx3在，0上為增函數(shù)，應(yīng)選A.4冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，那么f4_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60462245】2設(shè)fxx，f442.合 作 探 究·攻 重 難冪函數(shù)的概念1在函數(shù)yx2，y2x2，yx12，y3x中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為A0B1C2D32冪函數(shù)fxm22m2 2在0，上是減函數(shù)，那么m_.思路探究1由冪函數(shù)yx的定義，從“底數(shù)只有x，且x的系數(shù)必須為1，指數(shù)只能是常數(shù)這三個(gè)方面判斷2利用冪函數(shù)的概念可得到關(guān)于m的關(guān)系式，解之即可解析1根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有yx2是冪函數(shù)，所以選B.2fxm22m2x在0，上是減函數(shù)，m1.答案1B21規(guī)律方法1.只有形如yx其中為任意實(shí)數(shù)，x為自

4、變量的函數(shù)才是冪函數(shù)，否那么就不是冪函數(shù)2判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的根據(jù)是該函數(shù)是否為yx為常數(shù)的形式，函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且：1指數(shù)為常數(shù)，2底數(shù)為自變量，3底數(shù)系數(shù)為1.形如y3x，y2x，yx5，形式的函數(shù)都不是冪函數(shù)反過(guò)來(lái)，假設(shè)一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，那么該函數(shù)也必具有這一形式跟蹤訓(xùn)練1fxm22mxm2m1，m為何值時(shí)，fx是：1正比例函數(shù)？2反比例函數(shù)？3二次函數(shù)？4冪函數(shù)？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60462246】解1假設(shè)fx為正比例函數(shù)，那么m1.2假設(shè)fx為反比例函數(shù)，那么m1.3假設(shè)fx為二次函數(shù)，那么m.4假設(shè)fx為冪函數(shù)，那么m22m1，所以m1±.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1

5、如圖3­3­2所示，圖中的曲線(xiàn)是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象，n取±2，±四個(gè)值，那么相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60462247】圖3­3­2A2，2B2，2C，2,2，D2，2，2冪函數(shù)yx3m9mN*的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在0，上單調(diào)遞減，求滿(mǎn)足a3<52a 的a的取值范圍思路探究1根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)確定相應(yīng)的函數(shù)圖象；2先利用冪函數(shù)的定義、奇偶性、單調(diào)性確定m的值，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解關(guān)于a的不等式解1考慮冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的增減性注意當(dāng)n>0時(shí)，對(duì)于yxn，n越大，yxn增幅越快

6、，n<0時(shí)看|n|的大小根據(jù)冪函數(shù)yxn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng)n>0時(shí)，n越大，yxn遞增速度越快，故C1的n2，C2的n，當(dāng)n<0時(shí)，|n|越大，曲線(xiàn)越陡峭，所以曲線(xiàn)C3的n，曲線(xiàn)C4的n2，應(yīng)選B.答案B2因?yàn)楹瘮?shù)在0，上單調(diào)遞減，所以3m9<0，解得m<3，又mN*，所以m1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以3m9為偶數(shù)，故m1，那么原不等式可化為a3 <52a .因?yàn)閥x在，0，0，上單調(diào)遞減，所以a3>52a>0或52a<a3<0或a3<0<52a，解得<a<或a<3.規(guī)律方法冪函數(shù)的

7、性質(zhì)如下：(1)在區(qū)間(0，)上都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1，1).(2)假設(shè)>0，那么冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間0，)上是增函數(shù).當(dāng)0<<1時(shí)，在第一象限內(nèi)為拋物線(xiàn)形，且開(kāi)口向右；當(dāng)>1時(shí)，在第一象限內(nèi)為拋物線(xiàn)形，且開(kāi)口向上.(3)假設(shè)<0，那么冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)為雙曲線(xiàn)形，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸；當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸.跟蹤訓(xùn)練2冪函數(shù)yxm23m4mZ的圖象如圖3­3­3所示，那么m的值為圖3­3­3A1<m<4B0或2C1或3

