第2章 2.1 2.1.2　橢圓的幾何性質(zhì)(二)

1、.2.1.2橢圓的幾何性質(zhì)二學(xué)習(xí)目的：1.進(jìn)一步穩(wěn)固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)重點(diǎn)、難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系設(shè)Px0，y0，橢圓1ab0，那么點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下所示：1點(diǎn)Px0，y0在橢圓內(nèi)1.2點(diǎn)Px0，y0在橢圓上1.3點(diǎn)Px0，y0在橢圓外1.2直線與橢圓的位置關(guān)系1判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法將直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程假設(shè)0，那么直線和橢圓相交；假設(shè)0，那么直線和橢圓相切；假設(shè)b0相交，兩個(gè)交點(diǎn)為Ax1，y1、Bx2，y2，那么線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長度叫做弦長下面

2、我們推導(dǎo)弦長公式：由兩點(diǎn)間的間隔 公式，得|AB|，將y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到3直線和橢圓相交是三種位置關(guān)系中最重要的，判斷直線和橢圓相交可利用0.例如，直線l：ykx21和橢圓1.無論k取何值，直線l恒過定點(diǎn)2,1，而定點(diǎn)2,1在橢圓內(nèi)部，所以直線l必與橢圓相交考慮：直線和橢圓有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，推導(dǎo)出的弦長公式是什么？提示|AB|y1y2|.根底自測1考慮辨析1點(diǎn)P1,2在橢圓1上2直線l：kxyk0與橢圓1相交3假設(shè)直線ykx2與橢圓1相切，那么k.提示1在橢圓外2

3、32點(diǎn)3,2在橢圓1上，那么【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122115】A點(diǎn)3，2不在橢圓B點(diǎn)3，2不在橢圓上C點(diǎn)3,2在橢圓上D無法判斷點(diǎn)3，2、3，2、3,2是否在橢圓上C3,2與3,2關(guān)于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知，選C.3經(jīng)過橢圓1ab0的焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸所截得的弦長為_答案合 作 探 究攻 重 難點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系1點(diǎn)pk,1在橢圓1外，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為_2橢圓4x2y21及直線yxm，當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍；當(dāng)m1時(shí)，求直線與橢圓的相交弦長；求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程解1由題意知1，解得k或k所以k的取值范圍為2聯(lián)立消去y得5x22mxm210.*因

4、為直線和橢圓有公共點(diǎn)，4m245m210，即m2，m.所以m的取值范圍為.設(shè)交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立得5x22x0.由題意得0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x20，那么弦長|x1x2|.3設(shè)交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，對于*式，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，那么弦長|x1x2|.由上式可知，當(dāng)m0時(shí)，弦最長此最長弦所在的直線的方程為yx，即xy0.規(guī)律方法1有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常有兩類問題：一是判斷位置關(guān)系，二是根據(jù)位置關(guān)系確定參數(shù)的值或取值范圍，兩類問題在解決方法上是一致的，都是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求

5、解.2在弦長公式|AB|x1x2|y1y2|中，k為直線的斜率，在計(jì)算|x1x2|或|y1y2|時(shí)，一定要注意“整體代入這種設(shè)而不求的思想，即利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到|x1x2|或|y1y2|整體代入求解.跟蹤訓(xùn)練1直線l：y2xm，橢圓C：1，試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：1有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；3沒有公共點(diǎn)解直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組：消去y，得：9x28mx2m240， 方程的判別式8m2492m248m2144，1當(dāng)0，即3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)2當(dāng)0，即m3時(shí)，方程

6、有兩個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組一樣的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，3當(dāng)0，即m3時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn).弦長及弦中點(diǎn)問題橢圓1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,1，求直線AB的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122116】思路探究利用中點(diǎn)公式或點(diǎn)差法可求解直線的斜率k.解法一：根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式法由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y1kx2將其代入橢圓方程并整理，得4k21x282k2kx42k12160.設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1，x2是上述方程的兩根，于是x1x2.又M為線段AB的中點(diǎn)，2

7、，解得k.故所求直線的方程為x2y40.法二：點(diǎn)差法設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，x1x2.M2,1為線段AB的中點(diǎn)，x1x24，y1y22.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，那么x4y16，x4y16，兩式相減，得xx4yy0，于是x1x2x1x24y1y2y1y20.，即kAB.故所求直線的方程為x2y40.法三：對稱點(diǎn)法或共線法設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為Ax，y，由于點(diǎn)M2,1為線段AB的中點(diǎn)，那么另一個(gè)交點(diǎn)為B4x,2yA，B兩點(diǎn)都在橢圓上，得x2y40.即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，根據(jù)對稱性，點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程，而過A，B兩點(diǎn)的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40.規(guī)律方法直線與橢圓