8、D0,1,2或3D冪函數(shù)不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，那么m23m4<0.解得1<m<4，又mZ.那么m0,1,2,3.又該函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)m0或3時(shí)，yx4；當(dāng)m1或2時(shí)，yx6.均滿(mǎn)足題意，所以選D.冪值的大小比較探究問(wèn)題1指數(shù)函數(shù)yaxa>0，且a1的單調(diào)性與實(shí)數(shù)a有什么關(guān)系？?jī)绾瘮?shù)yx在0，上的單調(diào)性與有什么關(guān)系？提示：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)yax單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)yax單調(diào)遞減當(dāng)>0時(shí)，冪函數(shù)yx在0，上單調(diào)遞增；當(dāng)<0時(shí)，冪函數(shù)yx在0，上單調(diào)遞減223.1和23.2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？

9、二者的大小關(guān)系如何？提示：23.1和23.2可以看作函數(shù)fx2x的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)fx2x單調(diào)遞增，所以23.123.2.32.30.2和2.20.2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？提示：2.30.2和2.20.2可以看作冪函數(shù)fxx0.2的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)fxx0.2在0，上單調(diào)遞減，所以2.30.22.20.2.比較以下各組數(shù)的大?。?【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60462248】11.10.1,1.20.1；20.240.2,0.250.2；30.20.3,0.30.3,0.30.2.思路探究指數(shù)式比較大小底數(shù)一樣利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，指數(shù)一樣利用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大

10、小解1由于要比較的數(shù)的指數(shù)一樣，考察函數(shù)yx0.1，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.2由于要比較的數(shù)的指數(shù)一樣，考察函數(shù)yx0.2，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)?.24<0.25，所以0.240.2>0.250.2.3首先比較指數(shù)一樣的兩個(gè)數(shù)的大小，考察函數(shù)yx0.3，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?.2<0.3，所以0.20.3<0.30.3.再比較同底數(shù)的兩個(gè)數(shù)的大小，考察函數(shù)y0.3x的單調(diào)性，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?.2<0.3，所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3&

11、lt;0.30.3<0.30.2.母題探究：.改變問(wèn)法例3中的12，你能否利用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)比較它們的大小呢？解1令1.10.1a,1.20.1b，那么log1.1a0.1，log1.2b0.1，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出ylog1.1x與ylog1.2x的大致圖象，如圖作直線(xiàn)y0.1，交圖象于A，B兩點(diǎn)，那么a<b，即1.10.1<1.20.1.2令0.240.2c,0.250.2d，那么log0.24c0.2，log0.25d0.2，在同一坐標(biāo)系中作出ylog0.24x與ylog0.25x的大致圖象，如圖，作直線(xiàn)y0.2，交圖象于D，C兩點(diǎn)，那么c>d，即0.240.2>

12、0.250.2.規(guī)律方法利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小的三種根本方法當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1給出四個(gè)說(shuō)法：當(dāng)0時(shí)，yx的圖象是一個(gè)點(diǎn)；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,0，1,1；冪函數(shù)的圖象不可能出如今第四象限；冪函數(shù)yx在第一象限為減函數(shù)，那么<0.其中，正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是A1B2C3D4B當(dāng)0時(shí)，函數(shù)yx的定義域?yàn)閤|x0，xR，故不正確；當(dāng)<0時(shí)，函數(shù)yx的圖象不過(guò)0,0點(diǎn)，故不正確；正確2以下函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60462249】DA中定義域和值域都是R；B中定義域和值域都是0，；C中定義域和值域都是R；D中定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，3設(shè)，那么使函數(shù)yx的定義域是R，且為奇函數(shù)的所有的值是A1,3B1,1C1,3D1,1,3A當(dāng)1時(shí)，yx1的定義域是x|x0，且為奇函數(shù)；當(dāng)1時(shí)，函數(shù)yx的定義域是R，且為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)yx的定義域