8、的交點(diǎn)問題，一般考慮直線方程與橢圓方程組成的方程組的解的問題，即判斷消元后所得的一元二次方程的根的判別式.解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式.而用弦長公式時(shí)，假設(shè)能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求，可大大簡化運(yùn)算過程.跟蹤訓(xùn)練2橢圓1和點(diǎn)P4,2，直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)1當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，求線段AB的長度；2當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程解1由可得直線l的方程為y2x4，即yx.由消去y可得x2180，假設(shè)設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2那么x1x20，x1x218.于是|AB|63.所以線段AB的長度為3.2法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意設(shè)l的斜率為k，那么其方程為y2

9、kx4聯(lián)立消去y得14k2x232k216kx64k264k200.假設(shè)設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2，由于AB的中點(diǎn)恰好為P4,2，所以4，解得k，且滿足0.這時(shí)直線的方程為y2x4，即x2y80.法二：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么有兩式相減得0，整理得kAB，由于P4,2是AB的中點(diǎn)，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直線AB的方程為y2x4即x2y80.橢圓中的最值或范圍問題探究問題1求解橢圓的最值問題一般有哪兩種方法？提示1幾何法：假設(shè)題目的條件和結(jié)論能明顯表達(dá)幾何特征及其意義，那么考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法解題的關(guān)鍵是可以準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾

10、何意義，并能借助相應(yīng)橢圓的定義及對稱知識(shí)求解2代數(shù)法：假設(shè)題目的條件和結(jié)論能表達(dá)一種明確的函數(shù)，那么可首先建立起目的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饽康暮瘮?shù)的最值常用方法有配方法、判別式法、重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等2弦長公式是什么？提示|AB|x1x2|y1y2|.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1ab0的離心率e，且點(diǎn)P2,1在橢圓C上1求橢圓C的方程；2假設(shè)點(diǎn)A，B都在橢圓C上，且AB中點(diǎn)M在線段OP不包括端點(diǎn)上求直線AB的斜率；求AOB面積的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122117】思路探究1首先求出橢圓方程2求出直線AB的斜率，設(shè)出直線AB的方程，求出AOB的面積，用變量表

11、示，根據(jù)重要不等式求出最值解1由題意得橢圓C的方程為1.2法一：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直線AB的斜率為k，那么0，k0.又直線OP：yx，M在線段OP上，y0x0，k1.法二：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直線AB的方程為yy0kxx0，那么12k2x24ky0kx0x2y0kx0260.由題意，0，x1x2，x0.又直線OP：yx，M在線段OP上，y0x0，1，k1.法三：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直線AB的方程為ykxm，那么12k2x24kmx2m260.由題意，0，x1x2.x0又直線OP：yx，M在線段OP上，y0x0，M在直線A

12、B上，y0kx0m解得k1.設(shè)直線AB的方程為yxm，m0,3那么3x24mx2m260，AB|x1x2|，原點(diǎn)到直線的間隔 d.SAOB，當(dāng)且僅當(dāng)m0,3時(shí)，等號(hào)成立AOB面積的最大值為.規(guī)律方法求最值問題的根本策略1求解形如|PA|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|PB|獲得最值.2求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍.3求解形如axby的最值問題，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決.4利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3橢圓C：1ab0的離心率為，過點(diǎn)M1,0的直線l

13、交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|AB|.1求橢圓C的方程；2假設(shè)，求弦長|AB|的取值范圍解1由e，得，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|AB|，橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程得1，又a2b2c2，聯(lián)立方程可得a22，b21，橢圓C的方程為y21.2當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)A，B分別為橢圓長軸的端點(diǎn)，322或32，不符合題意直線的斜率不能為0.設(shè)直線方程為xmy1，Ax1，y1，Bx2，y2，將直線方程代入橢圓方程得：m22y22my10，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，將式平方除以式可得：2，由|MA|MB|可得，2，又知，2，0，解得m2.|AB|21m2|y1y2|21m2y1y2

14、24y1y2828，m2，|AB|.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1假設(shè)點(diǎn)Aa,1在橢圓1的內(nèi)部，那么a的取值范圍是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122118】AaBa或aC2a2D1a1答案A2直線l：xy30，橢圓y21，那么直線與橢圓的位置關(guān)系是A相交 B相切C相離 D相切或相交答案C3過橢圓y21的右焦點(diǎn)且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|等于A4 B2 C1 D4C因?yàn)閥21中a24，b21，所以c23，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)F，0，將x代入y21得，y，故|AB|1.4直線與橢圓4x29y236相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M1,1，那么直線AB的方程為_4x9y130法一：根據(jù)題意，易知直線AB的斜率存在，設(shè)通過點(diǎn)M1,1的直線AB的方程為ykx11，代入橢圓方程，整理得9k24x218k1kx91k2360.設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，那么1，解得k.故直線AB的方程為yx11，即4x9y130.法二：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，代入橢圓方程，得，得4x1x2x1x29y1y2y1y20.M1,1為弦的中點(diǎn)，x1x22，y1y22.4x1x29y1y